第五单元长方形和正方形（专项训练）-2025-2026学年三年级下册数学苏教版

**基本信息** 以“概念-作图-应用”为逻辑主线，通过4类解题方法系统构建长方形和正方形专项训练体系，强化几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|4个核心考点|相交平行定义→垂线平行线画法→长方形正方形特征→图形绘制，形成“概念认知-技能掌握”递进链| |解题方法|4种方法+12道强化题|观察法（数平行线）、分析法（最大正方形）、抓不变量法（角度计算）、尺规作图法，方法与题型精准对应| |综合应用|教材思考题+8道重难题|通过折叠、重叠等情境，运用推理意识解决角度计算、公平性判断等问题，体现数学思维的现实应用|

第五单元 长方形和正方形 单元知识梳理 考点梳理1 认识相交与平行 平行 同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。 直线a与直线b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。 a b 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。 直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。 关键点： (1)在同一个平面内的两条直线的位置关系有两种： (2)两条相交的直线，有时需要延长后才能看到交点。 易错点：两条直线的垂直关系是相互的，不能单独说哪条直线是垂线。 考点梳理2 画垂线和平行线 从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短。 画垂线：在方格纸上画——用量角器画——用三角板画 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。 平行线之间的距离处处相等。 注意点： (1)画垂线就要保证两条直线相交成直角。一定要标出垂直符号。 (2)画平行线时要注意直尺不要滑动。 考点梳理3 认识长方形和正方形 有4条边，且对边相等。 有4条边，且4条边相等。 有4个角，且都是直角。 有4个角，且都是直角。 注意点： 判断一个图形是不是正方形或长方形，要从边和角两个方面来考虑，如4条边都相等的四边形不一定是正方形。 学科网（北京）股份有限公司 考点梳理4 画长方形和正方形 1. 用画垂线的方法画； 2. 用画平行线的方法画； 3. 用直尺和圆规画。 注意点： 用画垂线的方法画时，注意是过线段的两个端点向同一方向分别画垂直线段，并标上直角符号。 解题方法梳理 方法1 用观察法解决数平行线组数的问题 例1 下图中一共有几组互相平行的直线? 思路引导 判断在同一个平面内的两条直线是否平行，就看这两条直线延长后是否相交，如果不相交，那么就可以说它们互相平行。观察上图，看哪两条直线方向一致，且延长后不相交。实际操作后得出横着的一组和向不同方向倾斜的两组都是互相平行的直线，如下图： 正确解答 一共有3组互相平行的直线。 【强化训练】 1. 数一数。 有( )组互相平行的直线。 2. 看图写一写。 (1)互相平行的直线有： (2)互相垂直的直线有： 3.下图中有几组互相平行的线段? 学科网（北京）股份有限公司 方法2 用分析法解决在平行线间画最大正方形的问题 例2 画出两条平行线间最大的正方形。 思路引导 正确解答 见思路引导。 方法总结 在两条平行线间画最大正方形的关键是确定正方形的边长，最大正方形的边长等于两条平行线间垂直线段的长度。 【强化训练】 4. 两条平行线间的距离是 10厘米，在这两条平行线之间画一个最大的正方形，正方形的边长是( )厘米。 5. 判断：以平行线之间的距离为边长，一组平行线之间能画无数个不一样的正方形。 ( ) 6.在下面这组平行线之间画一个最大的正方形。 方法3 用抓不变量法解决长(正)方形相关的角度计算问题 例3 把长方形纸的一个角折叠起来(如图)，已知∠1=36°，∠2的度数是多少? 学科网（北京）股份有限公司 思路引导 ∠2由虚线部分的∠3折叠而成→折叠前后角度不变，即 ∠1、∠2、∠3合起来是一个直角→. 正确解答 ∠2的度数是27°。 【强化训练】 7.把长方形纸的一个角折叠起来,已知∠1=25°,那么∠3=( )°。 8.下图为一张长方形纸折起来后的图形，其中∠1=40°，∠2=( )°。 9.如图所示，把一张正方形纸的一个顶点放在另一张正方形纸的一条边上，已知∠1=52°，那么∠2= ( ) °。 方法4 用尺规作图法解决画长 (正)方形的问题 例4 下面两条直线互相垂直，借助这组垂线，用直尺和圆规画一个长5 厘米、宽3厘米的长方形。(保留作图痕迹) 思路引导 学科网（北京）股份有限公司 正确解答 【强化训练】 10. 判断：画边长3厘米的正方形时，只用圆规就可以画出来。( ) 11. 下面两条直线互相垂直，借助这组垂线，用直尺和圆规，画一个边长为3厘米的正方形。(保留作图痕迹) 12. 下面两条直线互相垂直，借助这组垂线，用直尺和圆规，画一个长5厘米、宽4厘米的长方形。(保留作图痕迹) 学科网（北京）股份有限公司 教材思考题攻略 例(教材P90)下面每个图中的∠1和∠2大小相等吗?为什么? 【思路分析】第1个图中，∠1和∠2与中间夹的公共角分别组成一个直角；第2个图中，∠1和∠2与中间夹的公共角分别组成一个平角。可以把公共角看作∠3，第1个图中， ∠3,∠2=90°-∠3,因此∠1=∠2。第2个图中, 因此∠1=∠2。规范解答：相等。因为∠1和∠2与公共角所组成的角都相等，所以∠1=∠2。 “归纳点拨”：要仔细观察图形，找到与∠1、∠2有关联的角，通过中间角，利用直角(90°)和平角(180°)的性质来判断。 【强化训练】 如下图，把一个正方形和一个长方形的部分重叠在一起。 (1) ∠1和∠2相等吗?为什么? (2)已知∠1+∠2+∠3=120°,则∠1和∠3各是多少度? 重难题型+思维提升 重难点1 理解互相垂直、互相平行的含义 1.在抗战胜利80周年阅兵式上，直线行进中的坦克履带留下的两行印迹互相( )。(填“平行”或“垂直”) 2.在下图中，过点P画出AC的垂线和AB的平行线。 学科网（北京）股份有限公司 重难点2 会利用点到直线的距离来解决实际问题 3. 下面是三名同学在玩“抢板凳”游戏时的位置示意图，你认为这个游戏公平吗?并说明理由。 4. 将军到河边饮马，从将军的帐篷到河边有三条小路，长度分别是342米、279米、486米，其中有一条垂直河流，帐篷到河边的距离是( )米。 5. 跳水运动员人水时，形成的水花大小是评委评分的一个标准，如图所示，点A 为某运动员跳水前的一个位置，BC上有一点O，点O是入水点，AO 是他的入水路线。要使运动员形成的水花较小，应使入水路线最短，入水点O 在哪里，才能让水花最小?请你画出最短的入水路线 AO。A·运动员 重难点3 长方形和正方形的认识 6. 选一选。 (1)下面的彩纸分别盖住了一个图形的一部分，盖住的可能是长方形的是 ( )。 (2)毛毛在研究正方形的特征时，他把一张正方形纸对折(如图)是为了验证 ( )。 A.正方形的邻边相等 B.正方形有 4条边 C.正方形的对边相等 7. 把一张长方形纸按下图所示的方式折一折。已知∠2=80°，则∠3是多少度?要使∠ 1和∠3 相等，则∠4是多少度? 8. 如图所示，将一张正方形纸对折，出现一条折痕，将点 A、点D折到刚才出现的折痕上，折出的∠1=60°。∠2 是多少度? 学科网（北京）股份有限公司 第五单元 长方形和正方形 解题方法梳理 【强化训练】 1. 5 2. (1) ①∥③、⑤∥⑥ (2) ⑤⊥①、⑤⊥⑥、⑤⊥③、⑥⊥③ 3. 10组 4+3+2+1=10 (组) 4. 10 5. × 6. 如图: 7. 40 8. 70 9. 38 10. × 11. 画图略 12. 画图略 教材思考题攻略 【强化训练】 (1)因为∠1+∠3=90°, ∠2+∠3=90°,所以∠1=∠2。 (2) ∠1=120°-90°=30° ∠3=90°-30°=60° 学科网（北京）股份有限公司 重难题型+思维提升 1.平行 2.如图: 3.不公平。因为三人到板凳的距离不同，其中团团与板凳的连线与三人所在的直线互相垂直，因此团团距离板凳最近。(合理即可) 4. 279 5.如图: 6. (1) B (2)C ∠4=∠1+∠2=120° 学科网（北京）股份有限公司 $