精品解析：广东中山市中山纪念中学2025-2026学年高一下学期3月数学月考试卷

2025-2026学年广东中山纪念中学高一下学期3月数学月考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期是（ ）． A. B. C. D. 2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 3. 若向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 5. =（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足与的夹角为 若 则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. （ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于向量，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 是图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 若，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在梯形中与 交于点则__________． 13. 设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数__________． 14. 阿耶波多第一是已知的印度最早的数学家，对三角学的发展作出了巨大的贡献，公元6世纪初，他用勾股定理先算出，， 的正弦值之后，再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获得每隔的正弦值表．若已知的正弦值近似为，则按照阿耶波多第一的方法，可以算出的正弦值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，与的夹角为． 求： （1）； （2）； （3）． 16. 已知 ，且 为锐角. 求： （1）的值； （2）的值. 17. 如图，在等腰梯形中，，，，E是 边的中点． （1）试用，表示，； （2）求的值． 18. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 19. 广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时. （1）求小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式； （2）在摩天轮转动一圈过程中，小明的高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东中山纪念中学高一下学期3月数学月考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用周期公式计算. 【详解】由题意， ； 故选：D. 2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式确定的图象平移过程即可. 【详解】由，则可由的图象向右平移个单位得到. 故选：D 3. 若向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将平方，利用数量积的运算律即可求解． 【详解】， ， ． 故选：B． 4. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 5. =（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角差的正弦可求三角函数式的值. 【详解】, 故选：D. 6. 已知向量满足与的夹角为 若 则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，  .  若，则   ，即 ， 所以  ， 解得. 7. （ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 将 代入所求的式子，即可求解. 【详解】 . 故选:C. 【点睛】本题考查非特殊角的三角函数求值，考查公式变形应用，化非特殊角为特殊角，非特殊角相消相约，达到求值目的，属于基础题. 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，根据函数的周期性，结合正弦函数的零点，列出相关的不等式，求解可得的取值范围. 【详解】由题意可得，，则的最小正周期是. 若函数 在上没有零点，则，所以. 当时，. 所以. 所以或. 若，则； 若，则. 所以的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于向量，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的定义判断C，利用相等向量的定义判断AD，利用共线向量的定义判断B． 【详解】对于A：向量的长度相等，方向不一定相同， 从而得不出，即该选项错误； 对于B：若，则，故该选项正确； 对于C：向量有方向不能比较大小，故该选项错误； 对于D：因为，，所以，则该选项正确． 10. 计算下列各式，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，利用诱导公式和二倍角余弦公式即可计算，对B，利用辅助角公式即可计算，对C，利用二倍角的正切公式即可计算，对D，利用两角和与差的正切公式即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，原式，故C错误； 对D，原式，故D正确； 故选：BD. 11. 已知函数的部分图象如图，将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 是图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由三角函数的图象与性质可得，再由三角函数图象变换法则可得，再结合三角函数的图象与性质逐项判断即可得解. 【详解】由图象可知函数的最大值为2，最小正周期满足即， 所以，， 又点在函数的图象上，所以， 所以即， 又，所以，， 将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的，可得的图象， 再将所得函数图象向左平移个单位长度，可得的图象， 所以， 因为， 所以点不是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴， 故A错误，B正确； 当时，， 所以在区间上不单调，故C错误； 若，则、分别为函数的最大值、最小值； 由函数的最小正周期为可得的最小值为， 故D正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定及图象变换的应用，考查了三角函数图象与性质的应用，属于中档题. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在梯形中与交于点则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，， 所以. 13. 设是平面内两个不共线的向量，已知且三点共线，则实数__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由三点共线，可得，利用向量共线的充要条件列出向量方程，根据对应系数相等求解即得. 【详解】依题意，，, 因三点共线，即，则存在，使得， 即得，解得. 故答案为：1. 14. 阿耶波多第一是已知的印度最早的数学家，对三角学的发展作出了巨大的贡献，公元6世纪初，他用勾股定理先算出，， 的正弦值之后，再用半角公式算出较小角的正弦值，从而获得每隔的正弦值表．若已知的正弦值近似为，则按照阿耶波多第一的方法，可以算出的正弦值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，然后由二倍角正弦公式列方程求解． 【详解】设，则，根据二倍角正弦公式得：，，解得（因为，因此，均舍去）． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，与的夹角为． 求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）－20 （2）88 （3）156 【解析】 【分析】根据数量积概念和运算律可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 已知 ，且 为锐角. 求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据同角三角函数平方关系可求得，利用两角和差正弦公式可求得结果； （2）根据同角三角函数商数关系可求得，利用二倍角正切公式和两角和差正切公式可求得结果. 【详解】（1），， 均为锐角，，， . （2）由（1）可得：，， ， . 【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式求值的问题，涉及到同角三角函数值的求解、两角和差正弦和正切公式、二倍角正切公式的应用，属于基础题. 17. 如图，在等腰梯形 中，，，，E是边的中点． （1）试用，表示，； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用几何图形，结合平面向量基本定理，利用基底表示向量； （2）以向量为基底，表示向量，结合向量数量积的运算律和定义，即可求解. 【小问1详解】 ， ， ． 【小问2详解】 由题意可知，，， 所以 ． 18. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围. 【详解】（Ⅰ）， 所以的最小正周期为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知. 因为，所以. 要使得在上的最大值为， 即在上的最大值为1. 所以，即. 所以的最小值为. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 19. 广东省清远市美林湖摩天轮是国内最大的屋顶摩天轮，该摩天轮直径为84米，摩天轮的最高点距地面101米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小明从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小明登上摩天轮的时刻开始计时. （1）求小明与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式； （2）在摩天轮转动一圈过程中，小明的高度在距地面80米以上的时间不少于5分钟，求t的最小值. 【答案】（1）（，t为参数）；（2）15. 【解析】 【分析】（1）以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x轴建立直角坐标系，设，根据最高点和最低点的距离，求得的值，进而求得的值，即可求解. （2）由，得到，得到，即可求解. 【详解】（1）如图所示，以摩天轮最低点为原点，最低点的切线为x轴建立直角坐标系， 由题意可设 因为摩天轮的最高点距地面，最低点距地面， 所以解得， 又函数周期为t，可得，所以. 又时，，所以，即可取， 所以（，t为参数）. （2）依题意，可知，即， 不妨取第一圈，可得， 所以持续时间为，即，所以t的最小值为15. 【点睛】三角函数实际应用问题的处理策略： 1、已知函数模型求解数学问题； 2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题； 3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $