8.6 双曲线（第1课时）课件-2027届高考数学一轮复习

第八章 平面解析几何 第六讲　双曲线 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[53] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的___________________________________ 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________. 注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是__________； (2)当a＝c时，P点的轨迹是____________； (3)当a＞c时，集合P是________. 距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)　 焦点 焦距 双曲线 两条射线 空集 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 知识点二　双曲线的标准方程和几何性质 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 (－a,0) (a,0) (0，－a) (0，a) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 性 质 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的______，它的长|A1A2|＝______；线段B1B2叫做双曲线的______，它的长|B1B2|＝______；______叫做双曲线的____________，b叫做双曲线的____________ a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 实轴 2a 虚轴 2b a 实半轴长 虚半轴长 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 归 纳 拓 展 双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 (4)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－A．过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 题组二　走进教材 [答案]　3x±4y＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 第一课时 考点突破 · 互动探究 返回导航 双曲线的定义及应用——自主练透 1．已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　3 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [引申1]本例1中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________________． [引申2]本例1中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [引申3]本例1中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________. [引申4]本例1中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [引申5]本例2中|PQ|－|PF|的最大值为____________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨： 1．利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支． 2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 双曲线的标准方程——师生共研 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨：求双曲线的标准方程的方法 1．定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程． 2．待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，根据条件确定A、B即可． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 【变式训练】 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 双曲线的几何性质——多维探究 角度1　双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点、范围 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 角度2　双曲线的渐近线 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [引申]本例1中双曲线的两条渐近线的夹角为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数．两条渐近线关于坐标轴对称． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 角度3　双曲线的离心率 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师点拨：求双曲线离心率或其范围的方法 1．直接法：由题设条件求出a，c，从而得e. 3．列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要特别注意几何特点，以简化运算或寻求不等关系． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 圆锥曲线中的光性质 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 B．当m⊥n时，|PF1|·|PF2|＝32 C．当n过点Q(7,5)时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为13 D．若T(1,0)，直线PT与C相切，则|PF2|＝12 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 2．(2024·云南曲靖二模)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [解析]　如图所示：因为M(3,1)，所以yA＝yM＝1， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 提能训练　练案[53] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 3．(2025·福建福州质监)等轴双曲线经过点(3，－1)，则其焦点到渐近线的距离为(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 A．三角形AF1F2的周长是12 B．若双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为8，则双曲线E为x2－y2＝8 C．若|QF1|＋|QF2|＝8，则Q的位置不唯一 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1. 若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是________；双曲线C的方程为________.(第一空的横线上填“小明”“小红”“小强”或“小同”) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 B组能力提升 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 C组拓展应用(选作) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第八章　平面解析几何 谢谢观看 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1________，A2________ 顶点坐标： A1__________，A2______ 渐近线 y＝______ y＝_____ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ ±x ±x 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． (3)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为(通径)． 过双曲线的焦点与双曲线一支相交所得弦长的最小值为；与两支相交所得弦长的最小值为2A． (5)双曲线的离心率公式可表示为e＝. (6)双曲线的形状与e的关系：|k|＝＝＝，e越大，即渐近线斜率的绝对值就越大，双曲线开口就越开阔． (7)若M、N为双曲线－＝1(a>0，b>0)实轴端点，P为双曲线上不与M、N重合的点，则kPM·kPN＝. (8)－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，其离心率倒数的平方和为1. (2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　) (3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　) (5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　　) 2．(选择性必修1P127T8)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的渐近线方程为____________. [解析]　由题意知c＝＝5，又e＝＝，∴a＝4，从而b＝＝3.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0. 3．(选择性必修1习题3.2T13改编)直线l交双曲线－＝1于A，B两点，且P(4,1)为AB的中点，则l的斜率为________. [解析]　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为P(4,1)为AB的中点，所以有又点A，B在双曲线上，则即(x1＋x2)(x1－x2)＝2(y1＋y2)(y1－y2)，则l的斜率k＝＝＝＝2，此时直线l的方程为y－1＝2(x－4)，由消去y并整理，得7x2－56x＋102＝0，Δ＝562－4×7×102＝280>0，即直线l与双曲线交于两点，所以l的斜率为2. 题组三　走向考场 4．(2025·新课标Ⅰ卷)若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为(　　) A． B．2 C． D．2 [解析]　设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c，由题知，b＝a，于是a2＋b2＝c2＝a2＋7a2＝8a2，则c＝2a，即e＝＝2.故选D. 5．(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________. [答案]　 [解析]　由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入－＝1，得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13， 解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝. A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1(x≥1) D．x2－＝1(x≤－1) [解析]　设动圆M的半径为r，则|C1M|＝r＋1，|C2M|＝3＋r，∴|C2M|－|C1M|＝2<6＝|C1C2|.∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线左支，且c＝3，a＝1，∴b2＝c2－a2＝8，∴其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．故选D. 2．(2025·河北石家庄一模)设点P为双曲线－＝1右支上的动点，F为该双曲线的右焦点，已知点Q(7,2)，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　如图，设双曲线的左焦点为F1(－4,0)，由双曲线的定义得|PF|＋|PQ|＝|PF1|＋|PQ|－2a≥|QF1|－2＝5－2＝3，所以|PF|＋|PQ|的最小值为3.故选B. 3．(2026·广东部分学校质检)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且·＝0，则△PF1F2面积为________. [解析]　由题意得双曲线中a＝1，b＝，c＝＝2，则其焦点坐标F1(－2,0)，F2(2,0)，根据双曲线对称性，不妨假设点P在第一象限，设||＝m，||＝m＋2，其中m>c－a＝1，因为·＝0，则PF1⊥PF2，根据勾股定理知||2＋||2＝||2，即m2＋(m＋2)2＝42，解得m＝－1＋(负舍)，则||＝＋1，则△PF1F2面积为||||＝×(＋1)(－1)＝3. [答案]　－＝1(x≤－2) [答案]　－＝1(x≥2) [答案]　x2－＝1(x≥1) [答案]　－＝1 [答案]　 [解析]　由题意知F(4,0)，∴|PQ|－|PF|≤|FQ|＝，(当且仅当P、F、Q共线时，取等号)． 【变式训练】 1．在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，动点A满足条件sin B－sin C＝sin A时，则点A的轨迹方程为____________. [答案]　－＝1(x>2) [解析]　设A的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入sin B－sin C＝sin A，得－＝ ·.又∵|BC|＝8，∴|AC|－|AB|＝4，因此A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)，且2a＝4,2c＝8，即a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝12.所以所求A点的轨迹方程为－＝1(x>2)． 2．(2024·河北邢台二模)若点P是双曲线C：－＝1上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则“|PF1|＝8”是“|PF2|＝16”的(　　) [解析]　a＝4，b＝3，c＝＝5，当点P在左支时，|PF1|的最小值为c－a＝1，当点P在右支时，|PF1|的最小值为a＋c＝9，因为|PF1|＝8，则点P在双曲线的左支上，由双曲线的定义|PF2|－|PF1|＝|PF2|－8＝2a＝8，解得|PF2|＝16；当|PF2|＝16，点P在左支时，|PF1|＝8；在右支时，|PF1|＝24；推不出|PF1|＝8；故为充分不必要条件，故选D. 1．(2026·河北衡水质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线y2＝4x的准线l经过F1，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若∠F1F2A＝，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 [解析]　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，则c＝，则F1(－，0)、F2(，0)，不妨设点A为第二象限内的点，联立可得，即点A，因为AF1⊥F1F2且∠F1F2A＝， 则△F1F2A为等腰直角三角形，且|AF1|＝|F1F2|，即＝2c，可得＝2，所以解得因此，双曲线的标准方程为x2－＝1.故选D. 2．(2025·陕西教育联盟模拟)已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且C经过点(－，2)，则C的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 [解析]　因为双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，故可设双曲线方程为－＝k，(k≠0)，又C经过点(－6,2)，故－＝k，∴k＝2，故双曲线方程为－＝1，故选A． [引申]本例2中，将“过点(－6,2)”改为“焦距为2”，则C的标准方程为____________. [答案]　－＝1或－＝1 [解析]　可设C的方程为－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，c＝＝，λ＝1，当λ<0时，c＝＝，λ＝－1，∴所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 特别的①与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2<k<a2)；③过两点的双曲线方程可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)． 特别地：离心率为的双曲线的方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)． 1．(2026·江西创智协作体调研)“t>9”是方程“－＝1”表示双曲线的(　　) [解析]　若方程－＝1表示双曲线，则满足(t－9)(t－7)>0，解得t>9或t<7，所以“t>9”是方程“－＝1”表示双曲线的充分不必要条件．故选A． 2．过点(，)且离心率为2的双曲线的标准方程为____________. [答案]　x2－＝1或－＝1 [解析]　∵e＝＝2，则c＝2a，∴b2＝c2－a2＝3a2，若双曲线焦点在x轴上，则其方程为－＝1，将点(，)坐标代入方程可得－＝1，∴a2＝1，从而b2＝3，双曲线标准方程为x2－＝1，同理可求得焦点在y轴上时双曲线的标准方程－＝1. 1．(2026·河南安阳调研)已知双曲线C：－＝1(m>0)的一条渐近线方程为y＝x，则C的实轴长为(　　) A．12 B．8 C．2 D． [解析]　由题意可得a2＝m＋2，b2＝m，所以a＝，b＝，所以一条渐近线的方程为y＝x＝x，所以＝，解得m＝4，则a2＝6，所以实轴长2a＝2.故选C． 2．(2025·江苏南京六校联合体调研)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点，且∠F1PF2＝120°，若△F1PF2的面积为4，则a＝________. [解析]　不妨取P点在第一象限，如图所示：根据双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c；由离心率为2可得＝2，可得c＝2a，即|F1F2|＝4a；设|PF2|＝m>0，则|PF1|＝2a＋m；由题意知＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝m(2a＋m)×＝4，解得m(2a＋m)＝16； 利用余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝－，即＝－，整理可得2m2＋4am－12a2＝－m(2a＋m)，即12a2＝3m(2a＋m)，所以12a2＝48，解得a＝2. 1．(2025·湖北“宜荆荆恩”联考)过双曲线－y2＝1的一个焦点作倾斜角为60°的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是________. [答案]　 [解析]　由双曲线的对称性不妨设倾斜角为60°的直线过右焦点，由双曲线－y2＝1可得渐近线方程为y＝±x，双曲线的半焦距为c＝2，故右焦点坐标为F(2,0)，过倾斜角为60°的直线方程为y＝(x－2)，由可得交点坐标为A(3，)， 由可得交点坐标为B，倾斜角为60°的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为×2×|－|＝. 2．(2026·福建百校联测)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与圆x2＋y2＝a2相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|＝|BF2|，则双曲线的渐近线方程为________. [答案]　y＝±(1＋)x [解析]　作出示意图如图所示，根据双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a，在△AF1F2中，由余弦定理可得cos ∠AF1F2＝＝＝，又直线AF1与圆x2＋y2＝a2相切，所以cos∠AF1F2＝，所以＝， 解得b2－2ab－2a2＝0，所以2－2×－2＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x. [答案]　 [解析]　由渐近线方程知其斜角分别为，，故其夹角为. 名师点拨：求双曲线的渐近线方程的方法 求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.或确定焦点位置并求出或的值，从而写出渐近线方程． 注：如图F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，l为渐近线；FH⊥l于H，则|FH|＝b，|OH|＝A． 1．(2026·河南郑州部分学校质检)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，若⊥，＝－，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． [解析]　如图，F1(－c,0)，F2(c,0)，设A(x1，y1)，B(0，y2)，则＝(x1＋c，y1)，＝(c，y2)，＝(x1－c，y1)，＝(－c，y2)，由⊥，＝－，得解得又A(x1，y1)在双曲线－＝1上， 所以－＝1，即－＝1，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，即25e4－50e2＋9＝0，由e>1解得e＝.故选C． 2．(2025·河南许昌高级中学测试)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>b>0)的左、右焦点，以F2为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若3|AB|>|F1F2|，则双曲线的离心率的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(1，) [解析]　设以F2(c,0)为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线bx－ay＝0交于A，B两点，则F2到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝b，所以|AB|＝2，因为3|AB|>|F1F2|，所以3×2>2c，可得9a2－9b2>c2＝a2＋b2，即4a2>5b2＝5c2－5a2，可得5c2<9a2，所以<，所以e<，又e>1，所以双曲线的离心率的取值范围是.故选B. 2．等价转化法：由e＝或e＝等公式将已知条件转化为e的等式，从而得e. 【变式训练】 1．(角度1)(2026·山东潍坊调研)若双曲线C：－＝1过点(4，)，则C的焦距为(　　) A． B． C．2 D．2 [解析]　由题意可得－＝1，解得a2＝4，所以c2＝4＋2＝6，所以2c＝2，故选D. 2．(角度2)(2025·福建泉州质检)已知双曲线C：－＝1的焦距为4，则C的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x [解析]　由已知，可得b2＝6,2c＝4，所以c＝2，a2＝c2－b2＝12－6＝6，即C的方程为－＝1.所以C的渐近线方程是y＝±x.故选A． 3．(角度3)(2025·河北唐山一中开学考试)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A是C上一点，点B满足2＝－3，∠F1AF2＝4∠F1AB＝120°，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． [解析]　由∠F1AF2＝4∠F1AB＝120°，得∠BAF2＝90°，∠F1AB＝30°.因为2＝－3，所以点B在线段F1F2上，且＝.如图，过点F1作F1D∥AF2，交AB的延长线于点D，则F1D⊥AD，所以△AF2B△DF1B，|AF1|＝2|F1D|，所以＝＝.设|AF2|＝2m，则|F1D|＝3m，所以|AF1|＝6m.由双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝6m－2m＝2a，所以m＝，则|AF2|＝a，|AF1|＝3A． 设F1(－c,0)，F2(c,0)，则|F1F2|＝2C．在△AF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos∠F1AF2，即4c2＝9a2＋a2－2×3a×a×＝13a2，所以＝，则e＝(负值已舍去)．故选B. 1．(多选题)(2024·甘肃天水一模改编)我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：F1、F2是双曲线的左、右焦点，从F2发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过F1；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2.若双曲线C的方程为－＝1，则下列结论正确的是(　　) A．射线n所在直线的斜率为k，则k∈ [解析]　在双曲线－＝1中，a＝3，b＝4，则c＝5，易知点F1(－5,0)、F2(5,0)，设|PF1|＝u，|PF2|＝v，P(x0，y0)，因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，当点P在第一象限内运动时，随着x0的增大，射线n慢慢接近于直线y＝x，此时0<k<，同理可知当点P在第四象限内运动时，－<k<0，当点P为双曲线的右顶点时，k＝0，综上所述，k的取值范围是，A正确； 当m⊥n时，u－v＝2a＝6，u2＋v2＝(u－v)2＋2uv＝36＋2uv＝102，所以，|PF1|·|PF2|＝uv＝32，B正确；|F1Q|＝＝13，故n过点Q(7,5)时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为|PF2|＋|PQ|＝|PF1|－2a＋|PQ|＝|F1Q|－6＝7，C错误；若T(1,0)，由角平分线定理可得＝＝＝＝，即＝，解得|PF2|＝12，D正确．故选ABD. 2．(2026·内蒙古赤峰模拟)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为＋＝1，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝2，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|＝(　　) A．1∶ B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 [解析]　由已知得a＝5，|PF1|＝2，由椭圆定义可得|PF2|＝2a－|PF1|＝8，根据光的反射定理可得PM为∠F1PF2的角平分线，由正弦定理＝，＝，所以＝，＝，又＝，＝，即|F1M|∶|F2M|＝|F1P|∶|F2P|＝1∶4.故选D. 【变式训练】 1．(2026·广西玉林联考)双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其左右焦点，若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足DA⊥AB，tan∠ABC＝－，则该双曲线的离心率为________. [答案]　 [解析]　由题可知F1，A，D共线，F1，B，C共线，如图，设|AF1|＝m，则|AF2|＝m－2a，又|AB|＝2|AF1|，所以|BF2|＝m＋2a，所以|BF1|＝m＋4a，又AF1⊥AB，所以|BF1|＝m，由m＋4a＝m，得m＝(＋1)a＝|AF1|，则|AF2|＝m－2a＝(－1)a，而|F1F2|＝2c，则4c2＝(＋1)2a2＋(－1)2a2，化简得c2＝3a2，所以e＝＝. A．9＋ B．9＋ C．＋ D．＋ 所以xA＝＝，所以A，又因为F(1,0)，所以lAB：y－0＝(x－1)，即lAB：y＝－(x－1)，又所以y2＋3y－4＝0，所以y＝1或y＝－4，所以yB＝－4，所以xB＝＝4， 所以B(4，－4)，又因为|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝＋4＋2＝，|AM|＝xM－xA＝3－＝，|BM|＝＝，所以△ABM的周长为：|AB|＋|AM|＋|BM|＝＋＋＝9＋，故选B. 1．(2026·安徽蚌埠调研)若双曲线C的离心率为2，虚轴长为2，则C的实轴长为(　　) A．1 B． C．2 D．3 [解析]　已知离心率e＝＝2，虚轴长为2b＝2，所以c＝2a，b＝.由双曲线的性质可知，c2＝a2＋b2，则4a2＝a2＋3，解得a2＝1，因为a>0，所以a＝1，所以双曲线实轴长为2a＝2.故选C． 2．(2025·陕西安康模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，且a∶b∶c＝1∶2∶，则下列说法正确的是(　　) A．C的实轴长为2 B．C的渐近线方程为y＝±x C．C的离心率为 D．C的右焦点的坐标为(，0) [解析]　对于A、D，由a∶b∶c＝1∶2∶，取a＝2，则c＝2，C的实轴长4，右焦点(2，0)，A、D错误；对于B，由a∶b＝1∶2，得C的渐近线方程为y＝±2x，B错误；对于C，由a∶c＝1∶，得C的离心率e＝，C正确．故选C． A．2 B．2 C．4 D． [解析]　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，∴λ＝32－(－1)2＝8，∴a2＝b2＝8，∴c＝＝4，取焦点F(4,0)，渐近线x－y＝0，∴d＝＝2，故选A． 4．(2024·天津高考卷)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 [解析]　如图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，求得sin θ1＝，因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，求得＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2：1：，则由|PF2|＝m得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m， 由＝|PF1|·|PF2|＝m·2m＝8得m＝2，则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，由双曲线第一定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，a＝，b＝＝，所以双曲线的方程为－＝1.故选C． 5．(2026·安徽蚌埠省级示范性高中联考)若双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝3有公共点，则C1的离心率的取值范围为(　　) A． B． C．(0,2] D．(1,2] [解析]　∵双曲线渐近线为bx±ay＝0，且与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点，∴圆心到渐近线的距离不大于半径，即≤，∴b2≤3a2，∴b2＝c2－a2≤3a2，∴1<e＝≤2.故选D. 6．(2025·江西九江模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0)的左右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为x＋y＝0，若点M在双曲线C上，且|MF1|＝5，则|MF2|＝(　　) A．9 B．1 C．1或9 D．1或7 [解析]　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，∴＝，∴a＝2，从而c＝＝4，又∴|MF2|＝9.故选A． 7．(2026·广东深圳外国语学校月考)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若A是BF2中点且BF1⊥BF2则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x [解析]　设|AB|＝|AF2|＝m，|AF1|＝|AF2|＋2a＝m＋2a，|BF1|＝|BF2|－2a＝2m－2a，|BF1|2＋|BA|2＝|AF1|2，|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2　①，(2m－2a)2＋4m2＝4c2　②，由①可得m＝3a，代入②式化简得13a2＝c2，∴12a2＝b2，∴＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.故选A． 8．(2026·河南五市调研)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F1作圆：(x－c)2＋y2＝c2的切线，切点为M，该切线交双曲线C的一条渐近线于点P，若＝，则双曲线C的离心率为(　　) A． B． C． D． [解析]　如图，连接F2M，则F2M⊥PF1，|F2M|＝c，∵＝，∴M为PF1的中点，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|F1M|＝＝c，∠MF1F2＝30°，设P(x0，y0)，∵|PF1|＝2|PM|＝2c，∴y0＝2c·sin 30°＝c，x0＝2c·cos 30°－c＝2c，∵点P(2c，c)在渐近线y＝x上，∴＝＝，∴离心率e＝＝＝.故选B. 二、多选题 9．(2026·山东聊城模拟)已知双曲线C：－＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则(　　) A．双曲线C的离心率为 B．焦点到渐近线的距离为3 C．点P到两条渐近线的距离之积为 D．当P与A、B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为3 [解析]　双曲线C：－＝1的a＝，b＝3，c＝2，则e＝＝2，故A错误；焦点(±2，0)到渐近线3x±y＝0的距离为＝3，故B正确；设P(m，n)，可得3m2－n2＝9，则点P到两条渐近线的距离之积为＝＝＝，故C正确； 设P(m，n)，可得3m2－n2＝9，又A(－，0)，B(，0)，可得kPA·kPB＝·＝＝＝3，知D正确．故选BCD. 10．(2026·河南郑州部分学校质检)已知F1、F2分别是双曲线C：x2－y2＝2的左右焦点，点Q是圆A：(x－2)2＋(y－3)2＝上的动点，下列说法正确的是(　　) D．若P是双曲线左支上一动点，则|PF2|＋|PQ|的最小值是5＋ [解析]　由题意可得双曲线C：－＝1，a＝，b＝，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，圆心坐标A(2,3)，半径r＝.|F1F2|＝2c＝4，|AF1|＝＝5，|AF2|＝＝3，所以三角形AF1F2的周长是12，故A正确；由题意可设双曲线E的方程为－＝λ或－＝λ，变形为标准形式－＝1或－＝1，λ≠0，λ≠1，又双曲线E的焦距为8，所以2λ＋2λ＝42⇒λ＝4， 所以双曲线E为x2－y2＝8或y2－x2＝8，故B错误；|QF1|＋|QF2|＝8，所以Q点轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，且2a＝8⇒a＝4，c＝2，b2＝12，所以轨迹方程为＋＝1，圆心坐标A(2,3)代入椭圆方程可得＋＝1，所以圆心在椭圆上，又点Q是圆上点，画出图形可得 所以，Q的位置不唯一，故C正确；由双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝2a＝2，所以|PF2|＝|PF1|＋2，所以|PF2|＋|PQ|＝|PF1|＋|PQ|＋2，因为|PF1|＋|PQ|≥|QF1|，所以当P，Q，F1三点共线时，|PF1|＋|PQ|取得最小值|QF1|，又因为|QF1|的最小值为|AF1|－r＝5－，所以|PF2|＋|PQ|的最小值是5－＋2＝5＋，故D正确．故选ACD. 三、填空题 11．(2026·福建漳州质检)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线夹角是60°，则双曲线C的离心率为________. [答案]　2或 [解析]　∵双曲线的两条渐近线夹角是60°，∴＝(tan 60°)2或(tan 30°)2.∴＝3或，解得双曲线C的离心率为2或. 12．(2026·河北重点高中模拟)关于双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，四位同学给出了四个说法： 小明：双曲线C的实轴长为8； 小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3； 小强：双曲线C的离心率为； [答案]　小强　－＝1 [解析]　由题意，小明正确则有a＝4，小红正确有b＝3，小强正确有＝，小同正确则有c－a＝1，由此分析小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定是正确的，即c－a＝1，则小明和小红正确，即双曲线C：－＝1，故小强的说法错误． 13．(2025·广东阶段联考)已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)，四点A(6，)，B，C(5,2)，D(－5，－2)中恰有三点在Γ上，则双曲线Γ的标准方程为____________. [答案]　－y2＝1 [解析]　因为点C、D关于原点对称，且双曲线Γ也关于原点对称，故点C、D都在双曲线Γ上，对于点A，>，<，所以－>－＝1，即点A不在双曲线Γ上，所以，点B、C、D都在双曲线Γ上，所以解得因此，双曲线Γ的标准方程为－y2＝1. 14．(2026·山东名校考试联盟、辽宁辽西重点高中摸底)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E的渐近线上的一点，且PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则E的离心率为________. [答案]　 [解析]　如图，不妨设P在直线y＝x上，且在第一象限，坐标为(x>0)，因为F1(－c,0)，F2(c,0)，所以直线PF1的斜率＝＝，直线PF2的斜率＝＝，因为PF1⊥PF2，所以＝－1，即·＝－1， 整理可得x2＝a2，解得x＝a，则P(a，b)，在△PF1F2中，tan∠PF1F2＝＝，所以3b＝a＋c，两边平方可得9b2＝a2＋c2＋2ac，又b2＝c2－a2，所以4c2－5a2－ac＝0，即4e2－e－5＝0，解得e＝或e＝－1(舍)． 15．点A1，A2是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点．若直线x＝上存在点P，使得∠A1PA2＝，则该双曲线的离心率取值范围为________. [答案]　(1，] [解析]　△A1A2P的外接圆半径为r＝＝2a，当该圆与直线x＝相切或相交时满足题意，故≤2a，即1<e≤，所以该双曲线的离心率取值范围为(1，]． 1．(2023·全国甲卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． B． C． D． [解析]　由e＝，则＝＝1＋＝5，解得＝2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x，则圆心(2,3)到渐近线的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2＝.故选D. 2．(2026·八省八校T8联考)已知双曲线C：x2－＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆O：x2＋y2＝1的切线，交双曲线C的右支于点M，若∠F1MF2＝，则实数m＝(　　) A．2＋ B．1＋ C．2 D．1＋ [解析]　如图，设点M在第一象限，过点F2作F2G⊥MF1于点G，设N为圆O的切点，连接ON，∴F1N＝NG＝m，F2G＝2ON＝2.在Rt△MGF2中，MG＝，MF2＝，由双曲线定义得|MF1|－|MF2|＝2，∴2m＋－＝2，∴m＝1＋.故选D. 3．(2026·浙江嘉兴模拟)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的焦点F1，F2，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝，若C1的离心率为，则C2的离心率为(　　) A． B． C． D． [解析]　如图，设椭圆C1：＋＝1，双曲线C2：－＝1.因为它们有相同的焦点，所以a2－b2＝m2＋n2＝c2.不妨设M点在第一象限，且|MF1|＝t1，|MF2|＝t2，因为M点在椭圆C1上，所以⇒⇒t1t2＝4(a2－c2)．又＝⇒a＝c，所以t1t2＝4＝c2.又M在双曲线C2上， 所以⇒⇒3t1t2＝4(c2－m2)．所以3×c2＝4(c2－m2)⇒m2＝c2⇒m＝C．所以双曲线C2的离心率为e2＝＝.故选A． 4．(多选题)(2026·广东八校联盟质检)已知点A(1,2)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，则下列结论正确的是(　　) A．C的实轴长小于2 B．C的渐近线方程可能为y＝±x C．C的离心率大于 D．C的焦距不可能为4 [解析]　将A(1,2)代入C：－＝1可得－＝1，对于A：＝＋1>1，故a2<1，因此0<a<1，所以实轴长为2a，则2a<2，故A正确；对于B：渐近线方程为y＝±x，若渐近线方程为y＝±x，则＝，结合－＝1可得－＝1，则＝－1，该方程无实数根，故渐近线方程不可能为y＝±x，故B错误；对于C：离心率为e＝＝＝＝>，故C正确；对于D：若焦距为4，则2c＝2＝2＝4，故b2＝，故D错误．故选AC． 5．(2025·浙江部分学校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为的直线PF2与双曲线C在第一象限交于点P，若∠PF1F2≥∠F2PF1，则双曲线C的离心率的取值范围为_____. [答案]　 [解析]　因为倾斜角为的直线PF2与双曲线C在第一象限交于点P，可知直线PF2的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即<tan 60°＝⇒3a2>b2＝c2－a2⇒e<2，设|PF2|＝n，则|PF1|＝2a＋n，根据∠PF1F2≥∠F2PF1可知|PF2|≥|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由余弦定理可知n2＋4c2－(2a＋n)2＝2cos 120°×2cn，∴n＝，即≥2c⇒b2≥2ac－c2⇒2c2－2ac－a2≥0，则2e2－2e－1≥0⇒e≥，故2>e≥. (多选题)(2025·全国高考新课标Ⅱ卷)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则(　　) A．∠A1MA2＝ B．|MA1|＝2|MA2| C．C的离心率为 D．当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8 [解析]　不妨设渐近线为y＝x，M在第一象限，N在第三象限，对于A，由双曲线的对称性可得A1MA2N为平行四边形，故∠A1MA2＝π－＝，故A正确；对于B，解法一：因为M在以F1F2为直径的圆上，故F1M⊥F2M且|MO|＝c， 设M(x0，y0)，则故故MA2⊥A1A2，由A得∠A1MA2＝，故|MA2|＝|MA1|×即|MA1|＝|MA2|，故B错误； 解法二：因为tan∠MOA2＝，因为双曲线中，c2＝a2＋b2，则cos∠MOA2＝，又因为以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N，则OM＝c，则若过点M往x轴作垂线，垂足为H，则|OH|＝c·＝a＝|OA2|，则点H与A2(H)重合，则MA2⊥x轴，则|MA2|＝＝b， 解法三：在△OMA2利用余弦定理知，|MA2|2＝|OM|2＋|OA2|2－2|OM||OA2|cos∠MOA2，即|MA2|2＝c2＋a2－2ac·＝b2，则|MA2|＝b，则△A1A2M为直角三角形，且∠A1MA2＝，则2|MA2|＝|MA1|，故B错误；对于C，解法一：因为＝(＋)，故42＝2＋2·＋2，由B可知|MA2|＝b，|MA1|＝b，故4c2＝b2＋b2＋2×b×b×＝b2＝(c2－a2)即c2＝13a2，故离心率e＝，故C正确； 解法二：因为＝＝，则＝2，则e＝＝＝＝，故C正确；对于D，当a＝时，由C可知e＝，故c＝，故b＝2，故四边形NA1MA2为＝2××2×2＝8，故D正确．故选ACD. $