江苏省常州高级中学2025-2026学年高一数学立体几何周测13

**基本信息** 聚焦立体几何与解三角形核心知识，结合“方斗杯”文化情境及动态轨迹问题，考查空间观念、推理能力与数学应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|立体几何线面关系（1）、解三角形（2）、向量模长（3）|第7题动态轨迹问题，强化空间想象| |多选题|3|复数模与方程（9）、正八面体性质（11）|第11题结合柏拉图立体，渗透数学史| |填空题|2|正方体截面面积（12）、解三角形最值（13）|第12题考查截面作图与计算，提升几何直观| |解答题|3|正三棱柱线面垂直（14）、菱形与线面角（15）|第15题多问递进，综合逻辑推理与空间运算|

江苏省常州高级中学高一下学期数学周练习(13) 班级： 学 号： _姓名： 一、单选题 1. 已知m,n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A. 若m//α,m⊥n, 则n⊥α B. 若m ⊥α,m⊥n,则n//a C. 若m//α,n⊥α, 则m ⊥n D. 若m//α,n//α,则m//n 2. 已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 所对的边，若B=60°,b=,c=, 则 C=( ) A.45° B.135° C.45° 或135° D.120° 3. 已知向量a=(3,m), b , | a+b|=, 则m 的 值 为( ) A.0 B.-2 C.0 或-2 D.0 或 2 4. 圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是( ) A.1 B. C. D.2 5. 在△ABC 中，角 A,B,C的对边分别为a,b,c,若c+acosB=bcosA,则此三角形的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6.若非零向量m,n 满足|m|=|m+n|, 则 2m-n 在n 方向上的投影向量为( ) A.2n B.n C.-n D.-2n 7. 如图，在长方体ABCD-A₁ B₁C₁ D₁ 中 ，AB=BC=4,AA₁=2, 点P,Q 分别为BC, C₁ D₁ 的中点，点M 为长方形ADD₁ A内一动点(含边界),若直线QM// 平面APC₁, 则 点M 的轨迹长度为( ) A.2 B. C.2√2 D. 8. 如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形 状是一个上大下小的正四棱台，AB=10,A₁B₁=2, 现往该方斗杯里加水，当 水的高度是方斗杯高度的 时，水的体积为84,则该方斗杯可盛水的总体积为( ) 图1 图2 A.112 B. C. D.496 二、多选题 9. 设z 为复数，则下列说法正确的有( ) A. 若|z|=1, 则z=±1 或z=±i B. 若|z-(2+i)|=1, 则|2|的最小值为-1 C. 若z=-2i, 则|z|=7 D. 若1+i 是实系数方程x²+ax+b=0 的一个根，则a+b=0 10. 在△ABC中，角A,B,C 所对应的边分别是a,b,c, 下列结论一定成立的有(). A.sin(A+B)=sinC B. 若A>B, 则sinA>sinB C. 若△ABC为锐角三角形，则sin²A+sin²B<sin²C , 则△ABC是等边三角形 11. 正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构),是所有面都 只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证 明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正 十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3(如图), 则下列说法正确的是( ) A.AC⊥DE B. 直线BC与平面BEDF 所成的角为60° C. 若点P 为棱EB 上的动点，则三棱锥F-ADP的体积为定值 D. 若点P为棱ED 上的动点，则 AP+BP 的最小值为. 三、填空题 12.如图，在棱长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E,F,G 分别为 AB,BC,CC₁ 的中点，则平面 EFG 截正方体所得截面的面积为 13.在△ABC 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3bsinC,则的最大值等于_ 四、解答题 14. 如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4,BB₁=,D是AC的中点，点E在BB₁上且. (1)求证：DE ⊥平面A₁C₁E; (2)求点C₁ 到平面A₁DE 的距离. 15. 如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°,AC与BD相交于点0,AE⊥平面ABCD, CF//AE,AB=AE=2. (1)求证：BD⊥平面ACFE; (2)当直线FO与平面ABCD所成的角的余弦值为.时，求证：EF⊥BE; (3)在(2)的条件下，求异面直线OF 与DE 所成的余弦值. 16.如图，AB是圆O的直径，AD垂直于圆O所在的平面，AB=,AD=2,点C 是圆O上不同于A,B的任意一点，E为BD的中点. (备用图) (1)证明：BC⊥平面ACD; (2)若直线BD与平面ACD所成的角为30°,求二面角O-CE-B的余弦值； (3)若点P为圆O(含圆周)内任意一点，它到点A的距离与到直线BD的距离相等，求三棱锥 P-ABD体积的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $