精品解析：浙江温州市2026年6月6日荆山公学高二数学学业考试考模拟卷

2026年6月6日荆山公学高二数学学考模拟卷 考试内容：人教A版必修一+必修二+选择性必修一空间向量与立体几何 考试时间：80分钟 一、单选题（共36分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解法求出集合，根据补集的定义求解即可. 【详解】， 所以. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简复数，再代入模的公式. 【详解】由条件可知，， 所以. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的定义域为，的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． 4. 已知，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】通过向量线性运算求出和向量的坐标，利用垂直向量的数量积为零建立方程，求解参数的值. 【详解】由向量线性运算，得. 由，得，即， 化简得，解得. 5. 已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形周长公式、弧长公式求出半径和弧长，再代入扇形面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，已知圆心角， 由题意可得， ，解得，； 代入扇形面积公式，计算得. 6. 已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故A错误； 选项B：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故B错误； 选项C：仅知道，无法确定与的大小关系， 例如：若，则；若，则，故C不一定正确； 选项D：用作差法验证：， 因为，所以，若且（成立，因为），则分母， 因此，差，即，可得，故D一定正确． 7. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 8. 学校组织研学，学生可以从内蒙、上海、杭州、陕西4个研学地点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个研学地点，则三人选到同一研学地点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，三人选到同一研学地点的概率是. 9. 已知，则（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式和降幂公式进行化简，利用商数关系转化为求值即可，注意“1”可以转化为进行计算． 【详解】 10. 如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作直线，使得，通过平行线分线段成比例定理得出​的比值，再结合，得到​的值. 【详解】因为，直线与分别交于点和点， 过点作直线，使得，交于点，所以， 所以，故. 11. 已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数图像及反比例函数图象，通过数形结合可得出参数范围. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出的图象及直线，如图所示， 由图可知，要使方程有且仅有三个不等实根， 即的图象与直线有三个不同的公共点， 则只需. 故选：B 12. 已知函数，定义在上的函数满足，对任意的，均有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据方程组的方法求函数是解析式，再根据不等式恒成立转化为，再转化为二次函数问题，即可求解. 【详解】， 函数在区间单调递减，所以的最大值为， 对任意的，均有成立， 对任意的恒成立， 对任意的恒成立， ，解得：. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键一是求函数的解析式，关键二是利用不等式恒成立，转化为求的最值. 二、多选题（共12分） 13. 下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数、对数的运算法则，化简计算，即可得答案. 【详解】对于A，由对数恒等式知，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，，故D错误. 14. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，以及当时，函数的单调性逐一判断. 【详解】A选项，，则，又定义域为，故是偶函数， 当时，，显然在 上单调递增，故A正确； B选项，显然在上不是单调递增，故B错误； C选项，，则，又定义域为，故是偶函数， 当时，，显然在 上单调递增，故C正确； D选项，，则， 又定义域为，故是偶函数， 当时，，显然在 上单调递增，故D正确. 故选：ACD 15. 如图，已知正方体的棱长为2，则（ ） A. 直线与为异面直线 B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，∵ 直线平面，与平面交于点，且， ∴ 直线与无公共点且不平行，为异面直线，故A正确； 对于B，∵ 正方体中，平面，平面， 由线面平行的判定定理可得平面，故B正确； 对于C，∵ 正方体棱长为，，三棱锥的高为， ∴ ，故C错误； 对于D，∵ 平面平面，结合正方体面面平行的性质，可知平面截正方体所得截面为三角形， 该三角形为边长为的正三角形，∴ 截面面积，故D正确. 三、填空题（共16分） 16. 函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_________ 【答案】5 【解析】 【分析】先由函数的奇偶性与对称性推出周期，再计算一个周期内的函数值之和，最后利用周期性对所求求和式进行化简计算. 【详解】由为奇函数，得. 由，得， 故，即的周期为. ，，，. 因此，一个周期内的和为. ，故. 代入得. 17. 相互独立事件，满足，，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】由对立事件的性质得， 则，解得， 已知事件，相互独立，则 ，解得． 18. 在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】先求总均值，再用“层内方差+均值差平方”按样本占比加权求和 【详解】由题，设第1层样本量为，第2层样本量为，则， 分层抽样方差 19. 已知函数，若函数有四个不同的零点，且有如下关系，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可利用数形结合，先画出分段函数的图像，将函数有四个不同的零点的问题，转化为函数与有四个不同的交点，可得出的范围；再根据函数性质及对数函数的性质，化简目标表达式，最后利用函数单调性求出取值范围. 【详解】解：令，则， 由函数有四个不同的零点，则方程有四个不同的解， 即函数与有四个不同的交点. 当时，，易知对称轴为，顶点为， 结合图像可知，方程有四个不同解时，， 因为，所以根据二次函数对称性可知，， 当时，由时，或， 由函数图像可知，，，， 则，所以，因此，，， 所以，当且仅当， 即时等号成立，此时取最小值为，又函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 所以的取值范围为. 四、解答题（共36分） 20. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， （1）求角A的大小； （2）若D为BC中点， ， ，求边a； （3）若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式可得； （2）利用以及余弦定理可得； （3）利用正弦定理得，结合三角函数求值域. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 在中， ， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， ， 又，所以，所以， 又因为，所以． 【小问3详解】 由正弦定理得，可得， ， ， ， 因为是锐角三角形，且，则， 得，得，，， 故的周长最大值为6． 21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面． （2）若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）①点为上靠近点的三等分点，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定证明； （2）①利用线面平行的性质得，再结合相似比得解；②先利用线面垂直的判定证得平面，再结合棱锥的体积公式计算求解. 【小问1详解】 证明：如图，取的中点为，连接，． 在中，为的中点，为的中点， ，． 在平行四边形中，为的中点， ，， 且， 四边形为平行四边形， ． 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 ①如图，连接交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． ． 四边形是平行四边形，为的中点， ， ， ，即点为上靠近点的三等分点． ②在四边形中，，，， ． 取的中点，连接． 是正三角形， ，且． 平面平面，且平面平面，平面， 平面． 为上靠近点的三等分点， 点到平面的距离为． 三棱锥的体积． 22. 设，． （1）证明：； （2）令． ①解关于实数a的不等式：； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论；（2）①先分析单调性及奇偶性定义，利用结论结合函数定义域解不等式； ②令，则在上恒成立，再结合二次函数最值分类讨论求解即可． 【小问1详解】 由题意可知 ， 故，即； 【小问2详解】 ①由题意得，定义域为 ，为奇函数. 当时，易知单调递增，则在单调递减， 为奇函数，在单调递减， ， 又有为奇函数， 在单调递减，由定义域知 当时，，不等式恒成立； 当时， ， ，解得； 当时， ，此时，与题意矛盾，舍去. 综上： ②当，单调递减，则， ，即 设，则在上恒成立， 当，即时，，解得，； 当，即时，，解得，； 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年6月6日荆山公学高二数学学考模拟卷 考试内容：人教A版必修一+必修二+选择性必修一空间向量与立体几何 考试时间：80分钟 一、单选题（共36分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 5. 已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 学校组织研学，学生可以从内蒙、上海、杭州、陕西4个研学地点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个研学地点，则三人选到同一研学地点的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则（ ） A. B. 7 C. D. 10. 如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 11. 已知函数，若方程有且仅有三个不等实根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，定义在上的函数满足，对任意的，均有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共12分） 13. 下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 15. 如图，已知正方体的棱长为2，则（ ） A. 直线与为异面直线 B. 平面 C. 三棱锥的体积为 D. 平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的面积为 三、填空题（共16分） 16. 函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_________ 17. 相互独立事件，满足，，则________． 18. 在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 19. 已知函数，若函数有四个不同的零点，且有如下关系，，则的取值范围是__________． 四、解答题（共36分） 20. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， （1）求角A的大小； （2）若D为BC中点， ， ，求边a； （3）若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面． （2）若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 22. 设，． （1）证明：； （2）令． ①解关于实数a的不等式：； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $