3.1.2-排列与排列数教学课件-2025-2026学年高二数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦“排列与排列数”核心内容，涵盖排列概念、排列数公式及应用，通过“思考”辨析排列相同条件，“初试身手”题巩固基础，搭建从概念理解到公式应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合生活实例（如排队、数字排列）引导学生用数学眼光观察现实问题，通过“捆绑法”“插空法”等方法培养数学思维，借助符号表达和公式推导训练数学语言。帮助学生提升解决实际问题能力，为教师提供系统教学资源和高效教学方法。

第1课时　排列与排列数 第2课时　排列数的应用 P41 3.1.2　排列与排列数 1 取出所有对象 一定的顺序 m＝n 2 3 所有排列 4 1 1 5 6 7 8 9 10 排列的概念 11 12 13 14 15 16 17 排列的列举问题 18 19 20 21 22 23 24 25 排列数公式的推导及应用 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 3.1　排列与组合 3.1.2　排列与排列数 第2课时　排列数的应用 41 无限制条件的排列问题 42 43 44 45 46 47 排队问题 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 数字排列问题 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 1．排列的概念 (1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照 排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． (2)特别地， 时的排列(即 的排列)称为全排列． 思考：两个排列相同的条件是什么？ [提示]　两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同． 2．排列数及排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的 的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 排列数的表示 Aeq \o\al(m,n)(n，m∈N，m≤n) 排列 数公式 乘积式 Aeq \o\al(m,n)＝_________________________ 阶乘式 Aeq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！) n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) Aeq \o\al(m,n＋1) 阶乘 Aeq \o\al(n,n)＝___________________________＝____ 规定 0！＝___，Aeq \o\al(0,n)＝___ 性质 Aeq \o\al(m,n)＋mAeq \o\al(m－1,n)＝_____ n×(n－1)×(n－2)×…×2×1 n！ 拓展：排列与排列数的区别 “排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a，b，c与b，a，c是同一个排列． (　　) (2)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列． (　　) (3)同一个排列中，同一个元素不能重复出现． (　　) (4)在同一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A．Aeq \o\al( 10,100)　　　　 B．Aeq \o\al( 11,100) C．Aeq \o\al( 12,100) D．Aeq \o\al( 13,100) C　[Aeq \o\al( 12,100)＝100×99×98×…×(100－12＋1)＝100×99×98×…×89.] 3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有(　　) A．3种　　　 B．4种 C．6种　　　 D．12种 C　[由排列的定义可知，共有Aeq \o\al(3,3)＝3×2×1＝6种排列方法．] 4．(教材P14A组T2改编)eq \f(A\o\al(3,4),5！)＝________. eq \f(1,5)　[eq \f(A\o\al(3,4),5！)＝eq \f(4×3×2,5×4×3×2×1)＝eq \f(1,5).] 【例1】　判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信． [思路点拨]　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． [解]　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中，(2)(5)(6)属于排列问题． 1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”． 2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题． eq \o([跟进训练]) 1．判断下列问题是否是排列问题． (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ [解]　(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题． (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题． 综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题． 【例2】　(教材P10例1改编)写出下列问题的所有排列． (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． [思路点拨]　(1)直接列举数字． (2)先画树形图，再结合树形图写出． [解]　(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数． (2)由题意作树形图，如图． 故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个． 在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列. eq \o([跟进训练]) 2．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票． (2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________种不同的排列方法． (1)12　(2)14　[(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示． 故符合题意的机票种类有： 北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种． (2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图． 所以符合题意的所有排列是： BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种．] [探究问题]　 1．排列数Aeq \o\al(m,n)中，n，m满足什么条件？ [提示]　n，m∈N且m≤n. 2．等式Aeq \o\al(m,n)＝nAeq \o\al(m－1,n－1)成立吗？ [提示]　∵Aeq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)，Aeq \o\al(m－1,n－1)＝eq \f(n－1！,n－m！)， ∴Aeq \o\al(m,n)＝eq \f(nn－1！,n－m！)＝nAm－1n－1. 【例3】　(1)计算：eq \f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))； (2)求3Aeq \o\al(x,8)＝4Aeq \o\al(x－1,9)中的x. [思路点拨]　(1)可直接运算，也可采用阶乘式；(2)借助阶乘式求解，注意x的范围． [解]　(1)法一：eq \f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))＝eq \f(5A\o\al(4,9)＋A\o\al(4,9),50A\o\al(4,9)－10A\o\al(4,9))＝eq \f(5＋1,50－10)＝eq \f(3,20). 法二：eq \f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))＝eq \f(\f(9！,4！)＋\f(9！,5！),\f(10！,4！)－\f(10！,5！))＝eq \f(5×9！＋9！,5×10！－10！)＝eq \f(6×9！,4×10！)＝eq \f(3,20). (2)原方程3Aeq \o\al(x,8)＝4Aeq \o\al(x－1,9)可化为eq \f(3×8！,8－x！)＝eq \f(4×9！,10－x！)， 即eq \f(3×8！,8－x！)＝eq \f(4×9×8！,10－x9－x8－x！)，化简， 得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－1≤9，))解得x≤8. 所以原方程的解为x＝6. 1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． 2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． eq \o([跟进训练]) 3．(1)(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n＜55)用排列数可表示为________； (2)不等式Aeq \o\al(x,9)＞6Aeq \o\al(x－2,9)的解集为________． (1)Aeq \o\al(15,69－n)　(2){2,3,4,5,6,7}　[(1)由(69－n)－(55－n)＋1＝15可知，(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq \o\al(15,69－n). (2)原不等式可化为eq \f(9！,9－x！)＞eq \f(6×9！,11－x！)， 化简得x2－21x＋104＞0，解得x＜8或x＞13. 又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤x≤9,0≤x－2≤9,x∈N,x－2∈N))得2≤x≤9且x∈N， ∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}．] 1．判断一个问题是否是排列问题的关键是看该问题中的元素是否与顺序有关，有关为排列问题，否则，不是排列问题． 2．排列数公式Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适合已知m的排列数计算，而Aeq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)常用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等．求解时务必注意隐含条件：n，m∈N，m≤n. 1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题(　　) A．1 B．2　　　　 C．3　 D．4 B　[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．] 2．4×5×6×…×(n－1)×n等于(　　) A．Aeq \o\al(4,n) B．Aeq \o\al(n－4,n) C．n！－4! D．Aeq \o\al(n－3,n) D　[4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4， 故4×5×6×…×(n－1)×n＝Aeq \o\al(n－3,n).] 3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种． 120　[利用排列的概念可知不同的分配方法有Aeq \o\al(5,5)＝120种．] 4．Aeq \o\al(6,6)－6Aeq \o\al(5,5)＋5Aeq \o\al(4,4)＝________. 120　[原式＝Aeq \o\al(6,6)－Aeq \o\al(6,6)＋Aeq \o\al(5,5)＝Aeq \o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120.] 5．从0,1,2,3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数． [解]　大于200的三位数的首位是2或3，所以共有： 201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321. 【例1】　(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ [思路点拨]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算． [解]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是Aeq \o\al(3,5)＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法． (2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法． 1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可． 2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解． eq \o([跟进训练]) 1．(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，则共有________种不同的分法． (2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种． (1)720　(2)60　[(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为Aeq \o\al(3,10)＝10×9×8＝720. (2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有Aeq \o\al(3,5)＝5×4×3＝60种选法．] 角度一　元素“相邻”与“不相邻”问题 【例2】　3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男、女各不相邻． [解]　(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有Aeq \o\al(3,3)种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有Aeq \o\al(4,4)种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有Aeq \o\al(2,2)种排法． 由分步乘法计数原理知，共有Aeq \o\al(3,3)·Aeq \o\al(4,4)·Aeq \o\al(2,2)＝288种排队方法． (2)三个男生全排列有Aeq \o\al(3,3)种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有Aeq \o\al(5,5)种排法．故有Aeq \o\al(3,3)·Aeq \o\al(5,5)＝720种排队方法． (3)先安排女生，共有Aeq \o\al(4,4)种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有Aeq \o\al(3,5)种排法， 故共有Aeq \o\al(4,4)·Aeq \o\al(3,5)＝1 440种排法． (4)排好男生后让女生插空， 共有Aeq \o\al(3,3)·Aeq \o\al(4,4)＝144种排法． “相邻”与“不相邻”问题的解决方法 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素． eq \o([跟进训练]) 2．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为(　　) A．18 B．24　　　　 C．36　 D．48 C　[5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3Aeq \o\al(3,3)×Aeq \o\al(2,2)＝36(种)．] 角度二　元素“在”与“不在”问题 【例3】　六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． [解]　(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有Aeq \o\al(1,4)种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有Aeq \o\al(5,5)种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(5,5)＝480种． 法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有Aeq \o\al(2,5)种站法，然后其余4人有Aeq \o\al(4,4)种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法Aeq \o\al(2,5)·Aeq \o\al(4,4)＝480种． 法三：若对甲没有限制条件共有Aeq \o\al(6,6)种站法，甲在两端共有2Aeq \o\al(5,5)种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有Aeq \o\al(6,6)－2Aeq \o\al(5,5)＝480种． (2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有Aeq \o\al(2,2)种，再让其他4人在中间位置作全排列，有Aeq \o\al(4,4)种，根据分步乘法计数原理，共有Aeq \o\al(2,2)·Aeq \o\al(4,4)＝48种站法． (3)法一：甲在左端的站法有Aeq \o\al(5,5)种，乙在右端的站法有Aeq \o\al(5,5)种，且甲在左端而乙在右端的站法有Aeq \o\al(4,4)种，共有Aeq \o\al(6,6)－2Aeq \o\al(5,5)＋Aeq \o\al(4,4)＝504种站法． 法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有Aeq \o\al(5,5)种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(4,4)种，故共有Aeq \o\al(5,5)＋Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(4,4)＝504种站法． “在”与“不在”问题的解决方法 eq \o([跟进训练]) 3．4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有(　　) A．12种 B．14种 C．16种 D．24种 B　[用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有Aeq \o\al(4,4)＝24种排法，减去甲跑第一棒有Aeq \o\al(3,3)＝6种排法，乙跑第四棒有Aeq \o\al(3,3)＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有Aeq \o\al(2,2)＝2种排法，共有Aeq \o\al(4,4)－2Aeq \o\al(3,3)＋Aeq \o\al(2,2)＝14种不同的出场顺序．] 角度三　定序问题 【例4】　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．则有多少种不同的排列方法？ [解]　5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法． 法一：(整体法)5个元素无约束条件的全排列有Aeq \o\al(5,5)种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有eq \f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))×2＝40(种)． 法二：(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类： 第一类，若字母D，E相邻，则有Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(2,2)种排法； 第二类，若字母D，E不相邻，则有Aeq \o\al(2,4)种排法． 所以有Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(2,2)＋Aeq \o\al(2,4)＝20(种)不同的排列方法． 同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法． 因此，满足条件的排列有20＋20＝40(种)． 在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种： 1．整体法：即若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有Aeq \o\al(m＋n,m＋n)种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有Aeq \o\al(m,m)种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有eq \f(Am＋nm＋n,A\o\al(m,m))种满足条件的不同排法． 2．插空法：即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空隙中． eq \o([跟进训练]) 4．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件． 210　[若1,3,5,7的顺序不定，有Aeq \o\al(4,4)＝24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的eq \f(1,24).故有eq \f(1,24)Aeq \o\al(7,7)＝210(个)七位数符合条件．] [探究问题] 1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？ [提示]　偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排法，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(个)不同的偶数． 2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0? [提示]　在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置． 【例5】　(教材P12例6改编)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)六位奇数？ (2)个位数字不是5的六位数？ [思路点拨]　这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解． [解]　(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有Aeq \o\al(1,3)种填法，第二步再填十万位，有Aeq \o\al(1,4)种填法，第三步填其他位，有Aeq \o\al(4,4)种填法，故共有Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(4,4)＝288(个)六位奇数． 法二：从特殊元素入手(直接法) 0不在两端有Aeq \o\al(1,4)种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有Aeq \o\al(1,3)种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有Aeq \o\al(4,4)种排法，故共有Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(4,4)＝288(个)六位奇数． 法三：排除法 6个数字的全排列有Aeq \o\al(6,6)个，0,2,4在个位上的六位数为3Aeq \o\al(5,5)个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3Aeq \o\al(4,4)个，故满足条件的六位奇数共有Aeq \o\al(6,6)－3Aeq \o\al(5,5)－3Aeq \o\al(4,4)＝288(个)． (2)法一：排除法 0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有Aeq \o\al(5,5)个，0在十万位且5在个位的六位数有Aeq \o\al(4,4)个． 故符合题意的六位数共有Aeq \o\al(6,6)－2Aeq \o\al(5,5)＋Aeq \o\al(4,4)＝504(个)． 法二：直接法 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类： 第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有Aeq \o\al(5,5)个． 第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(4,4)个． 故共有符合题意的六位数Aeq \o\al(5,5)＋Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(4,4)＝504(个)． (变结论)用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数． (1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？ (3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项？ [解]　(1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有Aeq \o\al(4,5)个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(3,4)个．故满足条件的五位数的个数共有Aeq \o\al(4,5)＋Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(3,4)＝216(个)． (2)符合要求的比1 325大的四位数可分为三类： 第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(3,5)个； 第二类，形如14□□，15□□，共有Aeq \o\al(1,2)·Aeq \o\al(2,4)个； 第三类，形如134□，135□，共有Aeq \o\al(1,2)·Aeq \o\al(1,3)个． 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 325大的四位数共有：Aeq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(3,5)＋Aeq \o\al(1,2)·Aeq \o\al(2,4)＋Aeq \o\al(1,2)·Aeq \o\al(1,3)＝270(个)． (3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有Aeq \o\al(5,5)个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3Aeq \o\al(4,4)个数，∴240 135的项数是Aeq \o\al(5,5)＋3Aeq \o\al(4,4)＋1＝193，即240 135是数列的第193项． 解数字排列问题常见的解题方法 1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”． 2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏． 3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数． 4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好． 1．解排列应用题的基本思想 eq \x(实际问题) eq \o(――→,\s\up16(化归),\s\do12(建模)) eq \x(排列问题) eq \o(――――――――→,\s\up16(求数学模型的解)) eq \x(求排列数) eq \o(――――――――→,\s\up16(得实际问题的解)) eq \x(实际问题) 2．求解排列问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法 1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36　　　 B．120　　　 C．720 D．240 C　[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为Aeq \o\al(6,6)＝720.] 2．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　　) A．8　　　 B．12　　　 C．16 D．24 B　[设车站数为n，则Aeq \o\al(2,n)＝132，n(n－1)＝132，∴n＝12.] 3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个． 144　[先排奇数位有Aeq \o\al(4,4)种，再排偶数位有Aeq \o\al(3,3)种，故共有Aeq \o\al(4,4)Aeq \o\al(3,3)＝144个．] 4．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种． 24　[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共Aeq \o\al(4,4)＝24种．] 5．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？ (1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台； (2)2个唱歌节目互不相邻； (3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． [解]　(1)先排唱歌节目有Aeq \o\al(2,2)种排法，再排其他节目有Aeq \o\al(6,6)种排法，所以共有Aeq \o\al(2,2)·Aeq \o\al(6,6)＝1 440(种)排法． (2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有Aeq \o\al(6,6)种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有Aeq \o\al(2,7)种插入方法，所以共有Aeq \o\al(6,6)·Aeq \o\al(2,7)＝30 240(种)排法． (3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共Aeq \o\al(4,4)种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有Aeq \o\al(3,5)种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有Aeq \o\al(2,2)种排法，故所求排法共有Aeq \o\al(4,4)·Aeq \o\al(3,5)·Aeq \o\al(2,2)＝2 880(种)排法． $