13.2与三角形有关的线段10题型3重难（培优讲义）新八年级数学新教材人教版

13.2 与三角形有关的线段（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 4 题型1构成三角形的条件 4 题型2 确定第三边的取值范围 5 题型3 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题 7 题型4 三角形的稳定性及其应用 10 题型5 根据三角形中线求长度 12 题型6 根据三角形中线求面积 14 题型7重心 17 题型8 三角形的角平分线 19 题型9 作三角形的高 22 题型10 与三角形的高有关的计算 24 释疑惑·重难拓展 28 题型1 利用三角形的三边关系化简 28 题型2 利用三角形的三边关系证明 30 题型3 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 35 知中考·真题探源 40 练好题·提分培优 45 课标要点 1. 认识三角形的基本要素，探索并证明三角形任意两边之和大于第三边，能运用三边关系解决线段取值、三角形存在性判断等问题。 2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，会用直尺、三角尺画出任意三角形的高、中线与角平分线； 了解三角形三条中线交于重心、三条角平分线交于一点、三条高所在直线交于一点的特征。 3.了解三角形重心的概念，掌握中线平分三角形面积的基本结论，能进行简单的面积推理与计算。 4.了解三角形的稳定性，能解释生活和生产中利用三角形稳定性的实例，区分三角形与四边形的稳定性差异。 析知识·讲要点 知识点01 三角形的三边关系 ◆三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 练习 1．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定能否组成三角形时，只需验证较小两边的和是否大于最长边，满足条件即可构成三角形，反之不能． 【详解】解：∵ ，不满足三边关系，∴选项A不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项B不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项C不能摆成三角形； ∵ ，满足三角形三边关系，∴选项D能摆成三角形． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 【答案】3或5或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于2而小于8，再结合三角形周长是奇数可知第三边是奇数即可求解． 【详解】解：设第三边长为x， 根据三角形三边关系可知：， 即， 则x可以是3，4，5，6，7， ∵三角形周长是奇数，另外两边之和为8， ∴x为奇数， 故x可取3或5或7． 知识点02 三角形的稳定性 ◆1、三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． ◆2、四边形没有稳定性，即四边形具有不稳定性． 练习如图图形中，不是运用三角形的稳定性的是（　　） A．B． C．D． 【答案】C． 【分析】利用三角形的稳定性进行解答． 【详解】解：伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形． 知识点03 三角形中线、角平分线、高 ★★★二一、三角形的中线 ◆1、三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. 几何语言：如图， (1)AD是△ ABC 中BC 边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD=DC，BD=BC，DC=BC. ◆2、三角形的重心： 三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如右图中的点O)，重心在三角形内部. ★★★二、三角形的角平分线 ◆1、三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. ◆2、三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. ★★★三、三角形的高 ◆1、三角形的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) ◆2、三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. ◆3、三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. 练习 1．如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．根据三角形的面积及高求得底边的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得， ， ， 又 为的中线， ， ， ， 故选：B． 2．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 3．如图，， 分别是 ， 的中点，，，则边上的高为____________ 【答案】 【分析】设边上的高为，根据“三角形的中线平分三角形的面积”求出，再根据可得答案． 【详解】解：设边上的高为， ∵， 分别是 ， 的中点，，， ∴是的边上的中线，是的边上的中线， ∴， ∴，即， 解得：， 即边上的高为． 剖题型·讲技巧 题型1构成三角形的条件 方法技巧 1. 核心判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2. 简便判断方法：只需验证较短两边之和是否大于最长边，若满足则可构成三角形，否则不能；3. 注意事项：三边长度必须为正数，需同时满足三个不等式关系。 1．（2026·福建莆田·二模）以下列各数为边长，能构成三角形的是（   ） A．1，1，3 B．3，4，5 C．3，3，6 D．4，5，10 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，逐一验证即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意． 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）以下列长度为边的三条线段不能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，6，10 【答案】A 【详解】解：A．∵，不满足两边之和大于第三边， ∴不能组成三角形，符合题意； B．∵，满足三边关系， ∴能组成三角形，不符合题意； C．∵，满足三边关系， ∴能组成三角形，不符合题意； D．∵，满足三边关系， ∴能组成三角形，不符合题意． 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断时只需验证较小两条线段的和是否大于最大线段，即可得到结论. 【详解】解：选项A：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项B：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项C：∵，满足两边之和大于第三边，∴能组成三角形； 选项D：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形. 4．（25-26七年级下·河南郑州·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，逐项验证即可求解. 【详解】解：A选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； B选项，三边为，，，较短两边和为，∵，满足三边关系，∴能组成三角形，符合要求； C选项，三边为，，，较短两边和为，∵，∴不能组成三角形，不符合要求； D选项，三边为，，，较短两边和为，∵不大于，不满足三边关系，∴不能组成三角形，不符合要求. 题型2 确定第三边的取值范围 方法技巧 1. 核心公式：已知三角形两边长为a、b（a≥b），则第三边c的取值范围为a - b < c < a + b；2. 取值边界：第三边长度必须严格大于两边之差、严格小于两边之和，不能取等号；3. 结合限制条件：若题目有整数、正整数等额外要求，需在取值范围内筛选符合条件的数值。 1．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴可得 ，即 ， 解得：． 2．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）已知三角形的三边分别是3，7，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，解一元一次不等式组，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：A． 3．（25-26七年级下·上海·期中）在三角形中，，，第三边的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系可知，，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ，即， 第三边的取值范围是． 4．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）设，则，根据三角形的三边关系得出，结合的周长，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 题型3 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题 方法技巧 1. 分类讨论：等腰分两种情况：①已知边长为腰；②已知边长为底。 2. 列式：设腰长a，底b，周长(C=2a+b)。 3.三边关系检验：两腰之和＞底边长（(2a>b)），不满足直接舍去。 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）若等腰三角形的周长为18，腰长为5，则该三角形的底边长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质和周长定义计算底边长，再结合三角形三边关系验证即可得到结果． 【详解】解：∵等腰三角形两腰相等，周长为三边长度之和，已知周长为18，腰长为5， ∴底边长， 验证三边关系： ∵，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形， ∴该三角形的底边长为8． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，已知边长分别为腰和底边，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若为等腰三角形的腰长， 则底边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时腰长为； 情况2：若为等腰三角形的底边长， 则腰长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时腰长为， 综上，该等腰三角形的腰长为或． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）等腰三角形的周长为，若其中一条边长为，则该等腰三角形的腰长是______． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，即已知边长为腰长或为底边长，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不能构成三角形的情况，即可得到符合题意的腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况：若边长为腰长，则底边长为， 此时三角形三边长为，，， ∵， ∴不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去这种情况； 情况：若边长为底边长，则腰长为， 此时三角形三边长为，，， ∵， ∴满足三角形两边之和大于第三边，可以构成三角形， ∴腰长为， 故答案为． 4．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形，关键是熟练应用知识点解题； （1）根据三角形的三边关系即可求得； （2）由等腰三角形判断的值，即可求得周长． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为，和， ∴， ； （2）解：∵， ∴当时，该三角形为等腰三角形， ∴该三角形的周长为， 答：该三角形的周长为． 题型4 三角形的稳定性及其应用 方法技巧 1. 核心原理：三角形三边长度确定后，形状和大小唯一确定，具有稳定性；四边形不具有稳定性，易变形；2. 应用场景：生活中需要固定结构的场景（如桥梁支架、自行车车架、电线杆固定）均利用三角形稳定性；3. 区分方法：判断结构中是否包含三角形框架，有则具备稳定性，无则易变形。 1．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】找出图形只被分割成了三角形的选项即可． 【详解】解：对于选项A，两个四边形不具有稳定性，所以A选项符合题意； 对于B选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以B选项不符合题意； 对于C选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以C选项不符合题意； 对于D选项，如下图，四边形分成了两个三角形，所以它具有稳定性，所以D选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（    ） A．活动衣架 B．拉杆 C．三脚架 D．太阳能热水器 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A．没有应用到三角形的稳定性，故该选项符合题意， B．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意， C．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意， D．应用到三角形的稳定性，故该选项不符合题意． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列物体的结构中，没有运用到三角形稳定性的是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：对于A、B、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性； 而C选项中，用到了四边形的不稳定性． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）重庆千厮门大桥是世界最大跨径的单塔单索面斜拉桥，其主桥的构造采用了大量的三角形结构，该设计可有效防止结构发生变形．其主要利用的数学原理是（     ） A．三角形任意两边之和大于第三边 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形内角和为 【答案】C 【详解】解：根据题意，形成了大量的三角形结构，可有效防止结构发生变形， 其中主要应用三角形具有稳定性． 题型5 根据三角形中线求长度 方法技巧 1.中线平分底边：2.两三角形周长差 = 除公共边外剩余边长之差，直接求线段长。 1．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过的面积和已知的高，利用面积公式求出的长度，再根据中线性质得到，进而计算出的长． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，解得． 又∵是的中线， ∴． 3．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（   ） A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形中线的定义，构成三角形的条件，设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，分别表示出分成的两个三角形的周长，根据周长之差为2厘米，从而得方程，即可求得x． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，则中线所分成的两个三角形中，其中一个三角形的周长为：厘米，另一个三角形的周长为：厘米， 由题意得 即 ∴或 解得或， 当时，该三角形的三边长分别为8厘米，8厘米，6厘米， ∵， ∴此时能构成三角形； 当时，该三角形的三边长分别为4厘米，4厘米，6厘米， ∵， ∴此时能构成三角形； 综上所述，等腰三角形的腰长为4厘米或8厘米， 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，求边的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线，由三角形的中线得，由已知的周长差得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， 的周长比的周长大， ， ， 又， ． 题型6 根据三角形中线求面积 方法技巧 三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高）； 1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点、、分别为、、的中点，得到，，，，推出，，根据阴影部分的面积为，得到，即可求解． 【详解】解：点、、分别为、、的中点， ，，，， ，， 阴影部分的面积为， ， ， ． 3．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点D在上，，点E是的中点，连接并延长交延长线于点F，若的面积是2，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是的中点，可得 ，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 4．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，已知点、分别为边、上的中点，且，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的部分，据此求解即可． 【详解】解：∵是的中点，即是的中线， ∴， ∵是中点，即是的中线，是的中线， ∴，， ∴． 题型7重心 方法技巧 1. 核心定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心一定在三角形内部；重心分割出的三块小三角形面积全部相等。 1．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定三边中线的交点即可得出答案． 【详解】解：由图可知边、边上的中线交于点G， 即正好与的重心位置重合的白棋是G． 2．（25-26七年级下·河南郑州·期中）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】匀质薄板保持平衡的支点为三角形的重心，明确三角形不同特殊点的定义即可解答. 【详解】解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点， ∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点. 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 题型8 三角形的角平分线 方法技巧 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 2．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　　） A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的性质即可分析． 【详解】解：A、由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据角平分线的性质，可知：BD是△ABC的角平分线，正确； B、CE是△BCD的角平分线，正确； C、∠3∠ACB，正确； D、CE是△ABC的角平分线是错误的，三角形的角平分线是三角形的内角平分线与对边相交，角的顶点与对边交点之间的线段，错误． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形角平分线的概念和性质．注意三角形的角平分线与角的平分线的区别．角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段． 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝　 　，∠BCE＝　 　，∠ACB＝　 　． 【答案】30°、40°、80°． 【分析】由AD平分∠ABC，得∠DAC30°．由CE平分∠BCA，得∠BCE＝∠ACE40°，进而解决此题． 【详解】解：∵AD平分∠ABC， ∴∠DAC30°． ∵CE平分∠BCA， ∴∠BCE＝∠ACE40°． ∴∠BCE＝40°，∠BCA＝2∠ACE＝2×40°＝80°． 故答案为：30°、40°、80°． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解决本题的关键． 4．（2024春•南召县期末）如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（　　） A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠ACB＝2∠ACF D．∠CAD＝∠CBE 【答案】D 【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义即可求解． 【详解】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确； B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确； C、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确． D、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，熟记定义是解题的关键． 题型9 作三角形的高 方法技巧 1. 核心定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，高与对应底边互相垂直；2. 画法步骤：一靠（三角尺一条直角边靠在作高的边上）、二移（移动三角尺使另一条直角边通过对边顶点）、三画（画垂线段）；3. 位置识别：锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形的两条高是直角边，第三条高在内部；钝角三角形的两条高在外部，一条高在内部。 1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在中，边上的高线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段， ∴中边上的高应过顶点且垂直于所在直线， 观察图形可知，，垂足为， ∴边上的高线为． 2．（25-26七年级下·河北衡水·期中）中边上的高的作法正确的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．再据此逐一判断各选项中边上高的画法是否符合定义． 【详解】解：三角形边上的高是从点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上 选项A：垂足在上，不符合题意； 选项B：垂足在上，但不是从点作的垂线，不符合题意； 选项C：垂足在上，不符合题意； 选项D：从点向的延长线作垂线，垂足在延长线上，符合题意． 3．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）在中，边上的高表示正确的是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，则中边上的高是过C点作的垂线，据此判断即可． 【详解】解：A、不是边上的高，故A不符合题意； B、不是边上的高，故B不符合题意； C、为边上的高，故C不符合题意； D、为边上的高，故D符合题意． 4．（2024春•沛县期中）如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A．△ABC中，CF是AB边上的高 B．△AGC中，CF是AG边上的高 C．△GBC中，GC是BC边上的高 D．△BFC中，CG是BF边上的高 【答案】D 【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB， A、△ABC中，CF是AB边上的高，正确； B、△AGC中，CF是AG边上的高，正确； C、△GBC中，GC是BC边上的高，正确； D、△BFC中，CF是BF边上的高，错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键． 题型10 与三角形的高有关的计算 方法技巧 · 出现高→直接得90°，直角三角形两锐角互余； · 等面积法：S=×底×高，已知一组底和高，可反求另一边上的高。 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 【答案】或/15或65 【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解． 先由角平分线得到，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解． 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 4．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 释疑惑·重难拓展 题型1 利用三角形的三边关系化简 1．（25-26八年级上·贵州安顺·阶段检测）已知的三边长是a，b，c． (1)若，，求的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】（1）解： 的三边长为，，，且，， ， 即． 故答案为：； （2）解：是的三边长， ∴，则， 原式 ． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为9 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 3．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案； （2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，， ∴， ∴，即， ∵c为奇数， ∴； （2）解：的三边长分别为a，b，c， ∴， ∴， ∴ ． 4．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】(1) 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． 【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 题型2 利用三角形的三边关系证明 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，点在边上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，根据三角形中，任意两边之和大于第三边可得，进而得到，即可证明结论． 【详解】证明：在中，（三角形两边之和大于第三边）， ∴（不等式的性质）， ∴． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图中，点在边上，连接，点是上动点（不与、重合），连接． (1)如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 ______， ______． 将不等式左边、右边分别相加，得 ______． ______． (2)如图，延长交于点，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进而可知三角形的外角大于与它不相邻的内角．点在运动过程中，请直接写出图中一定大于的角（除外）． 【答案】(1)，，， (2)，，， 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的一个外角大于和它不相邻任何一个内角． （1）由三角形两边之和大于第三边，不等式的性质，即可得到答案； （2）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 ， ， 将不等式左边、右边分别相加，得 ， ， 故答案为：，，，； （2）解：依题意，是的外角， 则, 故； 同理得，，． 3．（25-26八年级上·全国·期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图，由三角形两边的和大于第三边，得：______，______． 将不等式左边、右边分别相加，得______，即______． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图，请你仿照上述解题过程，探究当点与点重合时，与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，，；（2）理由见解析 【分析】由三角形两边的和大于第三边得到，，将不等式左边、右边分别相加，得到； 由三角形三边关系定理得到，，，将不等式左边、右边分别相加，得到． 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，得：，． 将不等式左边、右边分别相加，得，即， 故答案为：，，，； 如图，理由如下： 由三角形三边关系定理得到：，，， ， ． 4．（25-26八年级下·山东·阶段检测）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意得，不等式两边都加上即可得出结论； （2）延长交于点，证明，，两式相加得，从而可得； （3）延长交于点，延长交于点，证明，，，三式相加可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； （3）证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 题型3 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是 ； (2)若的周长为30，则的周长为 ； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 【答案】(1) (2)28 (3)边上的高为 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的角平分线、中线，和高，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将的周长转换为即可得出答案； （3）设边上的高为h，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，的周长为30， ∴， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：28． （3）解：设边上的高为h， 则， 解得， ∴边上的高为． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长； (2)求的面积； (3)求和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的面积公式及等式的性质即可直接得出答案； （2）由是边上的中线可求得的长，然后利用三角形的面积公式即可直接得出答案； （3）直接求解的周长的周长即可得出答案． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 即：的长度为； （2）解：为边上的中线， ， ， 的面积是； （3）解：， 的周长的周长 ， 即：和的周长的差是． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形中线的有关计算，与三角形高有关的计算等知识点，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 3．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_____（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试填空：______，______，______． 【答案】(1) (2)三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等 (3)；； 【分析】本题考查了三角形中线平分面积，理解题意是解决本题的关键． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断，面积相等，，面积相等，，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【详解】（1）解：和的底分别为，高为点到线段的距离， ∴两个三角形等底同高， ∴面积相等． 故答案为：． （2）解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， ∴． （3）解：由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，， ∵，， ∴，， 故答案为：；；． 4．（22-23七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 知中考·真题探源 1．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 3．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可． 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知， ∴AD是的角平分线， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 4．（2020·贵州毕节·中考真题）等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分两种情况讨论：当腰为3时和当腰为7时，根据三角形两边之和大于第三边，判断哪种情况成立，从而计算周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边分别为3和7， ∴可能情况：①腰为3，底为7；②腰为7，底为3； 对于①：因为，不满足三角形三边关系，舍去； 对于②：因为，满足三角形三边关系； 故周长为， 故选：C． 5．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 6．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 7．（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________． 【答案】7 【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分3为腰长和7为腰长，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当3为腰长时，第三边长为3，，不能构成三角形，不符合题意； 当7为腰长时，第三边长为7，，能构成三角形，符合题意； 故第三边长为7； 故答案为：7． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 9．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC， 则， ∵AE=AE， ∴． （2）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． （3）解：∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 练好题·提分培优 1．（2026·广西南宁·二模）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形， ，即， 观察选项，只有满足 ， 故选项C符合题意． 2．（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得，，那么点A，B两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先根据三角形的三边关系定理求出的取值范围，然后再判断各选项是否正确． 【详解】解：∵，，能构成三角形， ∴， 即， 只有8符合题意， 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是的中线，下列结论错误的是（   ） A． B． C．点D平分 D． 【答案】A 【详解】解：∵ 是 的中线， ∴ D是的中点，即点D平分， 可得， 是中线无法推出，因此A结论错误． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）下列叙述正确的个数为（　　）． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由三角形的面积、角平分线、中线和高分别对各个结论进行判断即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，故①不正确； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，故②正确； ③三角形的三条高是线段，不一定交于一点，故③不正确； ④三角形的三条角平分线交于一点，故④正确． 5．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】 解：根据三角形的稳定性可得，具有稳定性的是． 6．如图，的角平分线、中线相交于点，则 是的角平分线； 是的中线； 是的中线； ，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 7．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解： 是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【答案】C 【分析】根据题意可得，再求出，利用三角形中线的定义可得的长，即可求得的周长． 【详解】解：， ， ， 、是的两条中线， ， 的周长是． 9．（25-26八年级下·四川达州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 【答案】11或13 【分析】本题考查非负性，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握非负性是解题的关键． 根据非负数的性质求出，的值，再分类讨论腰长的不同情况，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，，解得，， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 综上所述，周长是11或13． 10．小丽有两根长度分别为和的木棒，她想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根长度为_________的木棒． 【答案】9 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边时需分类讨论，再验证各情况能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长时，三角形的三边长分别为，，， ，不符合三角形三边关系， 不能构成三角形； 当为底边时，三角形的三边长分别为，，， ，符合三角形三边关系， 能构成三角形，此时所需木棒长度为． 11．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 【答案】 【分析】（1）根据题意可得，结合是的中线，可得，再求周长即可； （2）根据三角形中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：（1） 的周长为， ，即， 解得， 又是的中线， 是的中点，， 的周长； （2） ， ， 又点E为线段的中点， ． 12．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】8 【详解】解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． 13．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【分析】设，，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符合条件的的长. 【详解】解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. 14．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 【答案】2或3 【分析】分两种情况：当点D在线段上时，或当点D在线段的延长线上时，分别求出结论即可． 【详解】解：如图所示，当点D在线段上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， 解得：； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵是的高，且的面积为6， ∴， 即， ∴； 综上，的长为2或3． 15．（25-26八年级上·全国·寒假作业）已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． 16．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，进而可得的周长； （2）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长为：， ， 的周长为：； （2）解：设点到边的距离为， 为的中线，为的中线， ，， ， ， ，即点到边的距离为． 17．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 18．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2 与三角形有关的线段（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 5 题型1构成三角形的条件 5 题型2 确定第三边的取值范围 5 题型3 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题 6 题型4 三角形的稳定性及其应用 7 题型5 根据三角形中线求长度 8 题型6 根据三角形中线求面积 9 题型7重心 11 题型8 三角形的角平分线 12 题型9 作三角形的高 13 题型10 与三角形的高有关的计算 14 释疑惑·重难拓展 16 题型1 利用三角形的三边关系化简 16 题型2 利用三角形的三边关系证明 17 题型3 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 20 知中考·真题探源 22 练好题·提分培优 25 课标要点 1. 认识三角形的基本要素，探索并证明三角形任意两边之和大于第三边，能运用三边关系解决线段取值、三角形存在性判断等问题。 2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，会用直尺、三角尺画出任意三角形的高、中线与角平分线； 了解三角形三条中线交于重心、三条角平分线交于一点、三条高所在直线交于一点的特征。 3.了解三角形重心的概念，掌握中线平分三角形面积的基本结论，能进行简单的面积推理与计算。 4.了解三角形的稳定性，能解释生活和生产中利用三角形稳定性的实例，区分三角形与四边形的稳定性差异。 析知识·讲要点 知识点01 三角形的三边关系 ◆三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c， b+c﹥a， a+c﹥b 两点之间， 线段最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c， b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 练习 1．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 知识点02 三角形的稳定性 ◆1、三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． ◆2、四边形没有稳定性，即四边形具有不稳定性． 练习如图图形中，不是运用三角形的稳定性的是（　　） A．B． C．D． 知识点03 三角形中线、角平分线、高 ★★★二一、三角形的中线 ◆1、三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. 几何语言：如图， (1)AD是△ ABC 中BC 边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD=DC，BD=BC，DC=BC. ◆2、三角形的重心： 三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心(如右图中的点O)，重心在三角形内部. ★★★二、三角形的角平分线 ◆1、三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. ◆2、三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. ★★★三、三角形的高 ◆1、三角形的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) ◆2、三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. ◆3、三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. 练习 1．如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 3．如图，， 分别是 ， 的中点，，，则边上的高为____________ 剖题型·讲技巧 题型1构成三角形的条件 方法技巧 1. 核心判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2. 简便判断方法：只需验证较短两边之和是否大于最长边，若满足则可构成三角形，否则不能；3. 注意事项：三边长度必须为正数，需同时满足三个不等式关系。 1．（2026·福建莆田·二模）以下列各数为边长，能构成三角形的是（   ） A．1，1，3 B．3，4，5 C．3，3，6 D．4，5，10 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）以下列长度为边的三条线段不能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，6，10 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南郑州·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型2 确定第三边的取值范围 方法技巧 1. 核心公式：已知三角形两边长为a、b（a≥b），则第三边c的取值范围为a - b < c < a + b；2. 取值边界：第三边长度必须严格大于两边之差、严格小于两边之和，不能取等号；3. 结合限制条件：若题目有整数、正整数等额外要求，需在取值范围内筛选符合条件的数值。 1．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若三角形的三边分别为1，，4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）已知三角形的三边分别是3，7，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海·期中）在三角形中，，，第三边的取值范围是______． 4．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 题型3 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题 方法技巧 1. 分类讨论：等腰分两种情况：①已知边长为腰；②已知边长为底。 2. 列式：设腰长a，底b，周长(C=2a+b)。 3.三边关系检验：两腰之和＞底边长（(2a>b)），不满足直接舍去。 1．（25-26八年级下·山西太原·期中）若等腰三角形的周长为18，腰长为5，则该三角形的底边长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）等腰三角形的周长为，若其中一条边长为，则该等腰三角形的腰长是______． 4．（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知三角形的三边长分别为，和． (1)求的取值范围． (2)若这个三角形为等腰三角形，求该三角形的周长． 题型4 三角形的稳定性及其应用 方法技巧 1. 核心原理：三角形三边长度确定后，形状和大小唯一确定，具有稳定性；四边形不具有稳定性，易变形；2. 应用场景：生活中需要固定结构的场景（如桥梁支架、自行车车架、电线杆固定）均利用三角形稳定性；3. 区分方法：判断结构中是否包含三角形框架，有则具备稳定性，无则易变形。 1．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A．B． C． D． 2．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（    ） A．活动衣架 B．拉杆 C．三脚架 D．太阳能热水器 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列物体的结构中，没有运用到三角形稳定性的是（ ） A．B．C． D． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）重庆千厮门大桥是世界最大跨径的单塔单索面斜拉桥，其主桥的构造采用了大量的三角形结构，该设计可有效防止结构发生变形．其主要利用的数学原理是（     ） A．三角形任意两边之和大于第三边 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形内角和为 题型5 根据三角形中线求长度 方法技巧 1.中线平分底边：2.两三角形周长差 = 除公共边外剩余边长之差，直接求线段长。 1．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海杨浦·阶段检测）等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（   ） A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，求边的长． 题型6 根据三角形中线求面积 方法技巧 三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高）； 1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点D在上，，点E是的中点，连接并延长交延长线于点F，若的面积是2，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，已知点、分别为边、上的中点，且，则的值为_______ ． 题型7重心 方法技巧 1. 核心定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心一定在三角形内部；重心分割出的三块小三角形面积全部相等。 1．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图是围棋棋盘的一部分，图中棋子均在棋盘的格点（网格线的交点）上，黑棋A，B，C围成，白棋D，E，F，G在中，则正好与的重心位置重合的白棋是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南郑州·期中）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 4．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 题型8 三角形的角平分线 方法技巧 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 2．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（　　） A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝　 　，∠BCE＝　 　，∠ACB＝　 　． 4．（2024春•南召县期末）如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（　　） A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠ACB＝2∠ACF D．∠CAD＝∠CBE 题型9 作三角形的高 方法技巧 1. 核心定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，高与对应底边互相垂直；2. 画法步骤：一靠（三角尺一条直角边靠在作高的边上）、二移（移动三角尺使另一条直角边通过对边顶点）、三画（画垂线段）；3. 位置识别：锐角三角形的三条高都在内部；直角三角形的两条高是直角边，第三条高在内部；钝角三角形的两条高在外部，一条高在内部。 1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在中，边上的高线为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北衡水·期中）中边上的高的作法正确的是（     ） A．B．C． D． 3．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）在中，边上的高表示正确的是（ ） A．B．C．D． 4．（2024春•沛县期中）如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A．△ABC中，CF是AB边上的高 B．△AGC中，CF是AG边上的高 C．△GBC中，GC是BC边上的高 D．△BFC中，CG是BF边上的高 题型10 与三角形的高有关的计算 方法技巧 · 出现高→直接得90°，直角三角形两锐角互余； · 等面积法：S=×底×高，已知一组底和高，可反求另一边上的高。 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为__________度． 4．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 释疑惑·重难拓展 题型1 利用三角形的三边关系化简 1．（25-26八年级上·贵州安顺·阶段检测）已知的三边长是a，b，c． (1)若，，求的取值范围； (2)化简． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 3．（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为奇数，求c的值； (2)化简：． 4．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 题型2 利用三角形的三边关系证明 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，点在边上，求证：． ．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图中，点在边上，连接，点是上动点（不与、重合），连接． (1)如图，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得 ______， ______． 将不等式左边、右边分别相加，得 ______． ______． (2)如图，延长交于点，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进而可知三角形的外角大于与它不相邻的内角．点在运动过程中，请直接写出图中一定大于的角（除外）． ．（25-26八年级上·全国·期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图，由三角形两边的和大于第三边，得：______，______． 将不等式左边、右边分别相加，得______，即______． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图，请你仿照上述解题过程，探究当点与点重合时，与的数量关系，并说明理由． 4．（25-26八年级下·山东·阶段检测）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 题型3 三角形的高、中线、角平分线的综合应用 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是 ； (2)若的周长为30，则的周长为 ； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长； (2)求的面积； (3)求和的周长的差． 3．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： (1)如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到_____（填“”“”或“”）； (2)如图③，三角形薄板的三条中线相交于点O，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； (3)结合（2）中的结论，试填空：______，______，______． 4．（22-23七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 知中考·真题探源 1．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 2．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 3．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 4．（2020·贵州毕节·中考真题）等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（ ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 5．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 6．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 7．（2025·青海西宁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________． 8．（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 9．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则__________，_________； (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则__________． 练好题·提分培优 1．（2026·广西南宁·二模）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得，，那么点A，B两点之间的距离可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是的中线，下列结论错误的是（   ） A． B． C．点D平分 D． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）下列叙述正确的个数为（　　）． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．B．C．D． 6．如图，的角平分线、中线相交于点，则 是的角平分线； 是的中线； 是的中线； ，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 7．（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 9．（25-26八年级下·四川达州·期中）已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 10．小丽有两根长度分别为和的木棒，她想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根长度为_________的木棒． 11．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 12．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 13．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 14．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）已知是的高，，．若的面积为6，则的长为______． 15．（25-26八年级上·全国·寒假作业）已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 16．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 17．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 18．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $