第八章　8.3　圆的方程-2027年高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“圆的方程”核心模块，依据高考评价体系梳理了圆的定义、方程形式、点与圆位置关系、轨迹问题及最值问题五大考查方向，通过近三年高考真题分析明确“轨迹方程求解”占30%、“最值问题”占35%的高频考点，构建了“定义法-待定系数法-几何性质法”的解题体系。 课件亮点在于“真题溯源+题型变式+素养提升”的备考设计，如以2025·眉山模拟题为例，详解“圆的方程参数法”和“最值问题几何转化策略”，培养学生数学思维与模型观念。特设“微点提醒”和“易错诊断”，通过跟踪训练强化解题规范，助力学生高效突破考点，教师可据此精准开展专题复习，提升备考效率。

圆的方程 落实主干知识 定义 平面上到定点的距离等于 的点的集合叫做圆 方 程 标准 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心C______ 半径为___ 一般 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 圆心C___________ 半径r=_______________ 1.圆的定义和圆的方程 (a，b) 定长 r 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在 ，即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|=r⇔M在 ，即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在 ，即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M在圆内. 圆外 圆上 圆内 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　) (2)(x-2)2+(y+1)2=a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆.(　　) (3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0.(　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则++Dx0+Ey0+F>0.(　　) 自主诊断 × √ √ √ 2.若圆x2+y2+x+y=0的圆心为M，则点M到直线x-y+2=0的距离为 A.2 B.3 C. D. √ 解析　由圆的方程x2+y2+x+y=0，配方可得+=， 所以圆心M， 则点M到直线x-y+2=0的距离d==. 3.(多选)已知圆C：x2+y2-4x+6y+11=0与点A(0，-5)，则 A.圆C的半径为2 B.点A在圆C外 C.点A在圆C内 D.点A与圆C上任一点距离的最小值为 √ √ 解析　因为x2+y2-4x+6y+11=0，即(x-2)2+(y+3)2=2，所以圆心为C(2，-3)，半径r=，故A错误； 又|AC|==2>r，所以点A在圆C外，故B正确，C错误； 因为|AC|=2，所以点A与圆C上任一点距离的最小值为|AC|-r=，故D正确. 4.(2025·眉山模拟)若方程x2+y2-2x+2y=a表示圆，则实数a的取值范围是 　　　　　. (-2，+∞) 解析　若方程x2+y2-2x+2y-a=0表示圆，则(-2)2+22+4a=8+4a>0，解得a>-2， 因此实数a的取值范围是(-2，+∞). 1.掌握圆的两个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上. 2.牢记两个相关结论 (1)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. (2)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为 其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标. 微点提醒 返回 探究核心题型 例1　设☉M的圆心M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　　　　　　. 题型一　圆的方程 (x-1)2+(y+1)2=5 解析　方法一　设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)， 则解得 ∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 解析　方法二　设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)， 则M， ∴解得 ∴☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0， 即(x-1)2+(y+1)2=5. 解析　方法三　设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r， 则kAB==-， 线段AB的中点坐标为， ∴线段AB的垂直平分线方程为y-=3， 即3x-y-4=0. 联立解得 ∴M(1，-1)， ∴r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5， ∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. 思维升华 跟踪训练1　(2025·南昌模拟)设圆心在x轴的圆C过点(1，1)，且与直线y=2x-1相切，则圆C的标准方程为　　　　　　. (x-3)2+y2=5 解析　方法一　设圆C的圆心为(m，0)，则由于该点到直线y=2x-1的距离 d==， 结合圆C与直线相切，知圆C的半径为. 所以圆C的标准方程是(x-m)2+y2=. 而圆C过点(1，1)，所以(1-m)2+12=，解得m=3. 所以圆C的标准方程是(x-3)2+y2=5. 解析　方法二　因为点(1，1)在直线y=2x-1上， 所以圆C与直线y=2x-1的切点为(1，1)， 则过圆心C和切点(1，1)的直线方程为y-1=-(x-1)，即y=-x+， 又因为圆心C在x轴上，则0=-x+，得x=3， 即C(3，0)，圆C的半径为=，故圆C的标准方程是(x-3)2+y2=5. 题型二　与圆有关的轨迹问题 命题点1　直接法 例2　若点P(x，y)到两定点A(-3，0)和B(3，0)的距离的比等于2，则动点P的轨迹方程是　　　　　　　. (链接教材，人教A版选择性必修第一册P89习题2.4T9)“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆. (x-5)2+y2=16 解析　|PA|=， |PB|=， 由题意得=2，则=2， 整理可得(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2， 化简得(x-5)2+y2=16， 则动点P的轨迹方程为(x-5)2+y2=16. 例3　已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|=2，则点A的轨迹方程是 A.y2=4x B.x2+y2-2x-2y-3=0 C.x2+y2-2y-3=0 D.y2=-4x 命题点2　定义法 √ 解析　因为圆C：(x-1)2+(y-1)2=1， 所以圆心C(1，1)，半径r=1， 因为点M是圆上的动点，所以|MC|=1， 又AM与圆相切，且|AM|=2， 则|AC|==， 设A(x，y)，则(x-1)2+(y-1)2=5， 即x2+y2-2x-2y-3=0， 所以点A的轨迹方程为x2+y2-2x-2y-3=0. 例4　已知圆C：(x-3)2+y2=9，D是圆C上的动点，点E(2，4)，若动点M满足=2，则点M的轨迹方程为 A.+(y-2)2= B.(x-1)2+(y-8)2=9 C.(x-5)2+(y-8)2=9 D.(x-8)2+(y-1)2=9 命题点3　相关点代入法 √ 解析　设M(x，y)，D(a，b)，由=2， 得 所以 又因为点D在圆C：(x-3)2+y2=9上， 即(a-3)2+b2=9， 所以(4-x-3)2+(8-y)2=9， 即(x-1)2+(y-8)2=9， 故点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-8)2=9. 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程. (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 思维升华 跟踪训练2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程； 解　方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且AC，BC斜率均存在， 所以kAC·kBC=-1， 又kAC=，kBC=， 所以·=-1， 化简得x2+y2-2x-3=0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0)，即(x-1)2+y2=4(y≠0). 跟踪训练2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程； 解　方法二　设线段AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为 (x-1)2+y2=4(y≠0). 跟踪训练2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0).求： (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 解　设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3，0)，且M是线段BC的中点， 所以由中点坐标公式得x=，y=， 所以x0=2x-3，y0=2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0)， 将x0=2x-3，y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y≠0)，即(x-2)2+y2=1(y≠0). 因此直角边BC的中点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0). 例5　(多选)已知圆C：x2+y2-6x-4y+5=0，则下列说法正确的是 A.y-x的最大值为3 B.x+y的最大值为7 C.的最大值为6+2 D.x2+y2的最大值为21+4 题型三　与圆有关的最值问题 命题点1　利用几何性质求最值 √ √ √ 解析　因为圆C：x2+y2-6x-4y+5=0，则(x-3)2+(y-2)2=8， 设x=2cos θ+3，y=2sin θ+2，θ∈[0，2π). 对于A，y-x=2sin θ-2cos θ-1=4sin-1， 所以当θ=时，y-x取得最大值为3，故A正确； 对于B，x+y=2cos θ+2sin θ+5=4sin+5， 所以当θ=时，x+y取得最大值为9，故B错误； 解析　对于C，设=k，则y=kx，圆C：(x-3)2+(y-2)2=8， 圆心C(3，2)，半径r=2，则圆心到直线y=kx的距离小于等于半径， 即≤2， 所以k2-12k-4≤0，解得6-2≤k≤6+2， 所以的最大值为6+2，故C正确； 对于D，x2+y2可以看作是圆上某点P到原点O的距离的平方， |OP|2≤(|OC|+r)2=(+2)2=21+4，所以x2+y2的最大值为21+4，故D正确. 例6　已知A(0，2)，点P在直线x+y+2=0上，点Q在圆C：x2+y2-4x-2y=0上，则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　. 命题点2　利用对称性求最值 2 解析　因为圆C：x2+y2-4x-2y=0， 即(x-2)2+(y-1)2=5， 所以圆C是圆心为C(2，1)，半径r=的圆. 设点A(0，2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m，n)， 所以解得故A'(-4，-2). 连接A'C交圆C于Q(图略)，交直线x+y+2=0于P，此时，|PA'|+|PQ|取得最小值， 由对称性可知|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=2. 例7　设点P(x，y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点，定点A(2，0)，B(-2，0).则·的最大值为　　　　. 命题点3　利用函数求最值 12 解析　方法一　由题意，得=(2-x，-y)，=(-2-x，-y)， 所以·=x2+y2-4， 由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2+(y-3)2=1，故x2=-(y-3)2+1， 所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12. 易知2≤y≤4，所以当y=4时，·的值最大，最大值为6×4-12=12. 解析　方法二(极化恒等式) 由题意知线段AB的中点为O(0，0)，=(4，0)， ·=[(+)2-(-)2]=-=||2-4， 易知||2的最大值为[+1]2=16， 所以·的最大值为12. 与圆有关的最值问题的求解方法 (1)借助几何性质求最值：形如μ=，t=ax+by，(x-a)2+(y-b)2形式的最 值问题. (2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. (3)求解形如|PM|+|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 思维升华 跟踪训练3　(1)(多选)已知实数x，y满足圆的方程(x-1)2+y2=，则 A.圆心为(-1，0)，半径为 B.x的最大值为 C.的最大值为+ D.x-y2的最大值为 √ √ √ 解析　对于A，由圆的方程(x-1)2+y2=，得圆心为(1，0)，半径r=，故A错误； 对于B，由(x-1)2+y2=， 有(x-1)2≤⇒-≤x-1≤⇒≤x≤， 所以x的最大值为，故B正确； 对于C，表示圆上的点(x，y)到定点(0，1)的距离， 圆心(1，0)到定点(0，1)的距离为d==， 所以圆上的点(x，y)到定点(0，1)的距离的最大值为d+r=+， 即的最大值为+，故C正确； 解析　对于D，由(x-1)2+y2=得y2=-(x-1)2， 所以x-y2=x-+(x-1)2=x2-x+，≤x≤， 令f(x)=x2-x+=+，由f(x)在上单调递增， 所以f(x)max=f =，所以x-y2的最大值为，故D正确. (2)若实数x，y满足方程x2+y2-2x-4y+1=0，则代数式的取值范围为 　　　　　. 解析　设=k，则y=kx+2k， 方程x2+y2-2x-4y+1=0， 可化为(x-1)2+(y-2)2=4. 圆心为(1，2)，半径为2， 由圆心到直线y=kx+2k的距离小于等于半径，得≤2， 化简得k(5k-12)≤0，解得0≤k≤， 故的取值范围是. 返回 课时精练 一、单项选择题 1.“关于x，y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的 A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若x2+y2+mx+4y+8=0表示圆，则m2+42-4×8>0，解得m<-4或m>4， 故“关于x，y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的必要不充分条件. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 知识过关 2.已知圆C：x2+y2+2x-4y+1=0关于直线l：mx+2y-1=0对称，则实数m的值为 A.-5 B.-3 C.3 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析　圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4， 圆心为(-1，2)，而圆C：x2+y2+2x-4y+1=0关于直线mx+2y-1=0对称， 故点(-1，2)在直线mx+2y-1=0上，故-m+4-1=0，解得m=3. 3.过点(-1，0)，(3，0)，(0，2)的圆的圆心坐标为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法一　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 因为该圆过点(-1，0)，(3，0)，(0，2)， 所以解得 因此圆的方程为x2+y2-2x-y-3=0. 化简得(x-1)2+=， 因此该圆的圆心为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法二　令A(-1，0)，B(3，0)，C(0，2)， 则线段AB的垂直平分线方程为x=1，AC的中点为，kAC==2， 则线段AC的垂直平分线方程为y-1=-， 即y=-x+， 联立得 故该圆的圆心为. 4.点P在圆x2+y2=36上运动，它与点Q(4，0)所连线段的中点为M，则点M的轨迹方程为 A.(x-2)2+y2=9 B.(x+2)2+y2=9 C.x2+(y-2)2=9 D.x2+(y+2)2=9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　设点M(x，y)，P(x0，y0)， 因为M为PQ的中点， 所以则即P(2x-4，2y)， 又因为动点P在圆x2+y2=36上， 所以(2x-4)2+(2y)2=36， 即(x-2)2+y2=9， 则点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=9. 5.在平面直角坐标系中，A(0，3)，B(0，-1)，点P满足|PA|=2|PB|，则△PAB面积的最大值是 A.2 B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　设点P(x，y)，x≠0，因为|PA|=2|PB|， 所以=2， 整理得x2+=(x≠0)， 所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又直线AB的方程为x=0， 所以点P到直线AB的最大距离dmax为圆的半径，即dmax=， 所以△PAB面积的最大值为S=|AB|·dmax=×4×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 6.已知圆C：x2+y2-4x-4y+6=0，定点A(-1，1)，P为x轴上一动点，B为圆C上一动点，则|PA|+|PB|的最小值为 A. B.2 C.3 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　圆C：x2+y2-4x-4y+6=0的圆心C(2，2)，半径r=， |PA|+|PB|≥|PA|+|PC|-，当且仅当P，B，C三点共线，且B点在P，C两点之间时，取等号， 点A(-1，1)关于x轴的对称点为A'(-1，-1)，|PA|+|PC|=|PA'|+|PC|≥|A'C|=3， 当且仅当A'，P，C三点共线时取等号. 所以|PA|+|PB|≥3-=2，当且仅当P，B在线段A'C上时取等号，所以|PA|+|PB|的最小值为2. 二、多项选择题 7.已知x2+y2-4x+6y+k=0表示圆，则下列结论正确的是 A.圆心坐标为(-2，3) B.当k=0时，半径r= C.圆心到直线x+y-1=0的距离为 D.当k=4时，圆的面积为16π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　将方程x2+y2-4x+6y+k=0化为(x-2)2+(y+3)2=13-k， 所以圆心为(2，-3)，半径为，故A错误； 当k=0时，半径r=，故B正确； 圆心到直线x+y-1=0的距离为=，故C正确； 当k=4时，半径为=3，圆的面积为π×32=9π，故D错误. 8.已知圆C：(x-2)2+y2=1，点P(x0，y0)是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是 A.的取值范围是 B.x0+2y0的最大值为3 C.的最小值为+1 D.|x0+y0+2|的最小值为4- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由题可知圆C：(x-2)2+y2=1的圆心为(2，0)，半径为1. 设=k，则y0=kx0，又点P(x0，y0)是圆C上的任意一点， 则圆心(2，0)到直线y=kx的距离小于等于半径，所以≤1， 解得-≤k≤，所以的取值范围是，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　设x0=2+cos θ，y0=sin θ(0≤θ<2π)， 则x0+2y0=2+2sin θ+cos θ=2+sin(θ+φ)，tan φ=， 当sin(θ+φ)=1时，x0+2y0取得最大值2+，故B错误； 表示点P(x0，y0)到点(0，-1)的距离， 因为圆心(2，0)到点(0，-1)的距离为，故的最小值为-1，故C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　|x0+y0+2|=×，表示点P(x0，y0)到直线x+y+2=0距离的倍. 因为圆心(2，0)到直线x+y+2=0的距离为=2， 故点P到直线x+y+2=0距离的最小值为2-1，故|x0+y0+2|的最小值为×(2-1)=4-，故D正确. 三、填空题 9.已知圆C经过点O(0，0)，且圆C恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分，则圆C的标准方程为　　　　　　. 解析　直线方程整理为m(x-1)-y=0，则其过定点(1，0)， 因为圆C恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分， 则其圆心为(1，0)，又因为圆C经过点O(0，0)，则圆C的半径为1， 则圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 (x-1)2+y2=1 10.若P是圆C：(x-1)2+(y-)2=1上的一个动点，O是坐标原点，A(，1)，则·的最小值为　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 2-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法一　设P(1+cos θ，+sin θ)，0≤θ<2π， 则·=cos θ+sin θ+2=2sin+2， 所以当θ+=，即θ=时，·取得最小值，为2-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　方法二　由点P(x，y)是圆C上的动点，O(0，0)，A(，1)， 则·=(x，y)·(，1)=x+y， 令z=x+y，则x+y-z=0， 故圆心C(1，)到直线x+y-z=0的距离小于等于半径1，即≤1， 解得2-2≤z≤2+2， 故·的最小值为2-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 四、解答题 11.已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点. (1)求圆C的方程； 解　由题意可知，线段AB的中点为(2，3)，kAB=0，所以线段AB的垂直平分线方程为x=2， 它与x轴的交点为圆心C(2，0)， 又半径r=|AC|=， 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11.已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点. (2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足=3，求点Q的轨迹方程. 解　设P(x0，y0)，Q(x，y)， 由=3，得(8-x0，-y0)=3(8-x，-y)， 所以 又点P在圆C上，故(x0-2)2+=10，所以(3x-18)2+(3y)2=10， 化简得点Q的轨迹方程为(x-6)2+y2=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.已知圆C1经过点A(1，3)和B(2，4)，圆心在直线2x-y-1=0上. (1)求圆C1的方程； 解　由题意知线段AB的中点坐标为，kAB==1， ∴线段AB的垂直平分线方程为y-=-，即y=5-x， 联立解得 即圆C1的圆心为C1(2，3)，半径r=|AC1|=1， 其方程为(x-2)2+(y-3)2=1. 解　注意到点C1(2，3)和点C2(-3，-4)在直线x+y=0的两侧， 直线x+y=0与两圆分别相离，如图所示. ∴|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-3≥|C1C2|-4=-4， 当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线且M，N在C1，C2之间时等号成立， 则|PM|+|PN|的最小值为-4， 此时点P为直线C1C2与x+y=0的交点， 过C1，C2的直线方程为7x-5y+1=0， 联立解得∴点P的坐标为. 12.已知圆C1经过点A(1，3)和B(2，4)，圆心在直线2x-y-1=0上. (2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x+3)2+(y+4)2=9上的点，点P是直线x+y=0上的点，求|PM|+|PN|的最小值，以及此时点P的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 13.(2026·广州模拟)设O(0，0)，A(a，0)，0<a<1，动点B在圆x2+y2=1上.若∠OBA的最大值为30°，则a等于 A. B. C. D. 能力拓展 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 解析　设∠OBA=θ，在△OBA中，由正弦定理得=， ∵A(a，0)，0<a<1，∴|OA|=a， ∵点B在圆x2+y2=1上，∴|OB|=1， ∴=，∴sin∠OAB=， ∵0≤∠OAB≤π，0≤sin∠OAB≤1， ∴0≤≤1，∴0≤sin θ≤a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　∵∠OBA的最大值为30°，此时sin θ取最大值sin 30°=， ∵0≤sin θ≤a， ∴当θ=30°时，sin θ达到最大值， ∴a=sin 30°=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 14.(2025·佳木斯模拟)已知圆x2+y2=8上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则|x1+y1-4|+|x2+y2-4|的最大值是 A.8 B.6 C.8 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　由圆x2+y2=8上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 得|OA|=|OB|=2， 设弦AB的中点为E，则OE⊥AB， 由∠AOB=120°，得∠ABO=∠BAO=30°， 所以|OE|=|OA|=， 所以点E的轨迹是以为半径，O为圆心的圆， |x1+y1-4|+|x2+y2-4|=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 返回 解析　表示A，B两点到直线x+y-4=0的距离之和的倍，因为E为弦AB的中点， 故A，B两点到直线x+y-4=0的距离之和等于点E到直线 x+y-4=0的距离的2倍， 圆心O到直线x+y-4=0的距离为=2， 所以点E到直线x+y-4=0的距离的最大值为2+=3，所以|x1+y1-4|+|x2+y2-4|的最大值是×3×2=12. $