第2章 第8节 对数与对数函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“对数与对数函数”专题，依据课标要求覆盖对数概念运算、对数函数图象性质、反函数及复合函数性质等核心考点，通过知识要点系统梳理和考点突破，归纳对数运算、大小比较、图象应用等常考题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如结合2025年全国卷真题，用中间量法突破对数式大小比较，培养数学思维，通过数形结合分析函数图象，发展数学眼光。特设易错提醒和跟踪练习，帮助学生掌握解题方法，教师可据此高效指导复习，提升备考效率。

第2章 函数 第8节 对数与对数函数 2027届高中数学一轮复习 1 1. 课标要求 2.知识要点 3.课前自测 4.考点突破 目录 2 【课标要求】 1.理解对数的概念，掌握指数与对数的相互转化，会运用指数、对数运算法则进行有关运算. 2.掌握对数函数的定义、图象和性质及其应用. 3.掌握以对数函数为载体的复合函数的有关性质. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 知识要点 4 【知识要点】 1.对数的概念及运算性质 一般地，如果<m></m>，且<m></m>的<m></m>次幂等于<m></m>， 就是<m></m>，那么，数<m></m>就叫做以<m></m>为底<m></m>的对数， 记作：</m>. （1）对数的性质 ①负数和零没有对数； 的对数是零；③底数的对数等于1. < > 指数、对数之间的关系 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③loga(Nn)=nlogaN(n∈R). 换底公式:logab=(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 2.对数函数的概念 函数<m></m>，且<m></m>叫做对数函数，其中<m></m>是自变量，函数的定义域是 <m></m>. 3.对数函数的图象与性质 函数 ，且 图象 ________________________ ________________________ 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 函数 ，且 性质 定义域：________ 值域：___ 当时， ，即过定点______ 当 时，______； 当 时，______ 当 时，______； 当 时，______ 在 上是________ 在 上是________ 4.反函数 指数函数与对数函数 互为反函数，它们的图象关于直线______对称. 增函数 减函数 续表 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 【重要结论】 1.换底公式的两个重要结论 （1）<m></m>； （2）<m></m>. 其中<m></m>且<m></m>，<m></m>且<m></m>，<m></m>，<m></m>. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线<m></m>，则该直线与四个函数图象交点的横坐 标为相应的底数，故<m></m>.由此我们可得 到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 课前自测 11 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)loga(MN)=logaM+logaN.(　　) (2)设loga2=m，loga3=n，则am+n的值为5.(　　) (3)log2x2=2log2x.(　　) (4)函数y=log2x与y=lo的图象重合.(　　) (5)函数f(x)=loga(a>0，且a≠1)是奇函数.(　　) × × × √ √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 教材改编 2.[必修1p127T3]计算:log29×log34=　　　　;  1.10+eln 2-0.5-2+lg 25+2lg 2=　　　　.  4 1 [解析] log29×log34 = × = × =4. 1.10+eln 2-0.5-2+lg 25+2lg 2=1+2-4+2(lg 5+lg 2) = -1+2=1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 3.[必修1p160T2]已知a=log23.4，b=log43.6，c=log30.3，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b A [解析] 因为a=log23.4>1，0<b=log43.6<1，c=log30.3<0，所以a>b>c，故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 4.函数y=loga(x-2)+2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点　　　　.  (3，2) [解析] ∵loga1=0，令x-2=1，得x=3， ∴y=loga1+2=2， ∴原函数的图象恒过定点(3，2). 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 5.函数y=的定义域为　　　　.  [解析] 函数y=的定义域满足⇒ 解得<x≤1，故函数定义域为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 考点突破 17 考点1 对数式的运算 例1　(1)化简求值:lo9+lg 25+lg 2+-ln=　　　　.  [解析] 原式=lo()4 + lg + - ln e =4+lg 10+ - =4+1+ - = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 (2)化简求值:log43×(log32+log92)=　　　　.  [解析] log43×(log32+log92) =log43× = log23×log32 = ××× = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 [小结]1.对数运算的一般思路 (1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并. (2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 2.易错提醒 (1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的,不能出现log212=log2[(-3)×(-4)]=log2(-3)+log2(-4)的错误. (2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 1.已知ab≠1，logam=2，logbm=3，则logabm=(　　) A. B. C. D. D [解析] 由题意知，m>0，a>0，b>0，因为logam=2，logbm=3， 所以由换底公式可得logma=，logmb=，又因为logma+logmb=logmab(ab≠1)， 所以logmab= + = ，所以由换底公式可得logabm= .故选D. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 2.设p>0，q>0，满足log4p=log6q=log9(2p+q)，则=　　　　.  [解析] 令log4p=log6q=log9(2p+q)=k， 则p=4k，q=6k，2p+q=9k， 所以2p+q=2·4k+6k=9k， 整理得2·+=1， 解得 = (负值舍去)，所以 = = = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 考点2 对数函数的图象及应用 例2　函数f(x)=loga|x|+1(a>1)的图象大致为(　　) A [解析] f(x)=loga|x|+1的定义域为{x|x≠0}， 因为f(-x)=loga|-x|+1=f(x)，所以f(x)是偶函数， 当x∈(0，+∞)时，f(x)=logax+1(a>1)单调递增， 由此可判断出选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 [小结](1)y=logax的底数变化,其图象具有如下变化规律:①上下比较:在直线x=1的右侧,a>1时,底大图低(靠近x轴);0<a<1时,底小图高(靠近x轴). ②左右比较(比较图象与y=1的交点):交点横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. (2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解. (3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 3.已知lg a+lg b=0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)=ax与g(x)=lox的图象可能是(　　) B 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 [解析] ∵lg a+lg b=0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，∴ab=1，a=， ∴g(x)=lox=logax，函数f(x)=ax与函数g(x)=lox互为反函数， ∴函数f(x)=ax与g(x)=lox的图象关于直线y=x对称，且具有相同的单调性. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 考点3 对数函数的性质及应用 角度1.比较对数式的大小 例3　(2025·天津河西·二模)设a=log0.3 0.4，b=log0.3 1.1，c=log0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b<c<a B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c D [解析] 易知log0.31<a=log0.30.4<log0.30.3，即0<a<1; 而b=log0.31.1<log0.31=0，即b<0; 又c=log0.40.3>log0.40.4=1，因此c>1， 所以b<a<c.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 [小结]对数值比较大小的四种常见类型 (1)底数为同一常数,可由对数函数的单调性直接进行判断. (2)底数为同一字母,需对底数进行分类讨论. (3)底数不同,真数相同,可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (4)底数与真数都不同,常借助-1,,1,0等中间量进行比较. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 角度2.解对数不等式 例4　已知函数f(x)=则不等式f(x)<1的解集为　　　　　　　　　　.  (-∞，0)∪ [解析] 当x≤0时，f(x)=2x<1=20，解得x<0， 当x>0时，f(x)=|ln x|<1，即-1<ln x<1，解得<x<e， 综上，不等式f(x)<1的解集为(-∞，0)∪. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 [小结]简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等式,应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解. (2)对数函数的单调性和底数a的值有关,在研究对数函数的单调性时,要按0<a<1和a>1进行分类讨论. (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 角度3.对数函数性质的综合应用 例5　函数f(x)=在(0，+∞)上单调递减，且f(x)≥9x-2在上恒成立，则a的取值范围为(　　) A.(0，1) B.(1，3) C. D. D [解析] 因为f(x)在(0，+∞)上单调递减，所以解得≤a<1. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 又因为f(x)≥9x-2在上恒成立， 所以不等式logax≥9x-2在上恒成立. 令h(x)=logax-9x+2，x∈，则h(x)min≥0， 因为y=logax在上单调递减，y=9x在上单调递增， 所以h(x)在上单调递减，所以h(x)min=h=loga-+2≥0， 所以loga≥-2=1=logaa，解得≤a<1， 即a的取值范围为.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 [小结]1.确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误. 3.在分析利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数单调性的影响,及真数必须为正的限制条件. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 4.设a=log20.3，b=lo0.4，c=0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b D [解析] ∵log20.3<log21=0，∴a<0. ∵lo0.4=-log20.4=log2>log22=1， ∴b>1. ∵0<0.40.3<0.40=1，∴0<c<1，∴a<c<b. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 5.(2025·广东·模拟预测)函数y=ln(x2-2ax-3a2)在区间[1，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A. B.(-∞，1) C. D.(-1，0)∪ C [解析] 因为f(x)=ln x在(0，+∞)上单调递增， 由函数y=ln(x2-2ax-3a2)在[1，+∞)上单调递增， 可得g(x)=x2-2ax-3a2在[1，+∞)上单调递增且g(x)>0恒成立， 解得-1<a<， 即实数a的取值范围是.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 6.已知函数f(x)=则不等式f(x)<f(x-1)的解集为　　　　　　　.  [解析] 当x≤1时，不等式f(x)<f(x-1)为1-x2<1-(x-1)2，解得<x≤1; 当1<x≤2时，不等式f(x)<f(x-1)为lox<1-(x-1)2， 易知lox<lo1=0，1-(x-1)2≥0，解得1<x≤2; 当x>2时，不等式f(x)<f(x-1)为lox<lo(x-1)，解得x>2， 综上，解集为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 考点4 指数、对数函数综合应用 例6　(1)(2025·广西南宁·模拟预测)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0，则ab的最小值为(　　) A.- B.- C. D. B [解析] 函数f(x)的定义域是(-b，+∞)， 当x+a=0，得x= -a， 当ln(x+b)=0，得x=1-b， 当-b<x<1-b时，ln(x+b)<0，则x+a≤0恒成立， 又y=x+a在区间(-b，1-b)单调递增，则1-b+a≤0， 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 当x≥1-b时，ln(x+b)≥0，则x+a≥0恒成立， 又y=x+a在区间(1-b，+∞)单调递增，则1-b+a≥0， 由f(x)≥0，得1-b+a=0，则b=a+1， 所以ab=a(a+1)=-，当a= -， b=时，ab的最小值为-.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 (2)(2025·河南·三模)已知函数f(x)=若存在实数b，使函数y=f(x)-b恰有三个零点，则a的取值范围为　　　　　.  (0，e) [解析] 由y=x3在(-∞，a]上单调递增，且值域为(-∞，a3]，对于y=|ln x-1|， 当a≤0，则a3≤0，而|ln x-1|≥0，此时y=f(x)-b最多有两个零点; 当0<a<e时，则y=|ln x-1|= 此时f(x)的大致图象如下， 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 由g(a)=a3+ln a-1在a∈(0，e)上单调递增，且g(1)=0，结合上图， 当0<a<1，即a3<1-ln a时，0<b≤a3，y=f(x)-b恰有三个零点， 当1≤a<e，即a3≥1-ln a时，0<b<1-ln a，y=f(x)-b恰有三个零点; 当a≥e时，y=ln x-1在(a，+∞)上单调递增， 此时函数y=f(x)-b最多有两个零点，不符题意; 综上，a∈(0，e). 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 [小结]1.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决. 2.在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y=logax的定义域应为(0,+∞). 3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点: (1)务必先研究函数的定义域; (2)注意对数底数的取值范围. 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 7.(2025·安徽合肥·三模)已知f(x)=|ln(x-a)|，其中a>0，若f(x1)=f(x2)，x1≠x2，a(x1+x2)<x1x2，则a的取值范围为(　　) A.(1，+∞) B.(2，+∞) C.(1，2) D.(0，1) [解析] 定义域为(a，+∞)， f(x)=|ln(x-a)|= 根据y=ln x的函数图象以及图象变换可画出f(x)的函数图象， D 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 42 则f(x)在(a+1，+∞)上单调递增，在(a，a+1)上单调递减， 不妨设a<x1<a+1<x2， 又f(x1)=f(x2)，则f(x1)=-ln(x1-a)，f(x2)=ln(x2-a)， 则-ln(x1-a)=ln(x2-a)，即(x2-a)(x1-a)=1，则x1x2-a(x1+x2)+a2=1， 因a(x1+x2)<x1x2，则1-a2>0，得-1<a<1， 则0<a<1，故a的取值范围为(0，1).故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 43 8.(多选)已知正实数x，y满足log2x+loy<-，则(　　) A.< B.x3<y3 C.ln(y-x+1)>0 D.2x-y< BC [解析] 解法一:由题意得log2<-. 当x>y，即>1时，log2>0，而<，所以-<0， 故log2<-不成立. 当x=y时，log2 =0，-=0，所以log2<-不成立. 名师导学第一轮总复习 高三数学 44 故0<x<y，所以>，x3<y3，故A错误，B正确; y-x>0，则y-x+1>1，ln(y-x+1)>0，故C正确; 2x-y<20=1，故D不一定正确.故选BC. 解法二:由题意得log2x-<log2y-. 设函数f(x)=log2x-，显然f(x)在区间(0，+∞)上单调递增， 故由f(x)<f(y)，得0<x<y，故>，A错误;x3<y3，B正确; 由x<y，得y-x+1>1，故ln(y-x+1)>ln 1=0，C正确; 2x-y<20=1，故D不一定正确.故选BC. 名师导学第一轮总复习 高三数学 45 走进高考 1.(2025·全国一卷)若实数x，y，z满足2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x B [解析] 法一:设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m， 所以令m=2，则x=1，y=3-1=，z=5-3=，此时x>y>z，A有可能; 令m=5，则x=8，y=9，z=1，此时y>x>z，C有可能; 令m=8，则x=26=64，y=35=243，z=53=125，此时y>z>x，D有可能; 故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 46 法二:设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m， 所以x=2m-2，y=3m-3，z=5m-5， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数y=2x-2，y=3x-3，y=5x-5的图象， 以上方程的根分别是函数y=2x-2，y=3x-3，y=5x-5 的图象与直线x=m的交点纵坐标，如图所示: 易知，随着m的变化可能出现:x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x，故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 47 $