暑假作业03 全等三角形的判定（预习作业）七年级数学新教材苏科版

**基本信息** 以全等三角形判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）为核心，构建“知识点-题型-应用”三阶体系，强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|6个判定定理|文字+图示+几何表述，SAS易错点（边边角不可用）|从一般三角形到直角三角形，形成判定方法链| |题型应用|14类题型（含动态问题、二次证明等）|添加条件策略、方法选择技巧（如ASA用于残缺三角形还原）|基础判定→综合应用→拓展迁移，覆盖中考高频考法|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 全等三角形的判定 【知识点1 全等三角形的判定方法（SSS）】 1）文字描述：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若. 【知识点2 全等三角形的判定方法（SAS）】 1）文字描述：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 4）易错： ①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，两边及其中一边的对角（边边角）不能判定三角形全等； 例: ②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.（夹角在中间）. ③运用“SAS”证明三角形全等时，一定要找准对应相等的边、角.要注意隐含的等角，如：公共角，对顶角，角平分线等. 【知识点3 全等三角形的判定方法（ASA）】 1）文字描述：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 【知识点4 全等三角形的判定方法（AAS）】 1）文字描述：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 【知识点5 直角三角形的判定方法（HL）】 1）文字描述：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在Rt△ABC与Rt△DEF中，若 【知识点6 选用合适的方法判定两个三角形全等】 【题型1 利用“SAS”证明三角形全等】 1．（22-23八年级上·辽宁大连·期中）如图，与相交于点，，若用“”证明≌，还需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 3．（22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为________． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【题型2 利用“ASA”证明三角形全等】 5．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 6．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，现要直接用“”定理来证明，请添加一个条件_______． 8．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型3 利用“AAS”证明三角形全等】 9．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，下列能判定的依据是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知等腰，，斜边交轴正半轴于点，若，则点的坐标为___． 11．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，是的边上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，中，是边的垂直平分线交边于点，过点作，交延长线于点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型4 利用“SSS”证明三角形全等】 13．（22-23八年级上·全国·课后作业）仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（    ） A． B． C． D． 14．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 15．（20-21八年级上·江苏宿迁·期末）如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形，根据图中标示的各点位置，请写出一个与全等的三角形：______． 16．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【题型5 利用“HL”证明三角形全等】 17．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）在课堂上，李老师发给每人一张印有 (如图)的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是(   ) A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·广西钦州·期中）如图，于点，，添加下列一个条件后，能使用“”判定的条件是（   ） A． B．与互余 C． D． 19．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 20．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知：中，于A，点F在上，连接，交于点D，， (1)求证：； (2)求证：． 【题型6 三角形的稳定性】 21．（24-25八年级上·全国·阶段检测）生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（     ） A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 22．（23-24八年级上·福建厦门·期中）生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．  B．    C．   D．      23．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答：___________．（填“稳定性”或“不稳定性”） 【题型7 添加条件证明两个三角形全等】 24．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）在与中，下列条件能判断与全等的个数是（　　） ①，，；②，，；③，，；④，，． A． B． C． D． 25．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，添加下列条件后能证明的是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是____________． 27．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，若要使，需添加一个条件，请从“条件：”，“条件：”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 【题型8 灵活选用合适的方法证明三角形全等】 28．（20-21八年级上·重庆綦江·期末）如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 29．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，中，，平分，过点作于点，在上取． (1)求证：； (2)猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 30．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． (1)______（写成的形式，至少写个）； (2)选取其中一个加以证明． 【题型9 二次证明三角形全等】 31．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 32．（安徽省芜湖市第二十九中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷）如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 33．（江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明：， ，    第一步 又，， ≌，     第二步 ．                 第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 34．（2025一2026学年第一学期期末质量检测八年级数学试卷）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 35．（【智】040章末对点导练（单元考点整合中考真题演练）八年级数学上册（沪科2024））如图，在中，．点在内，连接，，且的平分线交的延长线于点，连接．求证：． 【题型10 数全等三角形的对数】 36．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有________个． 37．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，，，如果存在E，使与全等，那么符合条件的点E有_______个． 38．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是___________；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中有___________个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中有___________个与全等且有一个公共点的格点三角形． 【题型11 全等三角形性质与判定综合】 39．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 40．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，则的长为________． 41．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，，是的高线，，交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 42．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边中，，、相交于点． (1)求证； (2)过点作，垂足为．若，，求的长． 【题型12 全等三角形与动态问题】 43．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 44．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，的值为（　　） A． B． C．或 D．或 45．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为________时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 46．（20-21七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，点是边的中点．点是边上的动点，以/秒的速度从点向点运动；点是边上的动点，同时从点向点运动．设运动时间为/秒． （1）如果点运动的速度与点运动的速度相等．求证当运动时间秒时，． （2）如果点运动的速度与点运动的速度不相等，是否存在某一时刻，使与全等？若存在，求出的值，并求此时点运动的速度；若不存在，请说明理由． 【题型13 利用全等三角形的性质与判定确定线段间的数量关系】 47．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点． (1)试判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由． 48．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是______； (2)如图2，当是钝角，且时，探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当是钝角，且时，直接写出与之间的数量关系． 49．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F．当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (1)探究一：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图1所示，此时___________，线段与之间的数量关系：___________； ②当时，如图2所示，求此时的度数及线段与之间的数量关系并说明理由； (2)探究二：观察一般情况，当绕着点D运动时，与之间有什么数量关系并证明． 【题型14 利用全等三角形的性质与判定确定线段间的位置关系】 50．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图1，在正方形 和正方形 中，点 C在边 上，连接，． (1) 与 的位置关系是 ； (2)将正方形 绕点 D按顺时针方向旋转，使点 E 落在 边上，如图 2，连接 ，，与 有怎样的位置关系？并证明你的结论． 51．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； (3)如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 52．（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）如图1，在中，，．点在上，点在上，且．则与的数量关系是________，直线与直线的位置关系是________； （2）如图2，在和中，，，．则与的数量关系怎样？直线与直线的位置关系怎样？请说明理由．      1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 3．（2025八年级上·安徽·专题练习）【问题发现】 （1）如图1，在中，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中是边上的高．延长交于点，设面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，和都是等腰三角形，，，且，连接，． 【初步探索】（1）如图1，若，当时，___________； 【简单应用】（2）如图2，当点在的内部时，求证：； 【深入探究】（3）如图3，，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 全等三角形的判定 【知识点1 全等三角形的判定方法（SSS）】 1）文字描述：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若. 【知识点2 全等三角形的判定方法（SAS）】 1）文字描述：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 4）易错： ①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，两边及其中一边的对角（边边角）不能判定三角形全等； 例: ②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上.（夹角在中间）. ③运用“SAS”证明三角形全等时，一定要找准对应相等的边、角.要注意隐含的等角，如：公共角，对顶角，角平分线等. 【知识点3 全等三角形的判定方法（ASA）】 1）文字描述：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 【知识点4 全等三角形的判定方法（AAS）】 1）文字描述：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在△ABC与△DEF中，若 【知识点5 直角三角形的判定方法（HL）】 1）文字描述：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2）图示： 3）几何表述：如上图所示，在Rt△ABC与Rt△DEF中，若 【知识点6 选用合适的方法判定两个三角形全等】 【题型1 利用“SAS”证明三角形全等】 1．（22-23八年级上·辽宁大连·期中）如图，与相交于点，，若用“”证明≌，还需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． ，由于对顶角相等得到，然后根据“”添加条件即可． 【详解】解：，， A、当添加时，不能证明；     B、当添加时，，不能用证明； C、当添加时，，不能用证明； D、当添加时，能证明． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的应用，根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法．已知两边及其夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴判定的理由是． 故答案为：． 3．（22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关内容是解题的关键． 先根据角平分线性质得到角的关系，再通过全等三角形判定证明全等，进而得出对应角相等，最后利用补角性质求出所求角的度数． 【详解】解：∵， ， ∴． ∵AD是的角平分线， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【题型2 利用“ASA”证明三角形全等】 5．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（    ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 6．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定； 由垂直得，求出，证明，得到，，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，现要直接用“”定理来证明，请添加一个条件_______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，然后利用证明即可； （2）首先求出，根据全等三角形的性质得，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ∴； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型3 利用“AAS”证明三角形全等】 9．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，下列能判定的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知两个三角形有两个角对应相等，且有一条边对应相等（不是两对应角的夹边），据此结合全等三角形的判定定理可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知等腰，，斜边交轴正半轴于点，若，则点的坐标为___． 【答案】 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是利用全等得出点坐标． 过作轴于，过作轴于，根据全等三角形的性质得到． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，如图所示： ， ， ， ， ， ， ∵等腰， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，是的边上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由平行线的性质得，进而由判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而由线段的和差关系即可求解； 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． 12．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，中，是边的垂直平分线交边于点，过点作，交延长线于点，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据是的垂直平分线，得到，，再证，即可求解． （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，再求得，根据是等腰三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，， ， ，     在和中， ， ，      ， ． （2）解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ， 在中，，   ， ，     在中，， ． 【题型4 利用“SSS”证明三角形全等】 13．（22-23八年级上·全国·课后作业）仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质； 根据作图步骤可知，，，然后利用证明即可． 【详解】解：由作图可知：，，， ∴， ∴，即， 故选：A． 14．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【答案】7 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图所示，以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 以为公共边，与全等的格点三角形有1个， 以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 共个． 故答案为：7． 15．（20-21八年级上·江苏宿迁·期末）如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形，根据图中标示的各点位置，请写出一个与全等的三角形：______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理，，，结合图形进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知和全等，理由如下： ∵根据图形可知，，， ∴， 即和全等， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的观察图形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：，，，． 16．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）解： 由（1)可知：， ， ， ， ． 【题型5 利用“HL”证明三角形全等】 17．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）在课堂上，李老师发给每人一张印有 (如图)的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段， 在与中， ， ， 故选：D． 18．（25-26八年级上·广西钦州·期中）如图，于点，，添加下列一个条件后，能使用“”判定的条件是（   ） A． B．与互余 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，熟记“”定理是解题的关键，要利用“”判定，由已知于点，，得必须添加斜边相等即可． 【详解】解：于，， ∴利用“”判定必须添加斜边相等，即， 故选：． 19．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：， ， 在和中： ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 20．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知：中，于A，点F在上，连接，交于点D，， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据“斜边直角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）根据，再结合可得，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． 【题型6 三角形的稳定性】 21．（24-25八年级上·全国·阶段检测）生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（     ） A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用．熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性的应用判断作答即可． 【详解】解：屋顶支撑架，自行车脚架，旧门钉木条都是利用了三角形的稳定性， 伸缩门是利用了四边形的不稳定性， 故选：C． 22．（23-24八年级上·福建厦门·期中）生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．   B．     C．   D．      【答案】C 【分析】根据三角形的稳定性结合实际问题进行解答． 【详解】解：屋顶支撑架，自行车脚架，旧门钉木条都是利用了三角形的稳定性， 伸缩门是利用了四边形的不稳定性， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形． 23．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答：___________．（填“稳定性”或“不稳定性”） 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，结合塔吊的上部是三角形结构，则应用了三角形的稳定性，即可作答． 【详解】解：依题意，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，且塔吊的上部是三角形结构， ∴这是应用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 【题型7 添加条件证明两个三角形全等】 24．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）在与中，下列条件能判断与全等的个数是（　　） ①，，；②，，；③，，；④，，． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵在与中，，，，是的对边，是的对边，符合判定定理， ∴，该选项条件能判断与全等； ②∵在与中，，，，是的对边，是的对边，符合判定定理， ∴，该选项条件能判断与全等； ③∵是中的对边，是中的对边，对应边不匹配，不符合全等三角形判定定理， ∴该选项条件不能判断与全等； ④∵是中的对边，是中的对边，对应边不匹配，不符合全等三角形判定定理， ∴该选项条件不能判断与全等； 综上，能判定全等的有个， 故选：． 25．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，根据全等三角形的判定方法，添加下列条件后能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．首先根据等式的性质可得，结合，再分别添加四个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理进行分析即可．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， 另有． A、添加，根据不能判定，故本选项不符合题意； B、添加，根据不能判定，故本选项不符合题意； C、添加，只有两个条件，不能判定，故本选项不符合题意； D、添加，可得，根据能判定，故本选项符合题意； 故选：D． 26．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，已知一组边相等及一个角相等，再添加一个角相等，或者一条边相等即可求解． 【详解】解：， ， ， 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加， 则； 故答案为：（答案不唯一） 27．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，若要使，需添加一个条件，请从“条件：”，“条件：”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，选择条件，可利用证明；选择条件，可利用证明，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选择条件：，证明如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择条件：，证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴． 【题型8 灵活选用合适的方法证明三角形全等】 28．（20-21八年级上·重庆綦江·期末）如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接用即可证明； （2）由，可得出，由， 可得出，由即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ∴ （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键． 29．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，中，，平分，过点作于点，在上取． (1)求证：； (2)猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平分，可得，即可证明和全等； （2）证明和全等，可得，即可解得 【详解】（1）证明：∵， ∴ 又∵平分 ∴ 在和中 ∴ （2），理由如下 ∵， ∴ 又∵平分 ∴ 在和中 ∴ ∴ 又∵， ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形的全等以及角平分线的性质，灵活运用所学的知识是解题的关键． 30．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． (1)______（写成的形式，至少写个）； (2)选取其中一个加以证明． 【答案】(1)①②→④，①④→② (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握． （1）根据条件，则只要是由任两个条件推出结论，但必须保证结论的正确性即可，例如，； （2）要证结论的正确性，例如由，则只需证，即可． 【详解】（1）解：假设由为条件，有为公共角，由可得，可得，即结论正确， 若为条件，则由可得，得出，结论正确， 故答案为：，； （2）选 证明：，，， ∴ 选 证明：∵，，； ∴， ∴， 【题型9 二次证明三角形全等】 31．（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 32．（安徽省芜湖市第二十九中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷）如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 【答案】此图中有对全等三角形，分别是、、，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：此图中有对全等三角形，分别是、、，证明如下： ，， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ； 在和中， ， ． 33．（江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图， 点、、在一条直线上，， ，求证：. 小虎同学的证明过程如下： 证明：， ，    第一步 又，， ≌，     第二步 ．                 第三步 (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程. 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理求解即可； （2）过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点，利用证明≌，根据全等三角形的性质得出，利用证明≌，从而得出． 【详解】（1）小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）证明：如图：过点分别作交的延长线于点，交的延长线于点， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ． 34．（2025一2026学年第一学期期末质量检测八年级数学试卷）如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 35．（【智】040章末对点导练（单元考点整合中考真题演练）八年级数学上册（沪科2024））如图，在中，．点在内，连接，，且的平分线交的延长线于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】由可证，再分别计算、、、、的值，再由证，可得． 【详解】证明：由题意，得． ， ． 在和中， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质等知识． 熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【题型10 数全等三角形的对数】 36．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有________个． 【答案】3 【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 【详解】解：如图，    图中与全等的格点三角形是，共3个， 故答案为：3． 37．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，，，如果存在E，使与全等，那么符合条件的点E有_______个． 【答案】4 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，画出图形，根据可判断三角形全等，从而可解答本题． 【详解】解：如图， 由图可知，使与全等符合条件的点E有4个， 故答案为：4． 38．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是___________；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中有___________个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中有___________个与全等且有一个公共点的格点三角形． 【答案】 6 3 11 【分析】本题考查作图，三角形的面积，全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用“”方法找出所有全等三角形． （1）用割补法求解即可； （2）①根据“” 以为公共边，另一点在格点上作出与全等的三角形即可；②根据“”以点为公共点，其它两点在格点上作出与全等的三角形即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：6； （2）①如图2中，、、是与全等且有一条公共边的格点三角形，则在图2中有3个与全等且有一条公共边的格点三角形； 故答案为：3； ②如图3中，、、、、、、、是与全等且有一个公共点的格点三角形，则在图3中有11个与全等且有一个公共点的格点三角形． 故答案为：11． 【题型11 全等三角形性质与判定综合】 39．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系证明全等三角形． （1）利用垂直得直角，结合对顶角和，证明，得； （2）证明，得． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 40．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再结合运用可证明，根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证明结论； （2）证明得到，由可得， 再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵C是的角平分线上一点，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：4． 41．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，，是的高线，，交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见详解 (2)的面积为30 【分析】本题主要考查三角形全等和三角形面积的计算，找到对应的三角形全等是解题的关键． （1）通过证明两个三角形全等，即可得到对应边相等； （2）利用全等三角形的性质求出相关线段的长度，进而计算三角形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵，是的高， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为30． 42．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边中，，、相交于点． (1)求证； (2)过点作，垂足为．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质可得，，由可得出，最后利用全等三角形判定定理即可证明； （2）利用全等三角形的性质可得，，利用三角形的外角的性质得出，利用含角直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差关系即可求出的长． 【详解】（1）证明：等边， ，， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为7． 【题型12 全等三角形与动态问题】 43．（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 44．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，、同时停止运动．过、分别作的垂线，垂足分别为、．设运动的时间为，当以、、三点为顶点的三角形与全等时，的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设运动运动的时间为时，则，，根据题意，得，，根据三角形全等，分类解答即可． 本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为时，则，， ∵，， ∴，， 当点到达终点时，运动时间为：， 点Q到达C的运动时间为：， ∵以、、三点为顶点的三角形与全等， 得到， 故， ∴或， 解得或， 故选：D． 45．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为________时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】5或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和二元一次方程组的求解，正确理解题意、分情况讨论是解题的关键； 设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，则，，，表示出，，再分与两种情况，根据全等三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s， 由题意得，，，， 所以，， ∵， ∴， 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 综上，动点M的运动速度是2或； 故答案为：5或． 46．（20-21七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，点是边的中点．点是边上的动点，以/秒的速度从点向点运动；点是边上的动点，同时从点向点运动．设运动时间为/秒． （1）如果点运动的速度与点运动的速度相等．求证当运动时间秒时，． （2）如果点运动的速度与点运动的速度不相等，是否存在某一时刻，使与全等？若存在，求出的值，并求此时点运动的速度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）存在，秒，/秒 【分析】（1）根据的值先运算出的长度，求出和的长度，再利用等腰三角形的性质得到，再利用边角边证明即可； （2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度时间公式，先求得点的运动时间，再求点的运动速度． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵为中点 ∴ 又∵ ∴ ∴在和中 ∴ （2）存在某一时刻，使 理由是： 又∵， ∴， ∴点，点的运动时间秒 ∴/秒 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质及判定，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【题型13 利用全等三角形的性质与判定确定线段间的数量关系】 47．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，与相交于点． (1)试判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)若，试猜想线段与有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析． 【分析】此题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用方法是解题的关键． （）先利用等角对等边得出，再证出，进而判断出，即可得出结论； （）先根据三角形的内角和求出，得出，进而判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（）知，， ∴ 48．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． (1)如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是______； (2)如图2，当是钝角，且时，探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当是钝角，且时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理，掌握等高三角形的面积比等于底边比即是解题的关键． （1）证明，得到，，根据，即可得出结论； （2）证，即可得解； （3）在上截取，易得，证明，得到，根据，，即可得出结论； 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下：， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：；理由如下： 在上截取，连接， 则，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 49．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在中，，，点D为边的中点，且，与边，分别交于点E，F．当绕着点D运动时，线段与的数量关系是否发生改变？ (1)探究一：首先观察点F的特殊位置： ①当点F与点C重合时，如图1所示，此时___________，线段与之间的数量关系：___________； ②当时，如图2所示，求此时的度数及线段与之间的数量关系并说明理由； (2)探究二：观察一般情况，当绕着点D运动时，与之间有什么数量关系并证明． 【答案】(1)①60，；②，，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是通过添加辅助线构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等来探究线段与的数量关系． （1）①利用等腰三角形三线合一及等边三角形的性质得出相关结论；②连接，通过角平分线性质及角度计算得出结论； （2）通过两种方法，分别是过点作垂线构造全等三角形和在上截取线段构造全等三角形来证明与的数量关系． 【详解】（1）解：①当点与点重合时， 在中，，点为边的中点， 根据等腰三角形三线合一性质可知， ， 是等边三角形， ，． 故答案为：60， ②解：连接， ，点为边的中点， 即为的角平分线， ， ，， ， ， ， ， ∴； （2）方法1：过点D作，，垂足分别为M，N， 点为边的中点， ， ，， ， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ， 在和中， ， ， ； 方法2：在上截取， 点为边的中点， ， ，， ， ，， 在四边形中，， ， 则， ， ， 又， ． 【题型14 利用全等三角形的性质与判定确定线段间的位置关系】 50．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图1，在正方形 和正方形 中，点 C在边 上，连接，． (1) 与 的位置关系是 ； (2)将正方形 绕点 D按顺时针方向旋转，使点 E 落在 边上，如图 2，连接 ，，与 有怎样的位置关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质以及全等三角形的判定和性质．需要注意的是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． （1）观察图形，、的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形、都是正方形，证明，则，由于、互余，所以、互余，由此可得． （2）参照（1）题的解题方法，可证，得，由于、互余，而5、互余，那么；由图知，即，由此得证． 【详解】（1）解：； 证明：延长交于点， 在正方形与正方形中，，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：； 证明：延长和相交于点， 在正方形和正方形中，， ∴； ∴， ∴； 又 ∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， ∴． 51．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知和都是等腰直角三角形，是直线上的一动点(点不与点重合)，连接． (1)如图①，当点在边上时，求证：； (2)如图②，当点在边的延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系； (3)如图③，当点在边的反向延长线上时，直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)详见解析 (2)， (3)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；本题解题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明，再结合全等三角形的性质推导线段关系与位置关系． （1）证明，可得，即可推出； （2）证，利用全等三角形的性质即可证明； （3）同（1）得，则，，得，再证即可． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ； （2）猜想，，理由如下： ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ； （3），，理由如下： 如图③所示： 同（1）得：， ，， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ． 52．（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）如图1，在中，，．点在上，点在上，且．则与的数量关系是________，直线与直线的位置关系是________； （2）如图2，在和中，，，．则与的数量关系怎样？直线与直线的位置关系怎样？请说明理由．      【答案】（1），；（2），，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由，，得出，由，得出； （2）证明≌，证出，，由三角形内角和定理得出，进而求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2），，理由如下： 延长交交于点．如图： ∵， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴，， ∵， ∴，即． 故答案为：，． 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动10秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即10秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况二： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【详解】证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2025八年级上·安徽·专题练习）【问题发现】 （1）如图1，在中，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中是边上的高．延长交于点，设面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟知全等三角形的判定定理与性质定理是解题关键． （1）证明，即可根据“角角边”证明； （2）证明，根据“角角边”证明，得到，即可证明； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N．证明，得到，同理可证明，得到，从而证明，根据三角形面积公式即可证明． 【详解】解：（1）证明：直线直线， ， ， ， ， ， 在和中， ； （2）的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3），理由如下： 过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证明：， ， ， ， . 4．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，和都是等腰三角形，，，且，连接，． 【初步探索】（1）如图1，若，当时，___________； 【简单应用】（2）如图2，当点在的内部时，求证：； 【深入探究】（3）如图3，，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）10 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由即可得到； （2）先证明，证明即可得出结论； （3）先证明，得出，再证明垂直平分，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴． 即． ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴． 即． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴垂直平分． ∴． ∴的周长为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $