四川省眉山冠城实验学校2025-2026学年高一下学期人教A版数学周测2　平面向量基本定理及坐标表示

**基本信息** 本卷聚焦平面向量基本定理及坐标表示，通过基础辨析、新定义应用及几何情境综合题，考查抽象能力、运算能力与模型意识，适配周测巩固与能力分层需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|6/30|向量坐标运算、平行条件、模与夹角|如第2题结合充要条件辨析，夯实概念理解| |多项选择|3/18|基底判定、斜坐标新定义|第8题以斜坐标情境考查数学思维，体现创新性| |填空题|3/15|向量线性表示、垂直与模|第11题仿全国卷真题形式，强化高考适配性| |解答题|3/37|向量与三角综合、几何应用|第15题以半圆为背景，融合坐标运算与最值问题，培养数学建模能力|

周测2　平面向量基本定理及坐标表示 (时间：75分钟　分值：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1.若O为坐标原点，向量=(-1，2)，=(3，3)，则点B的坐标为 A.(-4，-1) B.(4，1) C.(2，5) D.(-2，-5) 2.设x∈R，向量a=(x，1)，b=(4，x)，则“a∥b”是“x=2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若平面向量a与b的夹角为60°，a=(2，0)，|b|=1，则|2a+b|等于 A. B.2 C.4 D. 4.已知向量a，b满足a=，|b|=3，|a+b|=，则向量a与b的夹角为 A. B. C. D. 5.已知四边形ABCD是平行四边形，=2，若=λ+μ，则λ+μ等于 A. B.1 C. D. 6.已知平面向量a=(2，0)，b=(1，)，向量a-b与a-kb的夹角为，则k等于 A.2或 B.3或 C.2或0 D.3或 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列各组向量中，可以作为基底的是 A.e1=(0，0)，e2=(4，4) B.e1=(1，5)，e2=(-2，10) C.e1=(1，-3)，e2= D.e1=(2，4)，e2=(-4，-8) 8.已知两个不共线的单位向量e1，e2的夹角为θ，若c=xe1+ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量c的斜坐标，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则 A.a-b=(x1-x2，y1-y2) B.|a|= C.λa=(λx1，λy1) D.a·b=x1x2+y1y2 9.已知向量a=(-2，1)，b=(-1，t)，其中t∈R，则下列说法正确的是 A.若a⊥b，则t的值为-2 B.若a∥b，则t的值为 C.若t>-2，则a与b的夹角为锐角 D.若(a+b)⊥(a-b)，则|a+b|=|a-b| 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 10.已知向量a=(-2，1)，b=(3，2)，c=(5，8)，且c=λa+μb(λ，μ∈R)，则=　　　　　　　.  11.(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　 .  12.在矩形ABCD中，||=2，||=1，且E，F分别是边BC，CD的中点，则(+)·=　　　　.  四、解答题(本题共3小题，共37分) 13.(12分)设x，y∈R，向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)，且a⊥b，b∥c. (1)求|a+b|；(5分) (2)求向量a+b与2a+b-c夹角的余弦值.(7分) 14.(12分)已知向量a=(1，-)，向量b与a的夹角为，且|b|=2. (1)求向量b的坐标；(5分) (2)设向量c=(sin t，cos t)(t∈R)，向量m=(-，1)，若b·m=0，求|b+c|的最大值并求出此时t的取值集合.(7分) 15.(13分)已知半圆的圆心为O，直径AB=4，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，P为半径OC上的动点，以O为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示. (1)若4+-3=0，求与的夹角α的大小；(6分) (2)若y=·，当y取得最小值时，求点P的坐标及y的最小值.(7分) 参考答案 1.答案　A 解析　因为=-=(-1，2)-(3，3)=(-4，-1)，所以点B的坐标为(-4，-1). 2.答案　B 解析　因为向量a=(x，1)，b=(4，x)，则a∥b等价于x2=4，即x=±2，所以“a∥b”是“x=2”的必要不充分条件. 3.答案　D 解析　因为a=(2，0)，|b|=1，则|a|=2，|2a+b|2=4a2+4a·b+b2=16+4×2×1×+1=21， 故|2a+b|=. 4.答案　C 解析　|a|==1，设向量a与b的夹角为θ，因为|a+b|==，即1+6cos θ+9=7，解得cos θ=-，因为θ∈[0，π]，所以θ=，所以向量a与b的夹角为. 5.答案　C 解析　因为=2，所以=， 所以=+=+， 又=λ+μ，所以所以λ+μ=. 6.答案　A 解析　因为a=(2，0)，b=(1，)， 所以a-b=(1，-)，a-kb=，所以|a-b|=2，|a-kb|=2， (a-b)·(a-kb)=2-k+3k=2+2k， 又向量a-b与a-kb的夹角为， 所以cos〈a-b，a-kb〉= ==， 所以2k2-5k+2=0，解得k=2或k=. 7.答案　BC 解析　因为零向量与任意向量共线，A错误；因为1×10-5×(-2)≠0，所以e1=(1，5)与e2=(-2，10)不共线，可以作为基底，B正确；因为1×-(-3)×≠0，所以e1=(1，-3)与e2=不共线，可以作为基底，C正确；因为2×(-8)-4×(-4)=0，所以e1=(2，4)与e2=(-4，-8)共线，不可以作为基底，D错误. 8.答案　AC 解析　由已知得a=x1e1+y1e2，b=x2e1+y2e2， 因此a-b=(x1-x2)e1+(y1-y2)e2，所以a-b的斜坐标为(x1-x2，y1-y2)，A正确； λa=λx1e1+λy1e2， 因此λa的斜坐标是(λx1，λy1)，C正确； |a|= =， a·b=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)e1·e2， 因为e1与e2的夹角θ≠，所以B，D错误. 9.答案　AB 解析　由题意知，a=(-2，1)，b=(-1，t)，对于A，因为a⊥b，所以a·b=2+t=0，解得t=-2，故A正确；对于B，因为a∥b，所以∃λ∈R使得a=λb，即解得t=，故B正确；对于C，若a与b的夹角为锐角，则cos〈a，b〉>0且a与b不共线，则解得t>-2且t≠，所以当t=时满足t>-2，但a与b的夹角为0°，不是锐角，故C错误；对于D，因为(a+b)⊥(a-b)，所以(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0，即|a|=|b|，解得t=±2， 当t=2时，a+b=(-2，1)+(-1，2)=(-3，3)，a-b=(-2，1)-(-1，2)=(-1，-1)，则|a+b|=3，|a-b|=，则|a+b|≠|a-b|；当t=-2时，a+b=(-2，1)+(-1，-2)=(-3，-1)，a-b=(-2，1)-(-1，-2)=(-1，3)，则|a+b|=|a-b|=，故D错误. 10.答案　 解析　由c=λa+μb=(-2λ+3μ，λ+2μ)=(5，8)，得解得故=. 11.答案　 解析　a-b=(1，1-2x)，因为a⊥(a-b)，则a·(a-b)=0， 则x+1-2x=0，解得x=1. 则a=(1，1)，则|a|=. 12.答案　 解析　如图所示，以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(2，1)，因为在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点， 所以E，F(1，1)，所以=，=(1，1)，=(2，1)， 所以(+)· =·(2，1) =·(2，1) =3×2+×1=. 13.解　(1)由a⊥b，b∥c， 可得 解得 即a=(2，1)，b=(1，-2)，则a+b=(3，-1)， 则|a+b|==. (2)因为2a+b-c=2(2，1)+(1，-2)-(2，-4)=(3，4)，a+b=(3，-1)， 所以(a+b)·(2a+b-c)=3×3-4=5， |2a+b-c|==5， 设向量a+b与2a+b-c的夹角为α， 则cos α= ==， 即向量a+b与2a+b-c夹角的余弦值为. 14.解　(1)设b=(x，y)(x，y∈R)，依题意，|a|==2，a·b=|a||b|cos=-2，而a·b=x-y， 因此解得或 所以向量b的坐标是(-2，0)或(1，). (2)向量m=(-，1)，且b·m=0，当b=(-2，0)时，b·m=2≠0，不符合题意，舍去； 当b=(1，)时，b·m=1×(-)+×1=0，符合题意，即b=(1，)，则b+c=(1+sin t，+cos t)， 所以|b+c|===， 因为t∈R，则当t+=2kπ+，k∈Z，即t=2kπ+，k∈Z时，|b+c|max=3， 所以|b+c|的最大值是3，此时t的取值集合是. 15.解　(1)因为半圆的直径AB=4，所以A(-2，0)，B(2，0)，又OC=2，∠BOC=，则C，即C(-1，). 所以=(-1，-)，=(-3，)， 因为4+-3=0，所以=-=， 则cos α===. 又α∈[0，π]，所以α=，即与的夹角α=. (2)设=t(0≤t≤1)，由(1)知，=t(-1，)=(-t，t). 故=(t，-t)，=(-2+t，-t)， 所以y=·=t(-2+t)+3t2=4t2-2t=4-. 又因为0≤t≤1，所以当t=时，y=·有最小值-， 此时点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $