2025-2026学年北师大版高一数学必修第二册课件：第6章§5　5.2　平面与平面垂直

该高中数学课件聚焦平面与平面垂直，涵盖二面角定义、面面垂直的判定与性质及综合应用。通过问题链连接平面几何角、异面直线夹角等旧知，结合水坝修筑、卫星轨道等生产实例与教室墙面、书本翻开等生活场景导入，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实，用问题驱动抽象二面角概念；以数学思维推理证明，通过性质判定定理表格化呈现及例2用判定定理证面面垂直、例3用定义法求二面角等，培养逻辑推理能力；以数学语言表达，规范解答展示推理过程。学生能发展空间观念与探究意识，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第6章§5　垂直关系 5.2　平面与平面垂直 自主预习·新知导学 一、平面与平面垂直的定义 【问题思考】 1.平面几何中“角”是怎样定义的?在立体几何中,“异面直线的夹角”“直线和平面的夹角”又是怎样定义的? 提示:从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形.已知两条异面直线a,b,过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,这时a',b'共面,我们把a'与b'所成的不大于90°的角称为异面直线a,b的夹角;平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角,叫作这条直线与这个平面的夹角;一条直线垂直于平面,我们说它们的夹角是直角;一条直线与平面平行,或在平面内,就说它们的夹角是0°. 2.在生产实践中,有许多问题要涉及两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗? 提示:修筑水坝时,为了使水坝坚固耐用,要使水坝面与水平面成适当的角度;发射人造地球卫星时,也要根据需要,使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度;教室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度;书本翻开的过程中,两张纸面呈一定的角度等等. 3.教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出是哪些二面角?这些二面角各是多少度? 提示:可以构成三个二面角;分别是两相邻墙面构成的二面角,一个墙面与地面构成的二面角,另一个墙面与地面构成的二面角;这三个二面角都为90°. 4.(1)二面角、二面角的平面角 表6-5-3 (2)平面与平面垂直 ①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作:α⊥β . ②画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直,如图6-5-11. 图6-5-11 5.(1)如图6-5-12,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不作辅助线,写出二面角A1-AB-D的一个平面角为　　　　　.  (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与平面ABCD垂直的面的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 图6-5-12 解析:(1)因为AD⊂平面ABD,A1A⊂平面A1AB, AD⊥AB,AA1⊥AB, 所以∠A1AD是二面角A1-AB-D的一个平面角, 同理∠B1BC也是它的一个平面角. (2)与平面ABCD垂直的平面有:平面ABB1A1,平面ADD1A1, 平面BCC1B1,平面CDD1C1. 答案:(1)∠A1AD(或∠B1BC)　(2)D 二、平面与平面垂直的性质 【问题思考】 1.黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 提示:容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直,因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直. 2.表6-5-4 3.如图6-5-13,平面PAD⊥矩形ABCD,且PA⊥AD,下列结论中不正确的是(　　). A.PD⊥BD B.PD⊥CD C.PB⊥BC D.PA⊥BD 解析:由题意知平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD.因为PA⊂平面PAD,且PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.同理可证BA⊥平面PAD.若PD⊥BD,则BD⊥平面PAD, 图6-5-13 又BA⊥平面PAD,则过平面外一点有两条直线与平面垂直,不成立,故A不正确. 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又AD⊥CD, 所以CD⊥平面PAD,所以PD⊥CD,故B正确. 同理可证PB⊥BC,故C正确. 因为PA⊥矩形ABCD,所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD,故D正确.故选A. 答案:A 三、平面与平面垂直的判定 【问题思考】建筑工地上,建筑工人在砌墙时,为了保证墙面与地面垂直,建筑工人常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线,再沿着该线砌墙,如图6-5-14,这样就能保证墙面与地面垂直. 图6-5-14 1.由上述内容可知当直线与平面垂直时,过此直线可作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系? 提示:垂直. 2.若要判断两平面是否垂直,根据上述问题能否得出一方法? 提示:能,只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可. 3.表6-5-5 4.在空间四边形ABCD中,如果AD⊥BC,BD⊥AD,那么有 (　　). A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADB C.平面ABC⊥平面DBC D.平面ADC⊥平面DBC 解析:∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,BC,BD⊂平面BCD, ∴AD⊥平面BCD. 又AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面DBC. 答案:D 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 面面垂直的性质 【例1】 如图6-5-15,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB= ,CE=EF=1, 求证:CF⊥平面BDE. 图6-5-15 证明:如答图6-5-4,设AC,BD交于点G,连接EG,FG. 由四边形ABCD是正方形,AB= 易知CG=1,则EF=CG=CE. 又EF∥CG,所以四边形CEFG为菱形.所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC. 又平面ACEF⊥平面ABCD, 且平面ACEF∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD, 所以BD⊥平面ACEF. 因为CF⊂平面ACEF,所以BD⊥CF. 又BD∩EG=G,BD,EG⊂平面BDE,所以CF⊥平面BDE. 答图6-5-4 反思感悟 1.在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题. 2.平面与平面垂直的其他性质: (1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. (2)如果两个平面垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面. (3)如果两个平面垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内. 探究二 平面与平面垂直的判定 【例2】 如6-5-16,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC. 求证:平面ABC⊥平面SBC. 图6-5-16 证明:如答图6-5-5, 因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°, 所以SA=AB=AC, 所以点A在平面SBC内的投影为△SBC的外心. 已知△SBC为∠BSC=90°的直角三角形, 所以点A在△SBC上的投影D为斜边BC的中点. 连接AD,则AD⊥平面SBC. 又AD⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC. 答图6-5-5 反思感悟 证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义:证明二面角的平面角为直角; (2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. 探究三 二面角的求法 【例3】 (1)已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC= ,BC=2,则二面角D-BC-A的平面角的大小为 　　　　　.  (2)在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=1,则二面角B-AC-D的平面角的余弦值为　　　　　.  解析:(1)如答图6-5-6,取BC的中点O,连接AO,DO, 答图6-5-6 (2)如答图6-5-7,取AC的中点E,连接BE,DE, 则DE⊥AC,BE⊥AC,所以∠BED为二面角B-AC-D的平面角. 在Rt△CDE中,∠EDC=30°,CD=1,∠DEC=90°, 答图6-5-7 反思感悟 1.求二面角大小的步骤: (1)找出这个平面角; (2)证明这个角是二面角的平面角; (3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小. 2.确定二面角的平面角的方法: (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线的夹角为二面角的平面角. 规 范 解 答 面面垂直的综合应用 【典例】 如图6-5-17,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°, CB=4,AB=20,D为AB的中点,且△PDB是等边三角形,PA⊥PC. (1)求证:平面PAC⊥平面ABC; (2)求二面角D-AP-C的平面角的正弦值. 审题策略:对于(1),由△ABC是直角三 角形以及△PDB是等边三角形,寻找线 线垂直. 对于(2),先找出二面角的平面角,再求值. 图6-5-17 规范展示:(1)证明:因为D是AB的中点,△PDB是等边三角形, AB=20,所以PD= AB=10.所以AP⊥PB. 又AP⊥PC,PB∩PC=P,PB,PC⊂平面PBC, 所以AP⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC. 又AC⊥BC,AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC. 又BC⊂平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC. (2)解: 由(1)知PA⊥PB,又因为PA⊥PC, 所以∠BPC是二面角D-AP-C的平面角. 由(1)知BC⊥平面PAC,因为PC⊂平面PAC, 所以BC⊥PC. 因为PD=10,且△PDB是等边三角形, 失误警示 (1)中若漏掉AP⊥平面PBC,BC⊥平面PAC,而直接得出线线垂直或面面垂直,依据就不够充分. (2)中若没有说明∠BPC是二面角的平面角,解析就不完整. $