训练36 等比数列-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

班级： 姓名： 训练36 等比数列 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分）】 6.设公差d≠0的等差数列{an}中，a2,a5,a。成等 .1 1.已知数列a,}是等比数列，a,=3,a,=g,则公比 比数列，则1十a十a ( a1十a4十a7 9= ( B 10 A-3 B.一3 C.3 2.(2024·湖南衡阳三模)中国古代数学名著《九章算 c n 术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗.苗 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 主责之粟五斗.羊主日：“我羊食半马.”马主日： 7.(2024·广东韶关高三期中)设公比为g的等比数 () “我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题 列{an},若a1a5ag=64,则 的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗.禾苗主 A.a5=4 人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只 B.当a1=1时，g=士√2 有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛 C.a1和a。的等比中项为4 的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多 D.ai+as=8 少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟 8.已知公比为g的等比数列{a.小，a1a,=6,则 ( o0升 A. A.a4= 8 c9开 D.升 1 B.a3+a5≥ 4 3.已知等比数列{an},则“a1<a2”是“a<a+ (n∈N*)”的 ( C若a1=1,则g=土号 A.充分不必要条件 D.若a1=l,记Sm=|a1|十a2|+…+|am1, B.必要不充分条件 则S.<2 C.充要条件 9.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a+1= D.既不充分也不必要条件 3Sn,n∈N*,则 () 4.某超市去年的销售额为10万元，计划在今后10年 A.S2=4 内每年比上一年增加10%.从今年起10年内这家 B.a6=16a 超市的总销售额为 C.数列{an}是等比数列 A.100×(1.11°-1)万元 D.数列{Sn}是等比数列 B.110×(1.11°-1)万元 三、填空题（每小题5分，共15分） C.10×1.19万元 10.等比数列{an}中，a1=16,a2a4=16,则a5= D.10×1.15万元 得分 5.已知等比数列{a,}的前n项和为S.,若上+1十 11.一个等比数列前10项的和为36，前20项的和为 48,则其前30项的和为 得分 1 1 =7,a:=2则5， 12.在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项 a3 7 等比数列，则中间三个数的积等于 7 7 A.8 B.4 c.2 D.7 得分 (横线下方不可作答) 331□ 第六章 数列 四、解答题（共37分） 14.(19分)已知等比数列{an}各项均为正数，a1= 13.(18分)(2024·内蒙古包头三模)已知数列{an} 1024,且4S4=5S2(Sm为{an}的前n项和). 的前n项和为Sna1=3,Sm=1十am+1. 得分 得分 (1)求数列{an}的通项公式； (1)求证：数列{S.一1}是等比数列，并求Sn; (2)若Tm是数列{an}的前n项积，请求出T,及 (2)求数列 1 -的前n项和Tm 当T.取最大值时对应的n的值. a 红对勾·讲与练332] 高三数学·基础版 ■(2a.=3n-2=3m+13-1 3n+1 3n+1 3 3n+1' 因为n∈N“,所以3n十1≥4， 3 3 所以0<3m十≤， 所以<1 3 3n+1<1, 所以数列{a,}中的项都在区间(0， 1)内. 14.解：(1)Sm=2am十n-3①， 当n=1时，a1=2, 当n≥2时，S,-1=2a1十n-1-3②， ①-②得an=2am-1-1,n≥2，即 an-1=2(am1-1),n≥2， 由Sn=2an十n-3知an≠1，即an 1≠0， 所以{am一1}是首项为1，公比为2的 等比数列，得an一1=2”-1， 所以数列{an}的通项公式为a,= 2"-1十1. (2)存在.b。= n2 、n2 an-1=2, b+1-b,=n+1)2 、n2 = 2 2-1 -n2+2n+1 ,n∈N, 2n 令-n2十2n十1>0，得n=1或n= 2,即b3>b2>b1, 令-n2+2n十1<0，得n≥3， 即bn≤b3, 所以数列6.}的最大项为6，一导 训练35等差数列 1.A由a3十a5=-9,a1=-9可得公 3 差d=之，故aa1=a1十(2n 2)d=9,解得n=7.故选A. 2.B因为数列{an冫为等差数列，设公差 为d,由题得3d=a8-a5=12,即 d=4,又a2=a1十d=2,所以 a1=-2,所以Sn=-2n十 nn-D×4=2m2-4n,所以S。= 2 2×102-4×10=160.故选B. 3.C因为ag十a7=2a5=6,所以a5= 3,所以a:十a12=3十17=20，所 以S=Ca+a）X16=8a:+ 2 a12)=160.故选C. 4.B在等差数列{an}中，a1>0, 由S,=S,可得a8十a。=0,∴.ag> 0,ag<0,且数列{an}为递减数列，所 以使得前n项和最大的n的值为8.故 选B. 5.B数列{an}为等差数列，.数列 }为等差数列，设其公差为山，则 n =2d=2,解得d=1,又 10-8 S S2025 =a1=-20252025 1 -2025十2024=-1，.S2025= -2025.故选B. 6.C因为数列{an}为等差数列，a112< a1o13 一1，所以a1012与a1o13异号，又首项 a1>0,则公差d<0,所以a1o12>0, a113<0,则a1012>一a1o1a,所以 a1o12十a1013>0.由等差数列前n项和 公式及等差数列的性质可得S221= 2024(a1十a221） 2 =1012(a1012十 a113)>0,S2e5= 2025(a1+a2025） 2 2025(a1013十a1）=2025a1o13< 2 0,所以使得S。>0的n的最大值为 2024.故选C. 7.BCD:S,=9(a1+a) 2 =9a5< 0,S10= 10(as十a82>0,.a5<0, 2 a5十as>0,∴a6>0,故等差数列 {an}为递增数列，即a1<0,d>0,故 A错误，B正确；：a1十a7十a1o=a5十 a6十a7,且a5十a6>0,ag>0,a1十 a;十a1w>0,故C正确；：数列{an}为 递增数列，且a5<0,a>0,即数列前 5项为负，第6项起为正，∴S;是Sn的 最小值，故D正确.故选BCD. 8.ABD =aita:S S 2 'n+1-n 2 ),故A正确.若a,<0, 则0>a2>a3>…,S1最大：若a2= 0,则0>a3>a1>…,S1=S2最大； 若a2>0,则由am=a2十(n-2)d,可 知存在m∈N”,使am≥0，am中 0, 故Sm最大，故B正确.对数列1,2， 3,…,取n=1,则S1=1,Sg= 3,S?=6,故C错误.不妨设n>m, 则Sn-Sm=0→am+1十am+2十…十 a,=0,即0，十a.(m-m)=0> 2 2 2 (m十n),而1十amn=&mH十a= 2 2 0,故Sm+ ,=0,D正确.故选ABD. 9.ABD设等差数列{an}的公差为d, ,'a2=18,a1十a8=90,.a1十d= 18,2a1十8d=90,解得a1=9,d=9, 故A,B正确；an=9十9(n-1)=9n, a6=9×6=54,3a3=3×9X3= 81,∴.a8≠3a3,故C错误；Sw=9a1十 9X8a=9x9+9X8×9=405,故D 2 2 正确.故选ABD. 10.5 解析：由a5=2a1=ag十a;≠0，所 以ag=0,所以S；=5a3=0,所以 k=5. 4 11.3 解析：在等差数列{an}中，由a?= as 13(a1十a13） 12 2 13a7 9(a1十ag) 9as 2 13、12 4 ×15=3 12.(24,25) 解析：由题意可得，a0<0,a31>0, 即仁0280部号24<d< 25,故d的取值范围为(24,25) 13.解：(1)在等差数列{a,}中，设公差为 d,由S,=98,得7a1+a)=7a, 2 98,解得a1=14, 而a;=11,因此数列{an冫的公差 d=a;-a1=-3, 所以an=a1十(n-4)×(-3)= 14-3(n-4)=-3n十26. (2)由(1)知，数列{an}是递减数列， 26 由a,≥0，得n≤3： 因此数列{a,的前8项都为正，从第 9项起为负，则数列{a,}的前8项和 最大，而a1=23,ag=2, 所以(Sn)mx=S8= 8(a1十a8） 2 100. 14.解：(1)当n=1时，a1=一2十25= 23, 当n≥2时，an=Sm-Sa1= -2n2+25n+2(n-1)2-25(n 1)=27-4n, 又a1=27-4=23, 所以an=27-4n. (2)由(1)可知a,=27-4n, 当1≤n≤6时，T,=-2n2十25n, 当n≥7时，T。=2T6-(-2n2十 25n)=2×(-2×36+25×6)+ 2n-25n=2n2-25n+156, f-2n2+25n,1≤n≤6， 故T。={2m-25m+156,n≥7. 训练36等比数列 1.D数列{an}是等比数列，a2=3, a5=9,公比为g,则有a；=a2g2,即 1 =3g,得q=3,故选D. 2.C依题意，羊、马、牛主人应偿还量构 成公比为2的等比数列，设马主人应偿 还x升栗，则2x十x+2z=50,解得 工=100，所以马主人应偿还100升栗. 7 7 故选C. 3.D例如an=(-1)”,则a1=-1, a2=1,满足a1<a2,但a日=a+1,即 充分性不成立；例如am=一2”，则 a员=4”，满足a行<a+1,但a1=-2, a2=一4，即a1>a2,即必要性不成 立.综上所述，“a1<a,”是“a< a+1(n∈N“)”的既不充分也不必要 条件.故选D 4.B从今年起10年内这家超市的总销 售额为10×1.1+10×1.12+十10× 1.11= 10×1.1×(1-1.10) 1-1.1 110×(1.10-1)(万元).故选B. 5.B设等比数列{am}的公比为q,q十 0,依题意，上++=7a= 1 al ax a3 即1+1+ 1 ++ 参考答案541 1=7,所以2g+2+2=7,2g 5g十2=0，解得g=2或9=2，所以 1 1 a1= a?=2ag=1或a1=1, 1 1 Q2三203三4，所以S；三 4 合十1=子故选B 1 6.A因为公差d≠0的等差数列{an} 中，a2a5,a,成等比数列，所以a- a2·ag,即(a1十4d)2=(a1十d)· (a1十8d),解得8d=a1,所以 a1+a3+a5=3a1=a= a1十a1十a?3a1 a a1+2d_8d+2d10 a+3d-8d+37=.故选A. 7.AB由等比数列性质可得a1a5ag= a5=64,即a5=4,故A正确；当a1= 1时，a5=a1·qg=4,所以q=士2， 故B正确；因为a1ag=a号=16，所以 a1和a,的等比中项为4或一4，故C错 误；当a1=1时，a5=4,ag=16,故 a1十ag=17,故D错误.故选AB. 8.CD对于A,因为a1a?=(a1)”= 1 6,所以a1=±8，A错误；对于B,当 首项1=1，公比g=二2时， 1 a1Q?=6年满足题意，但此时a:十 11 a= 416 0,B错误；对于C,由 a1=a19=±8a1=1,得g=±2， C正确；对于D,S。=a1十a2十…十 1 1 |an=1十 2 十…十 1-(3) =2- N”,得Sn=2- ) <2,D正确. 故选CD. 9,ABD因为an1=3Sn,所以an 3Sm-1,n≥2，故n≥2时，两式相减得， am+1-am=3an,即an+ =4a,,因为 a2=3S1=3不适合上式，故数列{an} 从第2项开始是一个等比数列，公比为 4,a2=3,C错误；则S,=a1十a2= 1十3=4，A正确；84=g2=16,B正 a 确：因为a+1=3Sn三Sn+1一Sn,所 以Sm+1=4Sn,即数列{Sn}是以1为 首项，4为公比的等比数列，D正确.故 选ABD. 10.1 解析：因为{am}是等比数列，a1=16, 所以a2a1=a1a写=16a5=16,所以 a5=1. 11.52 解析：设该等比数列的前n项和 为Sn,由题意可知S10=36,S20= 48,公比9≠-1，且So,S20 S10,S0一S2。成等比数列，则 (S0-S1o)2=S10·(S0-S20),即 542红对闪·讲与练·高三数学· (48-36)2=36(S0一48)，解 得S0=52,所以其前30项的和 为52. 12.27 解析：依题意a1=1,a；=9,所以 a1a5=a2a1=a号=9，所以a3=3或 ag=-3(舍去)，所以a2a3a1=a；= 27. 13.解：(1)证明：因为S。=1十a+1, a=S-S, 所以S+H一2S,十1=0，整理 得Sn+1-1=2(Sm-1). 由题意得S1-1=a1-1=2, 所以数列{S,一1}是以2为首项，2为 公比的等比数列，故S,一1=2”， 即S,=2”十1. (2)由(1)可得an= 3,n=1, 2"-1,n≥2， 1 当n=1时，工==3 当n≥2时a m-1 所以. ()+ -)] 1- 1 专() n≥2. 当n=1时，T,=合满足上式。 袋上=-() 14.解：(1)设数列{an〉的公比为q,则 90, 当9=1时，4S1≠5S2,不合题意；： 当g≠1时，由条件可得4× a1(1-g) 1-9 2=5xa11-g2) 1-g 化简得4(1-g)=5(1-g2),则 5 1-q 放1十g=子又9>0，解得 1 q=2 从而Qn=a1g"1=1024X ) =21-"(n∈N), 所以数列{an}的通项公式为an= 2l-"(n∈N). (2)若Tn是数列{an}的前n项积，则 T。=20X2”×…X21-m a(10+H1-a) n(21-n2 =22 当T。取最大值时，n(21,一m取最 2 大值， 肉为21。”-(。-》+ 2 41,2号∈(10,1)，所以当n=10或 82 n=11时，21，一取最大值， 2 基础版 故当T,取最大值时n=10或 n=11. 训练37 数列求和 1解：)数列a,}满足a:十受十 空+…叶品=2，当1≥2时，0十 +2号=2n二10)， an 两式相减可得，2二=2(n≥2)，所以 an=2"(n≥2)，当n=1时，a1=2= 2也满足上式，所以am=2”. (2)由(1)得b,=” 1 n 则=十++…十 1 2 3 n1+” 2” +1 两式相减得，工。= 1 1一2 =1-，所以72 n+2 2n 2.解：(1)因为{an}是公比g>1的等比 数列， 所以由/S,=13, la号=3a6, 得1+a:十a:=13, l(a1g3)2=3a1g5, 即a1十g+g)=13, a1q=3, 两式相除得中，4=号整理得 3g2-10g+3=0,即(3g-1)(g-3)=0, 1 解得g=3或g=3,又9>1，所以 q=3,故a1= 3=1 所以an=a1g1=3-1 (2)当n为奇数时，b,=a。=31, 当n为偶数时，bn=b1十n=3”2十 n,所以T2n=b1十b2+bg十b1十…十 b1十b2n=（b1十b3十…十b2m-1）+ (b2十b1+…+bn)=(3°十32十…十 32m-2)十(3°+2+32+4十…十32m-2十 2n)=2(3°+32+…+32m-2)+(2+ 4十…+2n)=2X 1-(32) 1-32+ n(2n+2_g1+m2+ 2 4 3.解：(1)因为数列{3·是首项为3，公 比为9的等比数列， 所以3”=3X9”1=3m-1,所以am= 2n-1, 3-1