第八章 第3节 圆的方程 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“圆的方程”专题，依据课标要求梳理了圆的定义、标准与一般方程、点与圆位置关系等核心考点，对接高考评价体系分析了圆的方程求解、轨迹问题、最值问题等高频考点权重，通过2022全国甲卷、2024北京卷等真题归纳定义法、待定系数法等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+方法归纳+素养提升”策略，如以2023全国乙卷最值问题为例，用几何转化法和参数方程法突破，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。特设“易错点警示”和“解题模板”，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

第3节　圆的方程 第八章　平面解析几何 1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 课标要求 索引 内容索引 知识诊断自测 01 考点聚焦突破 02 03 课时对点精练 索引 3 知识诊断自测 01 1.圆的定义和圆的方程 定义 圆是平面上到定点的距离等于______的点的集合 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a,b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 充要条件:________________ 圆心坐标:_______________ 半径r= D2+E2-4F>0 定长 索引 5 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系: (1)|MC|>r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外; (2)|MC|＝r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上; (3)|MC|<r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 圆外 圆上 圆内 索引 6 常用结论与微点提醒 1.几种特殊位置的圆的方程   标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 索引 7 常用结论与微点提醒 2.在方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中:当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点;当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形. 索引 8 常用结论与微点提醒 3.圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上; (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 索引 9 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)方程x2＋y2＝a2表示半径为a，圆心为(0，0)的圆.(　　) (2)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0一定表示圆.(　　) (1)当a＝0时，x2＋y2＝0表示点(0，0);当a≠0时，表示半径为|a|的圆. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 √ × 索引 10 (3)若(x0，y0)满足＋Dx0＋Ey0＋F>0，则点(x0，y0)必在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内.(　　) (4)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　) (3)配方后，>， 即>，点(x0，y0)在圆外. × √ 索引 11 2.(北师大选修一P44T2原题)已知圆C:2x2＋2y2＋4x－2y－1＝0，则圆心的坐标为____________，半径为____________.  将圆的方程化为标准方程(x＋1)2＋， 则圆心为，半径r＝. 索引 12 3.(人教B选修一P110T4改编)若坐标原点不在圆x2＋y2－ay＋a－1＝0的内部，则实数a的取值范围是_________________.  [1,2)∪(2,+∞) 将(0，0)代入方程，有02＋02－a·0＋a－1≥0，得a≥1. 圆的方程可化为x2＋－a＋1， ∴－a＋1>0，∴a≠2， ∴实数a的取值范围为[1，2)∪(2，＋∞). 索引 13 4.(人教A选修一P88T7改编)已知等腰三角形ABC的一个顶点为A(4，2)，底边的一个端点为B(3，5)，则另一个端点C的轨迹方程为_______________________.  设C(x，y)，|AC|＝|AB|＝， 故， 即(x－4)2＋(y－2)2＝10. 又B关于A的对称点为(5，－1)，且A，B，C不共线，故x≠3且x≠5. (x-4)2+(y-2)2=10,x≠3,x≠5 索引 14 考点聚焦突破 02 15 例1 (1)(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A. B.2 C.3 D.3 D 考点一　圆的方程 圆的一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心 (1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝3. 索引 (2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为________________________.  (x-1)2+(y+1)2=5 法一　设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则 ∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 索引 法二　设☉M的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则M(－，－)， ∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 索引 法三　设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r， 则kAB＝＝－，AB的中点坐标为， ∴AB的垂直平分线方程为y－＝3， 即3x－y－4＝0. ∴M(1，－1)， ∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5， ∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 索引 感悟提升 求圆的方程的两种方法 (1)待定系数法:①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值; ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. (2)几何法:根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程. 索引 训练1 (1)(2026·南昌调研)与直线y＝x和直线y＝x都相切且圆心在第一象限， 圆心到原点的距离为的圆的方程为__________________.  设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a>0，b>0，r>0)， (x-1)2+(y-1)2= 得a＝b＝1，r＝， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝. 索引 (2)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________________________________________________________________  (x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或+=或+(y-1)2 =(写出一个即可) 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0. ①若圆过(0，0)，(4，0)，(－1，1)三点， ___________________________. 索引 所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0， 即(x－2)2＋(y－3)2＝13; ②若圆过(0，0)，(4，0)，(4，2)三点， 所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0， 即(x－2)2＋(y－1)2＝5; 索引 ③若圆过(0，0)，(4，2)，(－1，1)三点， 所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0， 即; ④若圆过(－1，1)，(4，0)，(4，2)三点， 所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即＋(y－1)2＝. 索引 例2 (1)(2026·湖州质检)由动点P向圆M:(x＋2)2＋(y＋3)2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若四边形APBM为正方形，则动点P的轨迹方程为(　　) A.(x＋2)2＋(y＋3)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋3)2＝2 C.(x－2)2＋(y－3)2＝4 D.(x－2)2＋(y－3)2＝2 B 考点二　与圆有关的轨迹问题 连接MP，因为四边形APBM为正方形， 且|MA|＝|MB|＝1，所以|MP|＝， 故动点P的轨迹是以M为圆心，为半径的圆， 其方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝2.故选B. 索引 (2)(2026·长沙适应性考试)已知长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程是____________.  法一　设线段AB的中点为P(x，y)， 则A(2x，0)，B(0，2y)， 由题意知|AB|＝＝2，整理得x2＋y2＝1， 故线段AB的中点的轨迹方程为x2＋y2＝1. x2+y2=1 索引 法二　设线段AB的中点为P(x，y)， 若A，B均不与原点重合，则△ABO是直角三角形， 且∠AOB为直角 ，则|OP|＝|AB|＝1， 则P的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 其方程为x2＋y2＝1(xy≠0); 若A，B中有一个与原点重合，则P的坐标为(0，±1)，(±1，0). 综上，线段AB的中点的轨迹方程为x2＋y2＝1. 索引 感悟提升 求解与圆有关的轨迹(方程)的方法 (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程; (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程; (3)几何法:利用圆的几何性质列方程; (4)代入法:找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解. 提醒　要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程. 索引 训练2 (1)已知圆C:(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　　) A.y2＝4x B.x2＋y2－2x－2y－3＝0 C.x2＋y2－2y－3＝0 D.y2＝－4x B 因为圆C:(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1，1)，半径r＝1， 因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1， 又AM与圆相切，且|AM|＝2，则|AC|＝， 设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0， 所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. 索引 (2)设定点M(－5，0)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP(O为坐标原点)，则点P的轨迹方程为________________________.  设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为. 由于平行四边形的对角线互相平分，故， 从而 因为点N(x＋5，y)在圆上，所以(x＋5)2＋y2＝4. (x+5)2+y2=4(x≠-3且x≠-7) 索引 易知动点P在x轴上时不满足条件，令y＝0， 则(x＋5)2＝4，解得x＝－3或x＝－7， 所以x≠－3且x≠－7. 所以点P的轨迹方程为(x＋5)2＋y2＝4(x≠－3且x≠－7). 索引 角度1　利用几何意义求最值 例3 (多选)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则(　　) A.当x≠0时，的最小值是－ B.x2＋y2的最小值是1 C.y－x的最小值是2－ D.|x＋y＋3|的最小值为2 BC 考点三　与圆有关的最值问题 索引 由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心为C(0，2)，半径r＝1的圆. 设＝k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率， 由y＝kx(x≠0)，则≤1， 解得k≥或k≤－，故A错误; 因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上， 所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确; 索引 设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距， 则≤1，解得2－≤b≤2＋， 即y－x的最小值是2－，故C正确; |x＋y＋3|表示圆上的点到直线x＋y＋3＝0距离的倍，圆心(0，2)到直线x＋y＋3＝0的距离为d＝， 则|x＋y＋3|的最小值为×＝5－，故D错误. 索引 角度2　利用对称性求最值 例4 (2026·成都诊断)已知M(－1，2)，N是曲线C:x2＋y2－6x－2y＋9＝0上的动点，P为直线x＋2y＋2＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为__________.  3-1 如图，曲线C:x2＋y2－6x－2y＋9＝0是以C(3，1)为圆心，以1为半径的圆，则根据圆的性质可知， |PN|的最小值为|PC|－1， 设M关于直线x＋2y＋2＝0的对称点为H(m，n)， 索引 解得即H(－3，－2)，连接HC，分别交直线x＋2y＋2＝0与圆C于点P，N， 则|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PC|－1＝|PH|＋|PC|－1≥|HC|－1， 当且仅当P，H，C三点共线时取等号， 此时取得最小值3－1， 所以|PM|＋|PN|的最小值为3－1. 索引 角度3　建立函数关系求最值 例5 设点P是圆:x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为____________.  12 法一　由题意，设P(x，y)，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)， 所以·＝x2＋y2－4， 由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1， 故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12. 由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4， 当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 索引 法二　利用圆的参数方程求解. 设P(cos θ，3＋sin θ)，θ∈R， 则＝(2－cos θ，－3－sin θ)， ＝(－2－cos θ，－3－sin θ)， 则·＝－(2－cos θ)(2＋cos θ)＋(3＋sin θ)2 ＝6＋6sin θ∈[0，12]， 即·的最大值为12. 索引 感悟提升 1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法 索引 感悟提升 2.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C上动点有关的折线段的最值问题的基本思路: (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离; (2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 索引 感悟提升 3.建立函数关系式求最值:列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. 4.利用圆的参数方程θ∈R，处理与x，y有关的问题时可以转化为三角函数问题求解. 索引 训练3 (1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足 x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A.1+ B.4 C.1+3 D.72 C 将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆. 法一(几何意义法)　设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值， 此时＝3，解得z＝1±3， 故z＝x－y的最大值为1＋3. 索引 法二(参数方程法)　设圆的参数方程为θ∈R， 则x－y＝2＋3cos θ－1－3sin θ ＝1＋3cos， 故x－y的最大值为1＋3. 索引 (2)(2026·石家庄质检)已知点M在圆x2＋(y－1)2＝1上，点N的坐标为(，－1)，O为原点，则·的取值范围是____________.  [3,7] 法一　设M(x，y)，因为点N的坐标为(，－1)，O为原点， 所以＝(－，1)，＝(x－，y＋1)， 则·＝(－，1)·(x－，y＋1)＝－x＋3＋y＋1＝－x＋y＋4， 设t＝－x＋y＋4，即－x＋y－t＋4＝0， 因为M(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上， 所以直线－x＋y－t＋4＝0与圆x2＋(y－1)2＝1有交点， 索引 所以≤1， 所以|5－t|≤2，解得3≤t≤7， 所以·的取值范围是[3，7]. 法二　利用三角代换， 因为点M在圆x2＋(y－1)2＝1上， 所以可设M(cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0，2π)， 因为N(，－1)，O(0，0)， 所以＝(－，1)， ＝(cos θ－，2＋sin θ)， 索引 则·＝－(cos θ－)＋2＋sin θ ＝5－cos θ＋sin θ＝5＋2sin， 因为－1≤sin≤1， 所以3≤5＋2sin≤7， 所以·的取值范围是[3，7]. 索引 教材(人教A选修一P89“拓广探究9”)中有这样一道题“已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状”，这实际上与古希腊著名数学家阿波罗尼斯《圆锥曲线论》中研究的一类圆——阿波罗尼斯圆有关，它是这样定义的:在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合.数学语言描述为，其中M为动点，A，B为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1(当λ＝1时，M的轨迹是线段AB的垂直平分线). 阿波罗尼斯圆 拓展视野 索引 典例 (1)(2026·南京调研)古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B的距离为2，动点P满足，若点P不在直线AB上，则△PAB面积的最大值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 B 以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系， 如图，则B(2，0).设点P(x，y). 由，得3|PA|2＝|PB|2， 索引 即3x2＋3y2＝(x－2)2＋y2，整理得(x＋1)2＋y2＝3. 因此点P的轨迹是以点C(－1，0)为圆心，为半径的圆(除去与x轴的交点)， 则P到直线AB距离的最大值为， 所以△PAB面积的最大值为S＝|AB|×. 索引 (2)已知点C到点A(－1，0)，B(1，0)的距离之比为，则点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为____________.  设C(x，y)，则，即，化简得(x－2)2＋y2＝3， 所以点C的轨迹是以(2，0)为圆心，r＝的圆，则圆心到直线x－2y＋8＝0的距离d＝＝2， 所以点C到直线x－2y＋8＝0的距离的最小值为2. 2- 索引 训练 已知点M(x，y)到两个定点A(1，0)，B(－2，0)的距离之比为2∶1，则的取值范围为　　　　　　　　.  由题意可知＝2，所以＝2， 整理为(x＋3)2＋y2＝4，所以点M的轨迹是以(－3，0)为 圆心，2为半径的圆. 表示过圆上一点与定点(1，0)的直线的斜率， 设k＝，即kx－y－k＝0， 索引 因为直线kx－y－k＝0与圆有交点， 所以圆心(－3，0)到直线的距离d＝≤2， 解得－≤k≤， 所以. 索引 课时对点精练 03 一、单选题 1.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　) A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2 D 因为圆心为(1，1)且过原点， 所以该圆的半径r＝， 则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 2.(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A. B.- C.1 D.-1 A 依题意可知圆心坐标为(a，0)，又直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴， 所以2a＋0－1＝0，所以a＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 3.若点(2，1)在圆x2＋y2－x＋y＋a＝0的外部，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪ C 依题意，方程x2＋y2－x＋y＋a＝0表示圆， 则(－1)2＋12－4a>0，得a<; 由点(2，1)在圆x2＋y2－x＋y＋a＝0的外部可知22＋12－2＋1＋a>0，得a>－4. 故－4<a<.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 4.(2026·福州质检)已知圆x2＋y2＋4mx－2my＋m＝0(m∈R)与x轴相切，则m＝(　　) A.1 B.0或 C.0或1 D. D 该圆的标准方程为(x＋2m)2＋(y－m)2＝5m2－m， 所以5m2－m>0，解得m<0或m>， 所以圆心坐标为(－2m，m)， 半径为r＝. 因为圆与x轴相切，所以|m|＝， 解得m＝0(舍去)或m＝，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 5.圆M:(x－2)2＋(y－1)2＝1与圆N关于直线x－y＝0对称，则圆N的方程为(　　) A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋2)2＋(y＋1)2＝1 D.(x－1)2＋(y－2)2＝1 D 圆M:(x－2)2＋(y－1)2＝1的圆心为(2，1)，半径为1，(2，1)关于直线x－y＝0的对称点是(1，2)， 所以圆N的圆心是(1，2)，半径是1， 所以圆N的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 6.(2026·广州模拟)已知A，B是☉C:(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，若|AB|＝6，则点P的轨迹方程为(　　) A.(x－4)2＋(y－2)2＝16 B.(x－2)2＋(y－4)2＝11 C.(x－2)2＋(y－4)2＝16 D.(x－4)2＋(y－2)2＝11 C A，B是☉C:(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点， |AB|＝6，圆的半径为5， 可得|PC|＝＝4， 所以点P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 7.设点P(x，y)是曲线y＝－上的任意一点，则的最小值是(　　) A.2 B. C. D.0 B 曲线y＝－表示以(1，0)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示， 表示点P(x，y)与Q(4，2)连线的斜率k， 当直线经过点A(－1，0)时， 斜率k取得最小值，kQA＝， 所以. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 二、多选题 8.已知曲线C:Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0，则(　　) A.若A＝B＝1，则C表示一个圆 B.若A＝B≠0，D2＋E2－4AF>0，则C表示一个圆 C.若A＝B＝0，D2＋E2>0，则C表示一条直线 D.若A≠0，B＝0，则C表示一条直线 BC A中，需D2＋E2－4F>0时表示一个圆，错误; B中，当A＝B≠0时，C化为x2＋y2＋x＋y＋＝0，只需－4>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 即D2＋E2－4AF>0时表示一个圆，正确; C显然正确; D中，Ax2＋Dx＋Ey＋F＝0易知不一定表示一条直线，错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 9.设有一组圆Ck:(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　 　) A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3，0) C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π ABD 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确; 令(3－k)2＋(0－k)2＝4， 化简得2k2－6k＋5＝0， ∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0， ∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根， ∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误; 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 三、填空题 10.(2023·上海卷)已知圆C:x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝　　　　.  -3 由x2＋y2－4y－m＝0得x2＋(y－2)2＝m＋4， 故半径r＝， ∴π(m＋4)＝π，解得m＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 11.(2026·北京西城区质检)在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，点P在圆O:x2＋y2＝9上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是　　　　　　　.  取OA的中点D，则D(2，0)，连接DQ，OP，则DQ为△APO的中位线， 所以DQ∥OP， 且DQ＝PO＝， 故点Q在以D(2，0)为圆心，为半径的圆上. 所以点Q的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝. (x-2)2+y2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 12.若点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则||的最大值为　　　　.  10 由题意，知＝(－x，2－y)，＝(－x，－2－y)， 所以＝(－2x，－2y)， 由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4， 故y2＝－(x－3)2＋4，所以||＝＝2. 由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5， 所以当x＝5时，||有最大值，最大值为2×＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 四、解答题 13.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求: (1)直角顶点C的轨迹方程; 法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1. 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 法二　设AB的中点为D， 由中点坐标公式得D(1，0)， 由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2. 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)， 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3，0)，M是线段BC的中点， 由中点坐标公式得x＝，y＝， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 14.在平面直角坐标系Oxy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围; 令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)， 令f(x)＝x2＋2x＋b＝0， 由题意得b≠0，且Δ＝4－4b>0，解得b<1， 且b≠0. 即实数b的取值范围是{b|b<1，且b≠0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 (2)请问圆C是否经过某定点，且定点坐标与b无关?请证明你的结论. 圆C经过定点且坐标与b无关. 证明如下:设所求圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和两坐标轴的交点， 令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，由题意可得，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b. 令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得E＝－b－1， 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0(b<1，且b≠0). 把圆C的方程改写为x2＋y2＋2x－y－b(y－1)＝0， 故圆C过定点(0，1)和(－2，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 索引 13 14 4.圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为其中θ为参数. ∴ 联立 则由题意，得 则 则 则 则可得 令 解得 $