20.3 二次根式的加减 讲义 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学“二次根式的加减”核心知识点，系统梳理同类二次根式的概念及判断步骤，二次根式加减运算的实质（合并同类二次根式），混合运算的顺序（先乘方开方、再乘除、后加减，有括号先算括号内），为后续比较大小、整数部分与小数、化简求值及应用等题型提供学习支架。 该资料亮点在于题型丰富，涵盖7类典型题型，例题与变式题结合，融入长方形草地面积计算等实际情境，培养学生运算能力与应用意识，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

20.3 二次根式的加减 【新华东师大版】 【题型1 同类二次根式】 2 【题型2 二次根式的加减运算】 2 【题型3 二次根式的混合运算】 3 【题型4 比较二次根式的大小】 3 【题型5 整数部分和小数】 4 【题型6 二次根式的化简求值】 5 【题型7 二次根式的应用】 6 知识点1 同类二次根式 经过化简后，被开方数相同的二次根式，称为同类二次根式． 判断同类二次根式的步骤： （1）化为最简二次根式； （2）比较被开方数，若被开方数相同，则为同类二次根式． 如与，由于，因此与是同类二次根式． 知识点2 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 知识点3 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【题型1 同类二次根式】 【例1】（2026四川内江东兴初中期中）下列各式与是同类二次根式的是（ A ） A. B. C. D. 【变式1-1】（2025年江津区期中）下列二次根式中，能与合并的是（ D ） A. B. C. D. 【变式1-2】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若最简二次根式与能合并，那么（ D ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026吉林长春第八十七中学月考）若最简二次根式与可以合并，则=____2___ 【题型2 二次根式的加减运算】 【例2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）下列等式正确的是（ D ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026山西晋城阳城期末）若对实数规定运算，则=_____ 【变式2-2】已知，则的值为____2______ 【变式2-3】计算下列各题： （1）； （2） 解：原式= 解：原式= = = = 【题型3 二次根式的混合运算】 【例3】估计的值应在（ C ） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 【变式3-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，它是一个数值转换机，若输入的a值为，则输出的结果应为 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） -1 ； （2） ． 【变式3-3】计算： （1）； （2） 解：原式= 解：原式= = = =2-3 = -1 【题型4 比较二次根式的大小】 【例4】比较大小：（1）___＞____； （2）___＞____ 【变式4-1】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）项目式学习： 课题名称 平方法比较实数的大小 参与人员 八下第（3）小组  日期：2025年××月××日 原理解读 对于任意两个正数a，b，若，则． 典例展示 比较和的大小．解：，，12<18， ． 任务解答 （1）比较和的大小； （2）比较和的大小． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1）___＞_____； （2） ＜ ． 【变式4-3】 【材料】，我们把这种变形的方法叫做分子有理化. 【问题】采用分子有理化，比较下列式子的大小：与. 解： ∵ ∴＜ ∴＜. 【题型5 整数部分和小数】 【例5】已知的整数部分为，小数部分为，则的值为（ B ） A.5 B.12 C. D. 【变式5-1】估计的值应在（ C ） A．1到2之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式5-2】（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（ B ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026浙江金华义乌赤岸中学期中）阅读下列材料： ∵，即，∴的整数部分为1，小数部分为. 根据材料，解答问题： （1） 的整数部分是_____3_____，小数部分是___________ （2） 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值. 解：∵，∴， 又∵，∴=4， ∴ 【题型6 二次根式的化简求值】 【例6】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 解： ∵，，且， ∴ ∴ 【变式6-1】（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 解： = = 当时，原式== 【变式6-2】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若为实数，且，求的值． 解：∵，∴，∴， ∴ 【变式6-3】（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：，． （1）求的值； （2）求的值． 解：（1）； （2） 【题型7 二次根式的应用】 【例7】小区长方形草地宽为m，栅栏总长（周长）为m，则草地的面积为____________ 【变式7-1】张大伯有一块长方形空地ABCD，BC=m，AB=m，划出长方形养鸡场（阴影部分），其余种蔬菜。养鸡场长m，宽m. （1） 求长方形ABCD的周长； （2） 若蔬菜每千克售价12元，每平方米产15千克，求全部销售的收入. 解：（1）长方形空地ABCD，BC=m，AB=m， 故长方形ABCD的周长：m， （2）蔬菜区域（空白部分）面积：m²， 收入：12×15×67=12060（元） 【变式7-2】（22-23八年级下·河南许昌·阶段练习）某小区有一块长方形的草地，这块草地的宽为，为美化小区环境，给这块长方形草地围上白色的低矮栅栏，所需的栅栏的长度为，那么这块草地的面积为 ． 【变式7-3】（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（，结果保留到小数点后两位） 解：（1）米； （2）元≈1355.61元 答：长方形闲置区域ABCD的周长为米，买红毯大约需要1355.61元。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.3 二次根式的加减 【新华东师大版】 【题型1 同类二次根式】 2 【题型2 二次根式的加减运算】 2 【题型3 二次根式的混合运算】 3 【题型4 比较二次根式的大小】 3 【题型5 整数部分和小数】 4 【题型6 二次根式的化简求值】 5 【题型7 二次根式的应用】 6 知识点1 同类二次根式 经过化简后，被开方数相同的二次根式，称为同类二次根式． 判断同类二次根式的步骤： （1）化为最简二次根式； （2）比较被开方数，若被开方数相同，则为同类二次根式． 如与，由于，因此与是同类二次根式． 知识点2 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 知识点3 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 【题型1 同类二次根式】 【例1】（2026四川内江东兴初中期中）下列各式与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【变式1-1】（2025年江津区期中）下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【变式1-2】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）若最简二次根式与是能合并，那么（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026吉林长春第八十七中学月考）若最简二次根式与可以合并，则=_______ 【题型2 二次根式的加减运算】 【例2】（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026山西晋城阳城期末）若对实数规定运算，则=_____ 【变式2-2】已知，则的值为__________ 【变式2-3】计算下列各题： （1）； （2） 【题型3 二次根式的混合运算】 【例3】估计的值应在（ ） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 【变式3-1】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，它是一个数值转换机，若输入的a值为，则输出的结果应为 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 【变式3-3】计算： （1）； （2） 【题型4 比较二次根式的大小】 【例4】比较大小：（1）_______； （2）_______ 【变式4-1】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）项目式学习： 课题名称 平方法比较实数的大小 参与人员 八下第（3）小组  日期：2025年××月××日 原理解读 对于任意两个正数a，b，若，则． 典例展示 比较和的大小．解：，，12<18， ． 任务解答 （1）比较和的大小； （2）比较和的大小． 【变式4-2】（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）比较大小： （1）________； （2） ． 【变式4-2】 【材料】，我们把这种变形的方法叫做分子有理化. 【问题】采用分子有理化，比较下列式子的大小：与. 【题型5 整数部分和小数】 【例5】已知的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ） A.5 B.9 C. D. 【变式5-1】估计的值应在（ C ） A．1到2之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式5-2】（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026浙江金华义乌赤岸中学期中）阅读下列材料： ∵，即，∴的整数部分为1，小数部分为. 根据材料，解答问题： （1） 的整数部分是__________，小数部分是___________ （2） 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值. 【题型6 二次根式的化简求值】 【例6】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：，，且，求的值． 【变式6-1】（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【变式6-2】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）若为实数，且，求的值． 【变式6-3】（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知：，． （1）求的值； （2）求的值． 【题型7 二次根式的应用】 【例7】小区长方形草地宽为m，栅栏总长（周长）为m，则草地的面积为____________ 【变式7-1】张大伯有一块长方形空地ABCD，BC=m，AB=m，划出长方形养鸡场（阴影部分），其余种蔬菜。养鸡场长m，宽m. （1） 求长方形ABCD的周长； （2） 若蔬菜每千克售价12元，每平方米产15千克，求全部销售的收入. 【变式7-2】（22-23八年级下·河南许昌·阶段练习）某小区有一块长方形的草地，这块草地的宽为，为美化小区环境，给这块长方形草地围上白色的低矮栅栏，所需的栅栏的长度为，那么这块草地的面积为 ． 【变式7-3】（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（，结果保留到小数点后两位） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $