第6章 5.2 平面与平面垂直（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

该高中数学课件聚焦“平面与平面垂直”核心知识点，通过线线垂直到线面垂直再到面面垂直的递进关系导入，以二面角表示法（α-l-β）、直二面角定义（α⊥β）等为学习支架，衔接立体几何初步知识脉络。 其亮点在于结合立体图形示意图（含顶点标注如A、B、C₁等）与符号语言，培养学生几何直观（数学眼光）和逻辑推理（数学思维），通过课前预习判断、课堂互动探究、课时作业巩固，助力学生构建知识体系，教师教学更具条理性与高效性。

第六章　立体几何初步 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 §5　垂直关系 5.2　平面与平面垂直 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（四十一） Part 03 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 课 前 预 习 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 两个半平面 棱 面 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 α－l－β α－AB－β 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 ∠AOB 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 直二面角 α⊥β 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 交线 垂直 AB⊂β 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 垂线 l⊂α 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 课 堂 互 动 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 课时作业（四十一） 点击进入word 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 谢谢观看 第六章　立体几何初步 必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1．理解二面角及其平面角的概念，会求简单的二面角的平面角． 2．理解两平面互相垂直的概念．掌握两平面垂直的性质定理，并能解决有关垂直问题． 3．掌握面面垂直的判定定理，并能证明线面的垂直关系． 4．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系并能解决垂直关系的综合问题． 1．通过二面角的有关概念及面面垂直的概念的研究，培养直观想象的核心素养． 2．通过面面垂直性质定理和判定定理的应用，提升逻辑推理的核心素养． 3．通过面面垂直、线面垂直判定与性质的应用，提升逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　二面角、平面与平面垂直的定义 [问题1]　 观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？ 答：二面角． [问题2]　平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？ 答：二面角的平面角． ►知识填空 1．定义：从一条直线出发的______________所组成的图形． 2．相关概念： (1)这条直线称为二面角的______； (2)这两个半平面称为二面角的______． 3．画法： INCLUDEPICTURE "../方正/北师数学必修第二册/S146.TIF" \* MERGEFORMAT 　　 4．记作：二面角____________或二面角____________． 5．二面角的平面角： (1)如图所示，若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是__________． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°. 平面角是直角的二面角称为直二面角． 知识点二　平面与平面垂直的定义 ►知识填空 1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直． 2．画法： 3．记作：________． 知识点三　平面与平面垂直的性质定理 ►知识填空 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面________ 符号语言 α⊥β，α∩β＝MN，__________，AB⊥MN⇒AB⊥α 图形语言 知识点四　平面与平面垂直的判定定理 ►知识填空 文字语言 如果一个平面过另一个平面的_______，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥β，________⇒α⊥β 图形语言 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直．(　　) (2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β.(　　) (3)若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β.(　　) (4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一平面．(　　) 2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则(　　) A．m∥β B．m⊂β C．m⊥β D．m与β相交但不一定垂直 答案：C 3．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，二面角D′­AB­D的大小是(　　) A．30°　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析：选B　如图，由正方体的性质易知AB⊥平面ADD′A′， 则AB⊥AD，AB⊥AD′， 则∠D′AD为二面角D′­AB­D的平面角， 又因为四边形ADD′A′为正方形， 所以∠D′AD＝45°， 即二面角D′­AB­D的大小是45°，故选B. 4．在三棱锥A­BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　　) A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ADC⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADB 解析：选B　如图，因为AD⊥BC，AD⊥CD，BC∩CD＝C， BC，CD⊂平面BCD， 所以AD⊥平面BCD， 又AD⊂平面ADC， 所以平面ADC⊥平面BCD. 题型一　二面角的求法 [例1]　(1)从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是(　　) A．60°　　　　　　　 B．120° C．60°或120° D．不确定 (2)四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB. ①求二面角A－PD－C的平面角的度数； ②求二面角B－PC－D的平面角的度数． 解析：(1)选C　如图所示，过PE，PF作一个平面γ与二面角α－l－β的棱交于点O，连接OE，OF. 因为PE⊥α，PF⊥β，所以PE⊥l，PF⊥l， 所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF， 则∠EOF为α－l－β的平面角，且它与∠EPF相等或互补， 故二面角α－l－β的平面角的大小为60°或120°，故选C. (2)①∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形， ∴CD⊥AD，又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD， ∴平面PAD⊥平面PCD. ∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°. ②作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图． 由题意知△PBC≌△PDC， 则∠BPE＝∠DPE， 从而△PBE≌△PDE. ∴∠DEP＝∠BEP＝90°， 且BE＝DE. ∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角． ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB. 设AB＝a，则BE＝ eq \f(PB·BC,PC) ＝ eq \f(\r(6),3) a，BD＝ eq \r(2) a． ∴sin ∠BEO＝ eq \f(BO,BE) ＝ eq \f(\r(3),2) .∴∠BEO＝60°， ∴∠BED＝120°.∴二面角B－PC－D的平面角的度数为120°. [反思感悟] 求二面角的平面角的大小的步骤 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小． 解：由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上， ∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 又PC⊂平面PAC， ∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P－BC－A的棱， ∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角． 由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°， 即二面角P－BC－A的大小是45°. 题型二　平面与平面垂直的性质定理 [例2]　如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 证明：如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. [反思感悟] 两个平面垂直的性质定理的应用技巧 当所给的题目中有面面垂直的条件时，一般要注意是否有垂直于两个平面交线的垂线，如果有，可利用性质定理将面面垂直转化为线面垂直或线线垂直；如果没有，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直． 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D­ABC.求证：BC⊥平面ACD. 证明：如题图(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°， 过C作CE⊥AB，E为垂足(图略)， ∴四边形AECD为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2， ∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC， 如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC， 又BC⊂平面ABC且BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACD. 题型三　平面与平面垂直的判定定理 [例3]　如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥CD, AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝ eq \f(1,2) AD. (1)在AD上找一点M，使得直线 CM∥平面PAB，并说明理由． (2)证明：平面PAB⊥平面PBD. 解：(1)取棱AD的中点M，点M即为所求的点． 理由如下：连接CM，因为AD∥BC, BC＝ eq \f(1,2) AD，M为AD的中点， 所以BC∥AM，且BC＝AM. 所以四边形AMCB是平行四边形， 所以CM∥AB. 又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB. 所以CM∥平面PAB. (2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD， 因为AD∥BC，BC＝ eq \f(1,2) AD， 所以直线AB与CD相交， 所以PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD. 因为AD∥BC，BC＝ eq \f(1,2) AD， M为AD的中点，连接BM， 所以BC∥MD，且BC＝MD， 所以四边形BCDM是平行四边形， 所以BM＝CD＝BC＝ eq \f(1,2) AD，可得BD⊥AB. 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB. 又BD⊂平面PBD， 所以平面PAB⊥平面PBD. [反思感悟] 判定两平面垂直的常用方法 (1)定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角． (2)判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”． (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 如图，已知在三棱锥S­ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC. 证明：如图，作SH⊥AC交AC于点H，连接BH， ∵SA＝SC，∴AH＝HC. 在Rt△ABC中，H是AC的中点， ∴BH＝ eq \f(1,2) AC＝AH， 又SH＝SH，SA＝SB， ∴△SAH≌△SBH(SSS)， ∴SH⊥BH， 又AC∩BH＝H，AC，BH⊂平面ABC， ∴SH⊥平面ABC， 又SH⊂平面ASC， ∴平面ABC⊥平面ASC. 题型四　垂直关系的综合应用 [例4]　如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：BD⊥平面PAC. (2)若∠ABC＝60，求证：平面PAB⊥平面PAE. (3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？ 说明理由． 解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD. 又因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 所以BD⊥平面PAC. (2)证明：因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以PA⊥AE. 因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点， 所以AE⊥CD.所以AB⊥AE. 又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB. 因为AE⊂平面PAE， 所以平面PAB⊥平面PAE. (3)棱PB上存在点F， 使得CF∥平面PAE. 取F为PB的中点， 取G为PA的中点， 连接CF, FG，EG. 则FG∥AB，且FG＝ eq \f(1,2) AB. 因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点， 所以CE∥AB，且CE＝ eq \f(1,2) AB. 所以FG∥CE，且FG＝CE. 所以四边形CEGF为平行四边形． 所以CF∥EG. 因为CF⊄平面PAE，EGG⊂平面PAE， 所以CF∥平面PAE. [反思感悟] 线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想，其转化关系如下 如图所示，在斜三棱柱A1B1C1 ­ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC. (1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1； (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C. 证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，且交线为BC， ∴由面面垂直的性质定理可知AD⊥侧面BB1C1C， 又∵CC1⊄侧面BB1C1C，∴AD⊄CC1. (2)取BC1的中点E，连接ME, DE. 在△BCC1中，D，E分别是BC，BC1的中点， ∴DE綊 eq \f(1,2) CC1.又AA1綊CC1，∴DE綊 eq \f(1,2) AA1. ∵M是AA1的中点(由AM＝MA1知)，∴DE綊AM. ∴AMED是平行四边形，∴AD∥ME. 由(1)知AD⊥平面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C， 又∵ME⊄截面BMC1， ∴截面BMC1⊥侧面BB1C1C. [课堂小结] 1．因为二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，所以可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．求二面角的大小的方法为一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值．其中关键是“作”． 2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路 (1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直． (2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决． 3．空间中的垂直关系的内在联系 $