1.3 用反比例函数解决问题 同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“用反比例函数解决问题”，分层设计从基础应用到跨学科综合，梯度合理，强化模型意识与现实问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|反比例函数概念直接应用|如第1题地板砖块数与面积关系，第3题眼镜度数与焦距计算，巩固抽象能力| |实际问题解决|多步骤情境问题处理|如第5题销售利润计算，第7题注意力指标函数分析，培养推理能力与数据意识| |跨学科综合|物理、化学等学科情境整合|如物理杠杆平衡（第1题）、化学酒精浓度（第3题），体现数学语言表达现实世界的应用意识|

1.3 用反比例函数解决问题 用反比例函数解决实际问题 1. 用规格为的地板砖密铺客厅恰好需要60块.若改用规格为的地板砖块，恰好也能将客厅铺完(不考虑铺设地砖之间的缝隙)，那么与之间的关系式为（ ） A. C. 答案： 解析:由题意设与之间的关系式为，由于用规格为的地板砖密铺客厅恰好需要60块，则，故选B. 2. 某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.现测得不同时刻的与的数据如表： 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（ ） 答案： 解析:观察表格可得当时，与的比值为定值，成正比例关系，当时，与的乘积为定值，成反比例关系，故选D. 3. 已知近视眼镜的度数(度)与镜片焦距(米)成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米.小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了________度. 答案：150 解析:设函数的表达式为度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，表达式为当时，小慧原来戴400度的近视眼镜，小慧所戴眼镜的度数降低了150(度). 4. 在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度(单位：cm)与面条的横截面积(单位：cm)成反比例函数关系，其图象如图所示，则该面团的体积为________；若要使得面条的横截面积不超过，则面条总长度最少为________cm. 答案：128 160 解析:设面团的体积为，则，将(4，32)代入得，，则该面团的体积为.将代入得，则要使得面条的横截面积不超过，面条总长度最少为. 5. 某文具店以4元/件的价格购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查.发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件. (1) 设该物品的售价为元/件时，销售量为件，请写出与的函数表达式(不用写出的取值范围)； (2) 若文具店考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少? 答案： (1) 依题意得，则. (2) 设该物品的售价应定为元/件，依题意得4)，解得，经检验，是方程的根且符合题意. 答:该物品的售价应定为5元/件. 6. 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系(如图②)，已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. 0.1h B. 0.35h C. 0.45h D. 0.5h 答案：B 解析:由题图②得，限速区间段的总路程为最高车速为在最高车速下的行驶时间，同理可得，在最低车速下的行驶时间通过限速区间段的行驶时间应该在之间. 选项符合题意.故选B. 7. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标数随时间(分钟)变化的函数图象如图所示.当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数图象的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1) 点的注意力指标数是________. (2) 当时，求注意力指标数与时间(分钟)的函数表达式. (3) 张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36?请说明理由. 答案： (1) 24 解析:设时函数的表达式为，由得，即，当时，点的注意力指标数是24. (2) 当时，设函数的表达式为， (3) 张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36. 理由:当时，即，解得，即;当时，;当36时，即，解得，即当时，注意力指标数都不低于36.而张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36. 8. 如图是在一次药物临床试验中，受试者服药后血液中的药物浓度(微克/毫升)与用药的时间(小时)变化的图象.第一次服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，其中与平行.血液中药物的浓度不低于5微克/毫升时有疗效. (1) 分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度. (2) 受试者第一次服药后第二次服药前的这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时了吗? (3) 若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，则受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药？ 答案： (1) 把点代入，得，曲线的函数表达式为.当时，，即第16小时血液中的药物浓度为3微克/毫升. 设直线的函数表达式为，把点代入，得.与平行，设直线的函数表达式为，把点代入，得，直线的函数表达式为，当时，11，即第22小时血液中的药物浓度为11微克/毫升. (2) 当时，若，则，解得;当时，若，则，解得这16小时内药物有疗效的持续时间未达到6小时. (3) 把点代入，得，曲线的函数表达式为.当时，(小时)，受试者第二次服药后至少经过48小时可进行第三次服药. 用反比例函数解决跨学科问题 1. 小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力阻力臂动力动力臂.现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力关于动力臂的函数图象大致是（ ） 答案：A 解析:阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力和阻力臂分别是和动力关于动力臂(单位:)的函数表达式为，则，是反比例函数，A选项符合，故选A. 2. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是（ ） A. 函数表达式为 B. 函数图象经过 C. 当时， D. 当时， 答案：C 解析:设，将代入得，故A选项错误;将代入得，故B选项错误;将10代入得，由图象可得当时，3.6，故选项正确;将代入得，故选项错误.故选C. 3. 化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的.如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度(瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值)与酒精的质量的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是________. 答案：甲 解析:根据题意，可知的值即为乙醇质量，乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，乙、丁两瓶乙醇质量相同.甲点在反比例函数图象上方，丙点在反比例函数图象下方，甲瓶的的值最大，即乙醇质量最多，丙瓶的的值最小，即乙醇质量最少. 4. 受冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道端以平均2)米/秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了20秒. (1) 求的值； (2) 设小勇从滑雪道端滑到端的平均速度为米/秒，所用时间为秒，请用含的代数式表示(不要求写出的取值范围). 答案： (1) 根据题意，得，解得. (2) 由(1) 知，(米)，. 5. 给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示. (1) 当气球内的气压超过时，气球会爆炸.若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸(球体的体积公式取3； (2) 请你利用与的关系解释为什么超载的车辆容易爆胎. 答案： (1) 设函数表达式为，根据图象可得.当时，，解得随的增大而减小，要使气球不会爆炸，，此时气球的半径至少为时气球不会爆炸. (2) 由于车辆超载，轮胎内气体的体积变小，胎内气压增大，易爆胎.(合理即可) 6. 李白《望天门山》诗中写道：“天门中断楚江开，碧水东流至此回.两岸青山相对出，孤帆一片日边来.”这首诗的意境可以用如图所示的函数图象进行直观描述，则与的函数表达式可以是（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析:A.图象在第一、三象限，不符合题意.B.当时，，图象在第二象限;当时，，图象在第一象限，符合题中图象.C.图象为一条直线，不符合题意.D.当0时，，图象在第二象限；当时，，图象在第一象限，但该函数的图象均为直线，不符合题意.故选B. 7. 在实验课上，小明做了一个试验.如图，在仪器左边托盘(固定)中放置一个物体，在右边托盘(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质量为.在容器中加人一定质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表： 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象. (1) 请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象. (2) 观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而________(填“增大”或“减小”)，随的增大而________(填“增大”或“减小”)，的图象可以由的图象向________(填“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到. (3) 若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围. 答案： (1) 函数图象如图所示. (2) ①观察图象可知，可能是的反比例函数.设，把代入，得.经检验，其余各个点坐标均满足关于的函数表达式为. ②观察表格以及①可知，可能与成反比例.设，把代入，得.经检验，其余各个点坐标均满足关于的函数表达式为. ③减小 减小 下 解析:观察图象可得相应信息. (3) 当时，，解得；当时，，解得托盘与点的距离的取值范围为. 8. 甲、乙、丙三人直立在相同大小的平板上，平板对水平地面的压强与平板面积的关系分别如图中的，则当平板面积增加量相同时，甲、乙、丙三人所站的平板对水平地面的压强变化量最大的是________(填“甲”“乙”或“丙”). 答案：丙 解析:根据反比例函数图象可得.设起始平板面积为，若平板面积增加，则甲所站的平板对水平地面的压强减少了，同理，乙、丙所站的平板对水平地面的压强分别减少了和.因为，所以丙所站的平板对水平地面的压强变化量最大. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 用反比例函数解决问题 用反比例函数解决实际问题 1. 用规格为的地板砖密铺客厅恰好需要60块.若改用规格为的地板砖块，恰好也能将客厅铺完(不考虑铺设地砖之间的缝隙)，那么与之间的关系式为（ ） A. C. 2. 某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.现测得不同时刻的与的数据如表： 则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（ ） 3. 已知近视眼镜的度数(度)与镜片焦距(米)成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米.小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了，则小慧所戴眼镜的度数降低了________度. 4. 在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度(单位：cm)与面条的横截面积(单位：cm)成反比例函数关系，其图象如图所示，则该面团的体积为________；若要使得面条的横截面积不超过，则面条总长度最少为________cm. 5. 某文具店以4元/件的价格购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查.发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件. (1) 设该物品的售价为元/件时，销售量为件，请写出与的函数表达式(不用写出的取值范围)； (2) 若文具店考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少? 6. 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系(如图②)，已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. 0.1h B. 0.35h C. 0.45h D. 0.5h 7. 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标数随时间(分钟)变化的函数图象如图所示.当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数图象的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1) 点的注意力指标数是________. (2) 当时，求注意力指标数与时间(分钟)的函数表达式. (3) 张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36?请说明理由. 8. 如图是在一次药物临床试验中，受试者服药后血液中的药物浓度(微克/毫升)与用药的时间(小时)变化的图象.第一次服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，服药6小时后血液中的药物浓度达到最高，16小时后开始第二次服药，服药后对应的图象由线段和部分曲线组成，其中与平行.血液中药物的浓度不低于5微克/毫升时有疗效. (1) 分别求受试者第16小时，第22小时血液中的药物浓度. (2) 受试者第一次服药后第二次服药前的这16小时内，有疗效的持续时间达到6小时了吗? (3) 若血液中的药物浓度不高于4微克/毫升时才能进行第三次服药，则受试者第二次服药后至少经过几小时可进行第三次服药？ 用反比例函数解决跨学科问题 1. 小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力阻力臂动力动力臂.现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力关于动力臂的函数图象大致是（ ） 2. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是（ ） A. 函数表达式为 B. 函数图象经过 C. 当时， D. 当时， 3. 化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的.如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度(瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值)与酒精的质量的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是________. 4. 受冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动.一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道端以平均2)米/秒的速度滑到端，用了24秒；第二次从滑雪道端以平均米/秒的速度滑到端，用了20秒. (1) 求的值； (2) 设小勇从滑雪道端滑到端的平均速度为米/秒，所用时间为秒，请用含的代数式表示(不要求写出的取值范围). 5. 给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示. (1) 当气球内的气压超过时，气球会爆炸.若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸(球体的体积公式取3； (2) 请你利用与的关系解释为什么超载的车辆容易爆胎. 6. 李白《望天门山》诗中写道：“天门中断楚江开，碧水东流至此回.两岸青山相对出，孤帆一片日边来.”这首诗的意境可以用如图所示的函数图象进行直观描述，则与的函数表达式可以是（ ） A. B. C. D. 7. 在实验课上，小明做了一个试验.如图，在仪器左边托盘(固定)中放置一个物体，在右边托盘(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质量为.在容器中加人一定质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表： 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象. (1) 请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象. (2) 观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而________(填“增大”或“减小”)，随的增大而________(填“增大”或“减小”)，的图象可以由的图象向________(填“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到. (3) 若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围. 8. 甲、乙、丙三人直立在相同大小的平板上，平板对水平地面的压强与平板面积的关系分别如图中的，则当平板面积增加量相同时，甲、乙、丙三人所站的平板对水平地面的压强变化量最大的是________(填“甲”“乙”或“丙”). 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $