第五章 课时1 平面向量的概念与线性运算课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的概念与线性运算”专题，依据课标要求梳理了向量概念、线性运算（加减、数乘）、共线向量定理三大核心考点。通过知识表格化呈现概念对比，融入2024江苏模拟、2025新高考I卷等真题实例，分析“线性运算几何意义”“共线定理应用”等高频考向，归纳选择、填空及解答题常考题型，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题解析+规律方法+素养提升”的复习策略，如例5通过向量线性运算判断三点共线，深入剖析“共线定理参数求解”技巧，培养学生的数学思维和几何直观素养。特设“易错点警示”（如零向量特殊性）和“规律方法总结”（如三点共线充要条件），帮助学生掌握答题逻辑，教师可据此精准定位学生薄弱环节，实现高效复习冲刺。

课时1平 面向量的概念 算 与线性运 课标要求 1. 通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向 量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素 2.(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规 则侧，理解其几何意义 (2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义， 理解两个平面向量共线的含义， (3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义， 二、知识梳理 1.平面向量的相关概念 名称 定义 向量 既有方向又有大小的量叫作向 量：向量的大小叫作向量的模 零向 长度等于 0 的向量， 量 方向是任意的 单位 向量 长度等于1个单位长度的向量 表示方法 注意事项 AB或M; 平面向量是向量 模|AB或a 记作0 零向量的方向是 任意的 非零向量a的单 常用e表示 位向量是 平行 向量 方向相同或者相反的非零向量 共线 平行向量 又叫共线向量 向量 相等 大小相等、方向相同的向量 向量 相反 大小相等、方向相反的向量 向量 a与b共线可 0与任一向量平行 记为a一 或共线 两向量只有相等或 =比 不等，不能比较大小 =E 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 (1)向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律 向量 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 (1)加法交换律： 求两个向量 a+b 加法 b a+b. 安与与 的和的运算 0 (2)加法结合律： a (a+b)+c=a+(b+c) 三角形法则 平行四边形法则 求a与b的 减法 相反向量-b 的和的运算 求实数入与 数乘 向量a的积 的运算 a-b b a-b=a+(-b) 三角形 法则 () (2)当元>0时，10的方向与a的方 λ(ua)=()a (入+u)a=入a+ua 向 相同 ；当2C时，2a的方向与 (a+b)=λa+入b a的方向相反；当2（时，a=0 (2)共线向量定理 名称 内容 共线 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯 定理 一的一个实数元，使得b2 注意事项 限定a≠0的目的是保证 实数入的存在性和唯一性 【拓展知识】 1.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的 终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量. 2,若P为线段AB的中点，0为平面内任意一点，则2李> .C,u为实数)，若A,B,C三点共线，则入十μ=1. 4.若G为△ABC的重心，则有： (1)Gi+Gi+G式=0； ②)AG=号AB+. 5.对于任意两个向量a,b,都有： (1)la-bl≤atb≤a+b; (2)la+b2+la-b2=2(a2+b2). 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打√”，错误的打×） (1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反 【解析】 零向量和任何向量共线，零向量的方向 ( ) 是任意的 养 (2)两个单位向量一定是相等向量. X 【解析】 单位向量的模相等，但方向不 () 一定相同. (3)若两个共线向量模相等，则这两 【解析】 共线向量可能方向相反， 向量相等. ) (4)当两个非零向量a,b共线时， 一定有b=λa,反之成立.（√） 2.(教材改编)已知平面内一点】 △ABC的位置关系是( ) A.点P在线段AB上 C.点P在线段AC上 C【解析】由P+P公+P元 -2PA，故点P在线段AC上 及△ABC,若PA十PB B.点P在线段BC上 D.点P在△ABC外部 B,得P+P+P记 故选C. P心=AB,则点P与 =P8-P,即P元= 3.在△ABC中，D为边 A.AC C.BA BC的中点，则C万 B. D. -DA=( CA AB D【解析】在△ABC D市-DA=AB.故选 中，因为D为BC的中点， D D P C A B 所以CD=D克，所以Cò-DA= 4.已知e1,e2为平面内两个不共线的向量，MN=2e1一3e2,NP=λe1十6e2.若M, N,P三点共线，则= -4【解析】因为M,N,P三点共线，所以存在实数k使得入，即21 2=M -3e2=(e1十62).又e1,e2为平面内两个不共线的向量，可得 解得= 1-3=6k -4. 四、考点扫描 考点一平面向量的概念 例1（1) 在矩形ABCD中， 点，则在以A,B,C,D,M, 为( ) A. B.11 已知AB=2AD,M, N为起点与终点的所 .18 D.24 N分别为边AB与CD的中 有向量中，相等向量的对数 D【解析】由题意，可得AD==BC,有3对相等向量：A=M仍=D入 =WC,有6对相等向量；AN=MC,有1对相等向量；BN=ML,有1对相 等向量，AB=DC,有1对相等向量，总共12对.同理，与它们的方向相反的 相等向量也有12对，总共24对.故选D (2)(多选题)下列说法正确的有( A.若a=b,b=c,则a=c B.若四边形ABCD满足AB=DC,则四边形 C.若两个向量都与同一个向量共线，则这两 D.与非零向量a共线的单位向量为士 a ABCD是平行四边形 个向量共线 ABD【解析】对于选项A,由相等向量的定义知，A正确： 对于选项B,因为AB=DC,所以AB∥DC且AB=DC,则四边形ABCD是平行 四边形，故B正确； 对于选项C,若该向量为零向量，无法得到这两个向量共线，故C错误； 对于选项D,由单位向量和共线向量定义可知与非零向量共线的单位向量为 ,故D正确.故选ABD 规律方法： 平行向量有关概念中，注意 (1)注意零向量的特殊性，如向量平行的传递性在非零向 (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)±2表示与非零向量a方向相同或相反的单位向量. a 量范围内才适用. 对点训练（1)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC F分别在两腰AD,BC上，EF过点P,且EF∥AB,则下 B A.AD-BC B.AC-BD C.PE=PE D.EP-PE 与BD交于点P,点E, 列等式成立的为( D【解析】方法一（排除法）：AD,BC不共线，AC,D不共线，故A,B错误；P它， P方向相反，C错误.故选D 方法二：在等腰梯形ABCD中，AD,BC不平行，AC,不平行，故A,B错误； 因为AB∥CD,所以PD_CD_PC,所以B_P ,则 PB AB PA PD PC 因为EF∥AB,所以E_PD_PC_PF 所以PE=PF,即P AB BD AC AB 为EF的中点，所以乎=P中，故C错误，D正确.故选D (2)(多选题)下列关于向量的说法正确的有( A.若a=0,则a=0 B.若AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四 C.对于任意向量a,b,必有a+b≤a十b D.若a∥b,则存在唯一实数，使得a=入b ) 点必在同一条直线上 AC【解析】对于选项A,若d=0,则a=0,故A正确 对于选项B,若A市与CD是共线向量，则A,B,C,D四点不一定在一条直线上， 故B错误 对于选项C,若a,b方向相同，则十b=d+b,若4，b方向相反，则a+b<a 十b,若4，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知a +b<a+b1综上可知对于任意向量a,b,必有la十b≤4+b,故C正确 对于选项D,若0，b=0,则a∥b,此时不存在实数入，使a=入b,故D错误.故 选AC 考点二平面向量的线性运算 考向1线性运算的几何意义 例2(1)（多选题）如图，四边形 各式正确的有( ) A.DA十DP=PA B C.AB十BC+C=PA D ABCD是平行四边形， DA十AB十BP=DP AD-AB十DP+P5=0 点P在CD上，则下列 D P C A B BD【解析】对于选项A,DA-DP=PA,故A错误； 对于选项B,利用向量加法的三角形法则，知DA十AB十 对于选项C,AB十BC十C=AP,故C错误； 对于选项D,AD-AB+D+P克=BA+AD十D+P 确.故选BD BD=D,故B正确； BP+P5=0,故D正 (2)(2025·天津静海一中期末)已知0是△ABC内部一点， OC=0,△A0B的面积为S,△A0C的面积为S,则 且满足0A+20 3十 三 ● 【解析】因为0A+20B+0元=0，所以0A+0元=-20=2B元，所以 2 ò=】(OA+O元)取AC的中点D,则O市=】(OA+O元)所以0=O成 2 即O为BD的中点，如图所示.因为△AOB的面积为S1,△AOC的面积为S2,S△40C =2S00,S%oD=Sa40m,所以S0c=2SoB所以= S,2 B 考向2线性运算 例3(1)(2024江苏连云港市模 OB的中点，则AD=( ) A.AB +Ac B. C. A店+ D. 2 4 拟)在等边三角形ABC 2 AB AC 3 2 3 中，O为重心，D是线段 D【解析】O为△ABC的重心，延长AO,交BC于 有ò=2正-2】酝+衣)=}（店+A花 3 32 酝+ 2 2 而号防+6筋+花)子 B E E,如图，E为BC中点，则 )而D是OB的中点，所以4⑦ 十6衣故选D (2)(2025·河南安阳市模拟)已知矩形ABCD的对角线交于点O,E为AO的中 点.若D市=AB十uAd0,为实数)，则22-2=( A.1 2 n.a 3 D 2 2 A【解析】如图，在矩形 +D0), 所以Di 2 3 所以2-μ2= 4 16 ABCD中，D0=DA +DA+风刘 9 ,故选A 16 2 +D.在△D0中，Di=Di c=i-D,所以x=u 4 4 4 A D E B 对点训练 (1)(多选题)若P是△ABC +PC-2PA=0,则△ABC不可能是( A.钝角三角形 C.等腰三角形 所在平面内一点，且满足P范-PC一P亟 B.直角三角形 D.等边三角形 AD【解析】设D为边 =2AD,所以△ABC BC的中点，则PB+PC=2P元. 为直角三角形.故选AD. 由已知有CB=|2P5-2PA (2)在△ABC中，BD = BC 3 A. 2 1 1 2 3 a b B. a+ 3 3 3 1 2 1 C. a b D 2 a 3 3 3 3 若AB=a,AC=b, b b 则AD=( ) A【解析】方法一：如图，过点D分别作AC,AB的平行线，交AB,AC于点E, 下，则四边形AEDF为平行四边形，所以市=A正十市因为B=】B元，所 以正症子丽，应花，所以市-号应+衣-子+故选A 方法二：A) -应+励-病+ B元 戒-弓叶放定入 3 3 方法三：出励风，得动-丽}配 丽)广子成衣号叶放遮入 3 +成-应)广号 AB -病)所以亦-病+配 (3)(多选题) (2025·山东聊城市模拟)设M是△ABC所在平面内一点，则下列 说法正确的有( A.若AM=】AB+】AC, 则点M是边BC的中点 B.若AM=2AB-AC,则点M在边BC的延长线上 〉 C.若AM=-BM一C,则点M是△ABC的重心 D.若Ax正十yA之，且x十y=号，则△NMBC的面积是△ABC的面 积的 2 ACD【解析】若AM 若AM=2B-A元， 边CB的延长线上，故 若AM=-BM-CM C正确； 店+号花，则M是边 2 即有M-A店=店-Ad B错误； ,即AM+BM+CM=0, BC的中点，故A正确； ,即BM=CB, 则点M在 则点M是△ABC的重心，故 如图，M=x4酝+M记，且 2M,=2x4+2A记 的面积是△ABC的面积的 2 x十y=】,可得2MM=2x4店+2A亿，设A= 2x+2y=1,所以B,N,C三点共线，则△MBC 故D正确.故选ACD. A M B N C 考向3线性运算的应用 例4(1)已知O是正方形ABCD的中心. R,则2 =( ) L 1 A.-2 B. C.-2 D. 2 若D0=AB+uAC,其中，u∈ 2 A【解析】Dò=DA十Aò 所A=,=合 因此 u =C形+心=店-记+ =一2.故选A. 花-店配， 2 (2)(2025·云南玉溪市高三期末)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年， 他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图（以弦为边 长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成).类比 “赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等 边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD=AB十uAC若AD=4A正 则入十2u的值为 8 解析】依题意，配=4B励，即A正-店=44心 7 正， 同理亦=3记+！ 症， 因此心=3 4 4 772 B +3+11市，即 16 164 4 整理得 ) 16 店 +4，而=十4 21 于是元=16 4 4 8 所以1十2u= 16 +2× 21 21 21 21 7 -号 店+！花 + 4 4 + 记， ,且店，记不共线， (3)(2025·新高考卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方 向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对 应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向 量大小相等，方向相反.如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关 系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如 图（风速的大小和向量的大小相同，单位：，则真风为 等级 风速大小( 名称 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 A.轻风 B.微风 3 视风风速 2 1 船速 0 1 2 3 式 C.和风 D.劲风 A【解析】如图：视风风速对应向量的坐标为 1) 3 视风风速 2 船速 2 3 船速对应向量的坐标为 ,所以船行风速对应的向量 设真风风速对应向量为，则 所以 故真风为轻风.故选 坐标为 ,所以 规律方法： 平面向量线性运算的解题策略 ()向量求和用平行四边形法则或三角 (2)求参数问题可以通过向量的运算将 形法则；求差用向量减法的几何意义 向量表示出来进行比较，求参数的值. 对点训练(1)已知M是△ 则入十=( B.1 ABC内的一点.若BM BA+BC,AM-)B+μd, D 3 D【解析】由M-M=办，得亦-)+心--， M B 所以$=4心-B成，即A市=6u4C-6B心=6u4记+6CB.又A市=4C+CB,故u =A=。故十4=}放选D (2)飞机从甲地沿北偏西15的方 75的方向飞行1400km到达丙地， 甲地的什么方向，丙地距甲地多远 向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东 画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在 【解析】如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km 丙 A甲 设甲地为A,乙地为B,丙地为C,作出示意图，则 2,, -公6是等边三角 形，廷，《 即丙地在甲地北 偏东45，丙地距甲地 考点三向量共线定理的应用 例5(1)(2025·山东济南市模拟 BC=-a十3b,Cò=a十3b,则( A.A,B,D三点共线 C.B,C,D三点共线 已知平面向量a,b不共线，且AB=4a+6b, ) B.A,B,C三点共线 D.A,C,D三点共线 D【解析】对于选项A,BD=BC+CD=-十3b+(a+3b)=6b,则AB,B)不共 线，故A不正确； 对于选项B,AB与不共线，故B不正确： 对于选项C,C与C不共线，故C不正确； 对于选项D,C=AB+C=4a十6b+(-a+3b)=3a+9b=3CD,即AC∥CD, 又C与C市有公共点C,则A,C,D三点共线，故D正确.故选D (2)(2025·江西赣州市高三期末)如图 线段BM的中点. ①用AB和AC分别表示AM和AN ②若直线EF交AB于点E,交AM于点 uAC(0,均为正实数)，AG=2GM 在△ABC中，M是边BC的中点，N是 G,交AC于点F,AE =4B,A 求入十2μ的最小值. E F G B M 【解】①由题意，M 2 函+衣，= +4 A店+BM=A店+ 2 +感-丽+4胶 配=店+片-病)= -病+成-店)厂； ②由正=店，亦=4记G,均为正实数)，G=2GM,得=}正， 入 配-亦，花号}店+片衣-员应+。亦因为G 3u 三k类戏，所拉十=1以02+小计 2+≥1+ 3u 33u 1+22,当且夜当+元w-2=片2 5313 取等号，所以 323L 2+24的最小值为1+22 3 规律方法： 利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b台a=b(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据. (2)若a与b不共线且入a=ub,则入=u=0 (3)已知O,A,B是不共线的三点，且OP=mOA十nOim,n∈R),则A,P,B 三，点共线的充要条件是m十n=1. 对点训练(1)已知向量a,b不共线，向量8a一kb与一ka ±22【解析】因为向量a,b不共线，向量8a一b与 kb=t(-ka十b)=-ta十h,1∈R,故 8=k6 解得k= -k=1, +b共线，则k= -ka+b共线，所以8a- ±2V2. (2)如图，在△ABC 则实数m的值是 中，A=N花，P是线段BN A N B C 的中点若中=mA范十花， o) 1 【解析】因为=心 4 2 B,P,N三点共线，所以 所以AC=3A衣.因为巾 m+3=1,所以m= 4 m+式-m仿+衣，且 米 感谢观看 THANKS