第2章 常用逻辑用语（思维导图+知识清单+两大易错点总结）（暑假预习举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 高中数学常用逻辑用语专项训练，以思维导图+知识清单构建逻辑体系，通过定义法与集合法系统梳理充分必要条件判定，聚焦命题否定步骤与端点值取舍两大易错点，培养逻辑推理与数学表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |命题、定理、定义|基础概念+注解读|命题形式“若p则q”分类|从陈述句真假判断到命题结构，建立逻辑基础| |充分必要充要条件|2类判定方法+4跟踪训练|定义法（p⇒q判断）、集合法（A⊆B关系）|从命题真假推出关系到充要条件传递性，形成逻辑链条| |全称存在量词命题|否定步骤+4跟踪训练|“改变量词+否定结论”双步骤|从量词命题结构到真假判断及否定，完善量化逻辑表达|

第2章 常用逻辑用语（思维导图+知识清单+两大易错点总结） 【苏教版】 2.1 命题、定理、定义 【知识点1 命题及相关概念】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【知识点2 定理、定义】 1．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 2．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 【知识点1 充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【知识点2 充要条件】 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【知识点3 充分、必要与充要条件的类型及判定】 1．充分条件与必要条件的四种类型 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 2．集合角度中的条件判断 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若A=B，则p是q的充要条件. 3．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 4．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 2.3 全称量词命题与存在量词命题 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断】 1．全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. 2．存在量词命题的真假判断 要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义. 【知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【知识点4 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【易错点1 忽略充分、必要条件中端点值的取舍】 易错点分析：在充分、必要条件的求参问题中，解题时需注意：①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；②要注意区间端点值的检验. 【注】：设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 【典例1】（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求得，由题意可得⫋，列出不等式，即可得答案. 【解答过程】由或，得， 由是的充分不必要条件，得⫋，可得，解得. 故选：C. 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用充分条件、必要条件的概念结合集合间的基本关系计算即可. 【解答过程】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D. 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解. 【解答过程】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的交集运算讨论，，列不等式即可得实数的取值范围； （2）根据必要不充分条件得⫋，从而列不等式组即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）由，得： ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，此时，要满足， 则需或，解得； 综上，实数的取值范围为； （2）∵q是p的必要不充分条件， ∴⫋， 则或，解得：， 故实数的取值范围为. 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）利用集合包含关系得到两个不等式：左端点满足，右端点满足，再结合集合非空条件，联立解得的范围. （2）由得两个不等式：且，结合解得，然后检查在此范围内是否成立. 【解答过程】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且， 解得且，取交集得， 故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 【易错点2 命题的否定出错】 易错点分析：没有掌握对全称量词命题、存在量词命题否定的步骤，对命题进行否定需要两个关键步骤：①改变量词；②否定结论；这二者缺一不可，不然会导致错误. 【注】：含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【典例2】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解答过程】根据存在量词命题否定的结构形式可得正确的选项. 【解题思路】命题：“，”为存在量词命题， 故其否定为：，， 故选：B. 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·湖南·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题得到答案. 【解答过程】命题“”的否定是“”， 故选：B. 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）命题“，使得”的否定是（   ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】C 【解题思路】根据存在量词命题的否定要求，改变量词，否定结论即得. 【解答过程】命题“，使得”的否定是“，使得”. 故选：C. 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）命题“，”的否定为（     ） A．, B． C．, D．, 【答案】B 【解题思路】根据特称命题的否定要求，改变量词，否定结论即得. 【解答过程】命题“，”的否定为“”. 故选：B. 【跟踪训练2.4】（2025高一上·江苏南通·专题练习）判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】根据含有存在量词的命题的定义进行真假判断，然后利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【解答过程】（1）因为，所以该命题为真命题，命题的否定为：，. （2）因为方程无解，所以该命题为真命题，命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解. （3）省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，由绝对值的定义可得，正数的绝对值都等于其本身，所以该命题为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 常用逻辑用语（思维导图+知识清单+两大易错点总结） 【苏教版】 2.1 命题、定理、定义 【知识点1 命题及相关概念】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【知识点2 定理、定义】 1．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 2．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 【知识点1 充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【知识点2 充要条件】 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【知识点3 充分、必要与充要条件的类型及判定】 1．充分条件与必要条件的四种类型 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 2．集合角度中的条件判断 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若A=B，则p是q的充要条件. 3．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 4．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 2.3 全称量词命题与存在量词命题 【知识点1 全称量词与存在量词】 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【知识点2 全称量词命题与存在量词命题的真假判断】 1．全称量词命题的真假判断 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. 2．存在量词命题的真假判断 要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义. 【知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定】 1．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对全称量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．对存在量词命题否定的两个步骤： (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【知识点4 命题的否定与原命题的真假】 1．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 2．命题否定的真假判断 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真. 【注】命题p与p的否定的真假性相反. 【易错点1 忽略充分、必要条件中端点值的取舍】 易错点分析：在充分、必要条件的求参问题中，解题时需注意：①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；②要注意区间端点值的检验. 【注】：设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 【典例1】（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【易错点2 命题的否定出错】 易错点分析：没有掌握对全称量词命题、存在量词命题否定的步骤，对命题进行否定需要两个关键步骤：①改变量词；②否定结论；这二者缺一不可，不然会导致错误. 【注】：含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 【典例2】（24-25高一上·江苏南通·阶段检测）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·湖南·期中）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）命题“，使得”的否定是（   ） A．，使得 B．，使得 C．，使得 D．，使得 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）命题“，”的否定为（     ） A．, B． C．, D．, 【跟踪训练2.4】（2025高一上·江苏南通·专题练习）判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $