暑假作业06 不等式（组）的实际应用（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“通用六步”为核心方法体系，通过关键词转化、结构分类构建知识逻辑，覆盖8类高频应用题型，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通用步骤|知识点1|审设列解验答六步流程|从解题流程奠基，建立问题解决框架| |关键词转化|知识点2|不等关键词-符号对照表|实现文字到符号的抽象转化| |结构分类|知识点3|单不等式/不等式组判定|区分限制条件数量，明确解题路径| |高频题型|8类题型|预算/积分/分配等题型解法|从基础到综合应用，形成完整逻辑链|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 不等式（组）的实际应用 【知识点1 列不等式（组）解应用题的通用六步】 1. 审：读题，圈出已知量/未知量，标出所有不等关键词（至少、最多、不超过、不少于、不足、超过……）和等量关系（总数量、总钱数等） 2. 设：设未知数（一般设所求量为x，必要时设两个量但第二个用含x的式子表示；务必写单位） 3. 列：把不等关键词翻译成不等号，列出一元一次不等式（单个限制）或一元一次不等式组（多个限制同时成立） 4. 解：按步骤求不等式（组）的解集（画数轴取公共部分） 5. 验：结合实际意义筛选解集：人数/个数/件数→非负整数；长度/质量/时间→正数；还要注意题设上界 6. 答：写完整答句（带单位、带结论） 【知识点2 不等关键词与符号的“对照表”】 1. 大于/小于：＞/＜ 2. 大于或等于/不少于/不低于/至少：≥，“至少”＝最小值，方向朝右：x≥ 3. 小于或等于/不多于/不超过/至多：≤，“至多”＝最大值，方向朝左：x≤ 4. 超过：＞，不含等 5. 不足/不到：＜，不含等 6. 正负隐含：“有x元可花”，总花费≤x（钱不能透支），不是＝，是≤ 7. 正负隐含：“需要x人完成”，工作量≥任务量（必须够）不是＝，是≥ 【知识点3 两类结构：单不等式型与不等式组型】 1. 单不等式就能搞定（只有一个方向受限），典型句式： (1) “……的费用不超过预算”→总费用≤预算 (2) “……的产量不低于指标”→总产量≥指标 (3) “至少要/最多可……”→解出边界后取最小整数/最大整数 2. 必须上不等式组（同时受两个（或以上）限制），最典型的配套句式，双重夹逼： (1) “某量不少于a，且不超过b”⇒⇒ (2) 资源分配题里常见的： 1 限制①：总花费≤预算 2 某种资源/人数/数量≥最低需求 3 x为整数、0≤x≤总量（如总共就那么多辆车/人） 【知识点4 高频应用题型】 1. 预算/购物/费用上限问题 (1) 结构：单价×数量+…≤总预算，求最多买几件/至少需多少钱。 (2) 用不超过M元买A（单价a）和B（单价b），共买n件，设买A为x件，，且，x为整数 (3) 至少要买m件A，问最多还能买几件B，⇒解x取整 (4) 易错：“不超过”写成＜；设了两个未知数却只列了一个不等式但没用总量关系消元。 2. 积分/得分/竞赛问题 (1) 结构：答对得正分，答错/不答扣（或不得）分，总分达到某门槛，求至少答对几题。 (2) 设答对x道，则答错或不答（n－x）道 (3) 总分＝对题得分－错题扣分（或＋基础分）≥目标分 (4) 解出x≥某小数→向上取整（因为题数必须是整数） 3. 分配问题 (1) 有A、B两种车型共m辆，需运至少W吨货，甲车载重a、乙车载重b，且甲类最多可用p辆…… (2) 设甲类x辆，则乙类（m－x）辆，列： (3) 解范围→枚举所有整数x→列出几种可行方案 4. 方案设计/最优选择问题 (1) 先用不等式组把可行方案筛出来（得到x的整数取值范围，枚举方案） (2) 再按某个目标（总租金/总运费/总成本）对比各方案，选最小/最大 5. 简单行程/工程中的不等关系 (1) 行程：，给定路程固定，时间“至少/至多”⇒速度范围的不等式 (2) 工程：剩下的工作量要在k天内完成⇒每天至少干多少 题型01 根据实际问题列不等式（组） 1．（2026·安徽宣城·二模）野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算目标海拔相对已知海拔的升高量，再根据气温变化规律得到目标海拔处的气温，最后结合适宜温度范围列出不等式组即可． 【详解】解：∵野生兰草适宜温度为，已知海拔处气温为，目标海拔为， ∴目标海拔相对已知海拔的升高量为， ∵海拔每升高，气温下降， ∴总下降气温为，因此处的气温为， 根据适宜温度范围可得不等式． 2．（2026·四川南充·三模）某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 【答案】 【分析】由题意知，小敏投中了个三分球，根据得分不低于70分即可列出不等式． 【详解】解：小敏同学投中了个五分球，投中了个三分球， 由题意得：． 题型02 用一元一次不等式解决几何问题 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3) (4)当或时， 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）根据题意列式即可； （3）分或或三种情况讨论，根据题意列式即可； （4）分或或三种情况讨论，列出不等式，计算即可求解． 【详解】（1）解：在上运动的时间为． （2）解：当点在运动时，， 点是的中点， ， 当在的左侧时，即，． （3）解：当在的右侧时，即，； 当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴． （4）解：当时， 根据题意，得，解得, ∴； 当时， 根据题意，得，解得 ∴； 当时， 根据题意，得，解得， ∴； 综上所述，当或时，． 题型03 不等式组的行程问题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【答案】(1)点表示第14秒时乙组追上甲组； (2) (3)或 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数和一元一次不等式组的应用； （1）根据题意结合函数图象，即可求解； （2）根据点，点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得的函数表达式为，根据两组之间的距离不超过时，分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前；②当甲到终点，乙还没有到终点前；建立不等式，并根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组； 或“乙组到第14秒时已经走了24米”， 或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”． （2）解：设的函数表达式为 点，点 ，解得， 的函数表达式为． （3）解：设的函数表达式为 ∵， ，解得， 的函数表达式为， 分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前 ， 可解得 ②当甲到终点，乙还没有到终点前 将代入， 解得：， ， 综合①②得的取值范围为：或 题型04 不等式组的工程问题 1．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 题型05 不等式组的经济问题 1．（2026·广西南宁·二模）平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部湾港的货物吞吐量稳步增长．某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，已知甲型货船的单次运量为10吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元．受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次． (1)设甲型货船的出航次数为次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？ 【答案】(1)， 且为整数 (2)安排甲型货船出航30次. 乙型货船出航30次可使总运量最大. 最大总运量为1800吨 【分析】（1）先表示出乙型货船的出航次数，再根据的限制条件和总运营成本的限制列出不等式组，求解即可得到的取值范围； （2）列出总运量关于的一次函数，根据一次函数的增减性结合的范围，求出总运量的最大值，即可得到对应出航安排． 解题的关键在于应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化情况，结合自变量的取值范围确定最值． 【详解】（1）解： 由题意知，甲型货船出航次，则乙型货船出航次， 为非负整数， 根据题意列不等式组： ， 解不等式 ， 因此，且为整数； （2）解：设总运量为吨， 根据题意得： ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，此时（吨）， 乙型货船出航次数为 （次）， 答： 安排甲型货船出航30次，乙型货船出航30次，可使总运量最大，最大总运量为1800吨． 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 【答案】(1)一本笔记本3元，一支签字笔4元 (2)最多可购进笔记本50本 【分析】（1）设笔记本x元/本，签字笔y元/支，列出方程组求解即可； （2）设购进笔记本m本，根据题意列不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设笔记本x元/本，签字笔y元/支， ， 解得：， 答：一本笔记本3元，一支签字笔4元． （2）解：设购进笔记本m本，则签字笔支， 由题意则有， 解得， 所以的最大值为50， 答：最多可购进笔记本50本． 题型06 不等式组的分配问题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 【答案】则至少需要采购心愿卡34件 【分析】本题为一元一次不等式组的实际应用题，解题思路是设采购心愿卡的数量为未知数，根据总费用限制和数量的不等关系列出不等式组，求解后结合件数为正整数的实际要求，得到最小采购数量． 【详解】解：设需要采购心愿卡x件，则采购明信片件，x为正整数， 根据题意可知：， 解不等式组得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为34， 答：则至少需要采购心愿卡34件． 2．（2026·湖南·模拟预测）年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 【答案】(1)喇叭的单价为元，小红旗的单价为元 (2)元 【分析】（1）设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元，根据“购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同．”列出方程，即可求解； （2）设一横排有人，根据“排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元， 由题意得， ， 解得． ． 答：喇叭的单价为元，小红旗的单价为元． （2）解：设一横排有人， 由题意得，， 即，即 为整数，且， ． （元）． 答：排舞运动协会购买小红旗共花费了元． 题型07 不等式组的方案选择问题 1．（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）电影《给阿嬷的情书》以侨批家书为线索，诉说着跨越山海的深情牵挂．为传承侨乡文化，某校文创小组定制影片主题侨批家书、纪念书签两种文创产品，开展爱心义卖活动，相关信息如下：定制2份侨批家书、3份纪念书签，共需成本48元；定制3份侨批家书、1份纪念书签，共需成本44元．义卖时，每份侨批家书售价20元，每份纪念书签售价12元． (1)求每份侨批家书、每份纪念书签的成本价分别是多少元？ (2)文创小组计划购进两种文创产品共50份，其中侨批家书数量的两倍超过了纪念书签的数量，且投入的总成本不超过476元．请问共有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出全部售出后哪一种方案可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1) 每份侨批家书成本价为12元，每份纪念书签成本价为8元 (2) 共有3种进货方案 (3) 购进19份侨批家书、31份纪念书签的方案可获得最大利润，最大利润是276元 【分析】（1）根据两种定制方案的总成本条件列二元一次方程组，求出两种产品的成本； （2）根据数量关系和总成本限制列一元一次不等式组，通过整数解的个数确定进货方案数； （3）根据利润公式得到总利润与进货量的一次函数关系，结合一次函数增减性求出最大利润和对应方案． 【详解】（1）解：设每份侨批家书成本为元，每份纪念书签成本为元 根据题意列方程组得： 解得 答：每份侨批家书成本12元，每份纪念书签成本8元； （2）解：设购进侨批家书份，则购进纪念书签份，为正整数 根据题意列不等式组得 解得 ∴整数解为17，18，19 ∴共有三种进货方案； （3）解：设全部售出后的总利润为元， 每份侨批家书的利润为（元），每份纪念书签的利润为（元）， 总利润， ∵， ∴随的增大而增大， 当取最大值19时，取得最大值，此时，最大利润（元） 答：购进19份侨批家书、31份纪念书签可获得最大利润，最大利润是276元． 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． (1)一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ (2)W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为每年60万人次和每年100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且每年总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 【答案】(1)一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元 (2)共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆 【分析】（1）设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意得： ， 解得：； 答：一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元． （2）解：设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意得： ， 解得：， ∵是正整数， ∴的取值为， ∴或或； 答：共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆． 题型08 不等式组的阶梯收费问题 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 【答案】(1)1.8，2.4，3.5； (2)小青家该月份的用水量为28吨； (3)用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据居民生活到户水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费，从小青家的用水信息即可得出答案； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，然后根据题意可列方程进行求解； （3）设用水量为y吨，然后根据题意可列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：根据表格得： 每月用水20吨及以内为（元/吨）；每月用水20~30吨（含30吨）为（元/吨）；30吨及以上为（元/吨）； 故答案为1.8；2.4；3.5； （2）解：由（1）可知：当用水量为30吨时，则水费为（元）， 设小青家该月份的用水量为x吨，由可知： ， 解得：； 答：小青家该月份的用水量为28吨． （3）解：设用水量为y吨，由题意得： 解得：； 答：用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期中）为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 2档 … … … (1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量； (2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值． 【答案】(1) (2)a的最大值为300． 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用； （1）先得出，进而根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）当时，，符合题意．当时，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：当时，（元）， ∵， ∴． ∵， ∴． 答：该月小李家的用电量为120度． （2）当时，，符合题意． 当时， ∴， ∴ ∴， ∴a的最大值为300． 1．（2026·浙江温州·二模）小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程速度时间，分别表示出跑步路程和步行路程，结合总路程要求列出不等式即可． 【详解】解：设跑步的时间为分钟， 根据题意，要在分钟内（含分钟）到达图书馆， 则在分钟内走过的总路程应不小于米， 当总用时为分钟，跑步时间为分钟时，步行时间为分钟，跑步路程为米，步行路程为米， 故可列不等式为． 故选D． 2．（25-26八年级下·四川达州·期中）渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）现用载重分别为5吨和8吨的货车运货，总货物共47吨，两种货车均不少于1辆，要一次性运完，则安排方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】D 【分析】设安排载重5吨的货车辆，载重8吨的货车辆，根据总货物共47吨可知总载重量，由两种货车均不少于1辆，可知5吨货车均不少于1辆，即总载重量，将y看做已知量求出x的取值范围，进而枚举验证即可，得到符合要求的方案数． 【详解】解：设安排载重5吨的货车辆，载重8吨的货车辆， ∵总货物共47吨，两种货车均不少于1辆， ∴且，，， 解得， 解得， 即， 当时，，可取8，符合； 当时，，可取7，符合； 当时，，可取5，符合； 当时，，可取3，符合； 当时，，可取2，符合； 当时，，无正整数解，不符合； 可知当时，无正整数解，不符合； 综上所述，安排方案共有5种． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）2026年3月23日是第66个“世界气象日”，某校组织600名师生前往城市气象科技馆开展“测今日气象，护明日家园”主题实践活动，计划租用30座和45座两种客车（两种客车都要租），要求每名师生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（     ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】B 【分析】设两种客车的租用数量为未知数，根据总人数列出二元一次方程，求方程的正整数解的个数，即可得到租车方案的数量； 【详解】解：设租用30座客车辆，45座客车辆，均为正整数（两种客车都要租）， 根据总人数为600，可得方程：， 整理得， ∵为正整数， ∴为整数，且， ∵ 3是奇数， ∴必为偶数， 由得， 符合条件的正偶数为：，共6个，对应均为正整数， 因此租车方案共有6种． 5．（2026·陕西西安·三模）一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 【答案】 【分析】根据电梯额定限载量得到总重量的不等关系，求解后取最大正整数即可得到结果． 【详解】解：设每次搬运箱货物，则总重量为， 根据题意，列不等式得， 解不等式得， 为正整数， 的最大值为，即两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运28箱货物． 6．（24-25七年级下·重庆·期末）学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 【答案】或或或或 【分析】先列方程求出原计划办公椅和会议桌的购买数量，再设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元，根据题意列出等式，变形得，由题意可知，从而得到关于的不等式，求解并判断其中的整数解即可． 【详解】解：设原计划购买办公椅把，则计划购买会议桌张， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴会议桌购买数量为（张）， 设实际购买办公椅把，会议桌每张实际价格为元， 根据题意可得：， ∴， ∵会议桌降价幅度不超过原价的， ∴，即， ∴， 解得， ∵是整数， ∴， ∴，，，，， ∴学校实际购买了办公椅为或或或或把． 7．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）丽丽比爷爷小50岁．2年前，爷爷的年龄比丽丽的年龄的15倍还小；2年后，爷爷的年龄比丽丽的年龄的7倍还大．今年丽丽的年龄是________岁． 【答案】6 【分析】设今年丽丽的年龄为岁，用含的代数式表示爷爷今年的年龄，根据2年前和2年后的年龄不等关系列出不等式组，求解后取正整数解即可得到结果． 【详解】解：设今年丽丽年龄为岁，则爷爷年龄为岁． 由题意得， 解得 解得 因此不等式组的解集为 为正整数， ． 8．（25-26七年级下·广西桂林·期中）当下“即时零售、线上线下同价促销”已成为消费热潮．某品牌日用品线下门店与线上平台推出不同优惠方案，某家庭计划采购该品牌日用品，原价总计为元（）． 线下方案：全场8折，另收配送费10元． 线上方案：每满100元减25元，不满100元的部分不优惠，免配送费． 问题： (1)当原价总计为120元时，选择哪种方案更省钱？省了多少元？ (2)当原价总计超过100元且小于200元时，求满足什么条件，线下方案比线上方案更省钱？ (3)若该家庭预算不超过300元，且选择线上方案，求原价的最大值． 【答案】(1)选择线上方案更省钱，省了元 (2)当时，线下方案比线上方案更省钱 (3)原价的最大值为元 【分析】（1）分别计算两种方案对应的花费，即可解得； （2）先根据两种优惠规则计算不同情况下的实际花费，再列不等式求解即可； （3）分类讨论求x的最大值即可解答． 【详解】（1）解：当原价元时，线下花费：（元）， 线上花费：（元）， 因为，且（元）， 答：选择线上方案更省钱，省了元． （2）解：当时，线下花费元，线上仅满个元，实际花费为元， ∵线下方案比线上方案更省钱， ∴， 解得：， ∴， 答：当时，线下方案比线上方案更省钱． （3）解：预算不超过元，即线上实际花费不超过元， 分类讨论： 当时，无优惠，实际花费，此时； 当时，优惠元，则，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 比较所有情况可得，的最大值为元． 答：原价的最大值为元． 9．（2026·山东东营·二模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录，小亮周六进行了两组运动，第一组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示消耗热量千卡：第二组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示第二组运动消耗热量千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量，每个深蹲用时秒，每个开合跳用时秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 【答案】(1)小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量 (2)小亮安排个深蹲消耗的热量最多 【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量，根据题意列出方程组并求解即可； （2）设安排个深蹲，个开合跳，消耗的热量为千卡，根据题意可得，变形得．由题意可列不等式组，解得，容易得到，结合一次函数的增减性与的取值范围，判断的最大值，和对应的的值． 【详解】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量， 根据题意可列方程： ， 解得， 答：小亮每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量； （2）解：设安排个深蹲，个开合跳，消耗的热量为千卡， 根据题意，， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最大值． 答：小亮安排个深蹲消耗的热量最多． 10．（2026·四川成都·一模）今年春节某商家购进A，B两种不同造型的哪吒玩偶．已知购进5个A种玩偶和4个B种玩偶共需152元；购进3个A种玩偶和2个B种玩偶共需84元． (1)求A，B两种玩偶的进价； (2)由于销售情况较好，商家决定再购进A，B两种玩偶共20个，设总费用为W，若总费用低于340元但不少于329元，那么当A，B两种玩偶分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)A种玩偶的进价是16元，则B种玩偶的进价是18元 (2)当购买15个A种玩偶，购进5个B种玩偶时，总费用最少，最少总费用为330元 【分析】（1）设A种玩偶的进价是x元，则B种玩偶的进价是y元，根据“购进5个A种玩偶和4个B种玩偶共需152元；购进3个A种玩偶和2个B种玩偶共需84元”列出方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种玩偶，则购进个B种玩偶，根据“总费用低于340元但不少于329元”可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种玩偶共花费W元，利用总费用=两种玩偶费用之和，可找出W关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种玩偶的进价是x元，则B种玩偶的进价是y元，根据题意得： ， 解得， 答：A种玩偶的进价是16元，则B种玩偶的进价是18元； （2）解：设购进m个A种玩偶，则购进个B种玩偶， 根据题意得：， 解得， 设总费用为W元， 则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵m为正整数， ∴当时，W最小，最小值为330， 此时， ∴当购买15个A种玩偶，购进5个B种玩偶时，总费用最少，最少总费用为330元． 1．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 【答案】 1 /0.75 【分析】首先估算出的取值范围，根据新定义即可求解；根据的定义列出不等式组，结合为整数的性质即可求出的值． 【详解】解: （1）， ， 不超过的最大整数为，即； （2）根据的定义，可得对于任意实数，满足 ， 将，代入，得 解得不等式组的解集为 ． 是整数， 是整数． 设，其中为整数，则， 代入不等式，得 ， 解得 ． 为整数， ， ． 2．（2026·安徽合肥·二模）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小华和小明同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，每个圆圈上的三个数字之和为_____． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：，，，请根据以下的对话内容，则的值为______． 小彬：由填数规则得；所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为，则的值可以用含的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 【答案】 12 6或9 【分析】①根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程即可； ②根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得，最后由S为整数，以及，求出的值． 【详解】解：①设两个空白“□”中，左边空白“□”应填的数为x，右边空白“□”应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，可得：， 解得：， 每个圆圈上的三个数字之和为：； ②设上方的圆圈上空白“□”应填的数为m，左侧的圆圈上空白“□”应填的数为x，右侧的圆圈上空白“□”应填的数为y， 每个圆圈上的三个数字之和为S， ， ， 所有填入的数字之和为：， ， ， ， ，S为整数， 或9． 3．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某超市推出甲、乙、丙三种糖果礼盒，每种礼盒均装有A、B、C三种糖果．其中，甲礼盒装有4个A糖果，4个B糖果，9个C糖果；乙礼盒装有7个A糖果，7个B糖果，5个C糖果；丙礼盒装有若干个A糖果，6个B糖果，4个C糖果，且每种礼盒的售价等于其所装糖果的售价之和．每个甲礼盒的售价为86元，每个乙礼盒的售价不低于80元，不高于95元，每个丙礼盒的售价为88元．已知每种糖果的售价均为整数，且每个A糖果的售价高于3元，不超过8元，求每个丙礼盒中A糖果的个数． 【答案】 【分析】先设未知数表示各糖果单价和丙中A糖果个数，根据甲礼盒售价得到各量关系，结合乙礼盒售价范围确定C糖果单价和A、B单价的和，再利用A单价的范围和丙礼盒售价的等式，结合整数性质求出丙中A糖果的个数． 【详解】解：设每个A糖果售价为x元，每个B糖果售价为y元，每个C糖果售价为z元，丙礼盒中A糖果的个数为a，x、y、z、a均为正整数， 根据题意得：， 设，则，得，且， ∵x、y均为正整数， ∴s是正整数，，，即， ∴是4的倍数，即， ∴，且z除以4余2， ∴或， 当时，， 计算乙的售价得，，不符合要求，舍去。 当时，， 计算乙的售价得，满足，符合要求； ∴，，即， 由，可得：，即， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵a为正整数， ∴可以为10或者9， 当时，，不为整数，舍去， 当时，，符合题意． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 不等式（组）的实际应用 【知识点1 列不等式（组）解应用题的通用六步】 1. 审：读题，圈出已知量/未知量，标出所有不等关键词（至少、最多、不超过、不少于、不足、超过……）和等量关系（总数量、总钱数等） 2. 设：设未知数（一般设所求量为x，必要时设两个量但第二个用含x的式子表示；务必写单位） 3. 列：把不等关键词翻译成不等号，列出一元一次不等式（单个限制）或一元一次不等式组（多个限制同时成立） 4. 解：按步骤求不等式（组）的解集（画数轴取公共部分） 5. 验：结合实际意义筛选解集：人数/个数/件数→非负整数；长度/质量/时间→正数；还要注意题设上界 6. 答：写完整答句（带单位、带结论） 【知识点2 不等关键词与符号的“对照表”】 1. 大于/小于：＞/＜ 2. 大于或等于/不少于/不低于/至少：≥，“至少”＝最小值，方向朝右：x≥ 3. 小于或等于/不多于/不超过/至多：≤，“至多”＝最大值，方向朝左：x≤ 4. 超过：＞，不含等 5. 不足/不到：＜，不含等 6. 正负隐含：“有x元可花”，总花费≤x（钱不能透支），不是＝，是≤ 7. 正负隐含：“需要x人完成”，工作量≥任务量（必须够）不是＝，是≥ 【知识点3 两类结构：单不等式型与不等式组型】 1. 单不等式就能搞定（只有一个方向受限），典型句式： (1) “……的费用不超过预算”→总费用≤预算 (2) “……的产量不低于指标”→总产量≥指标 (3) “至少要/最多可……”→解出边界后取最小整数/最大整数 2. 必须上不等式组（同时受两个（或以上）限制），最典型的配套句式，双重夹逼： (1) “某量不少于a，且不超过b”⇒⇒ (2) 资源分配题里常见的： 1 限制①：总花费≤预算 2 某种资源/人数/数量≥最低需求 3 x为整数、0≤x≤总量（如总共就那么多辆车/人） 【知识点4 高频应用题型】 1. 预算/购物/费用上限问题 (1) 结构：单价×数量+…≤总预算，求最多买几件/至少需多少钱。 (2) 用不超过M元买A（单价a）和B（单价b），共买n件，设买A为x件，，且，x为整数 (3) 至少要买m件A，问最多还能买几件B，⇒解x取整 (4) 易错：“不超过”写成＜；设了两个未知数却只列了一个不等式但没用总量关系消元。 2. 积分/得分/竞赛问题 (1) 结构：答对得正分，答错/不答扣（或不得）分，总分达到某门槛，求至少答对几题。 (2) 设答对x道，则答错或不答（n－x）道 (3) 总分＝对题得分－错题扣分（或＋基础分）≥目标分 (4) 解出x≥某小数→向上取整（因为题数必须是整数） 3. 分配问题 (1) 有A、B两种车型共m辆，需运至少W吨货，甲车载重a、乙车载重b，且甲类最多可用p辆…… (2) 设甲类x辆，则乙类（m－x）辆，列： (3) 解范围→枚举所有整数x→列出几种可行方案 4. 方案设计/最优选择问题 (1) 先用不等式组把可行方案筛出来（得到x的整数取值范围，枚举方案） (2) 再按某个目标（总租金/总运费/总成本）对比各方案，选最小/最大 5. 简单行程/工程中的不等关系 (1) 行程：，给定路程固定，时间“至少/至多”⇒速度范围的不等式 (2) 工程：剩下的工作量要在k天内完成⇒每天至少干多少 题型01 根据实际问题列不等式（组） 1．（2026·安徽宣城·二模）野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川南充·三模）某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中球得5分（称“五分球”），在较近位置投中球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小敏同学共投篮次，其中次未投中，最终得分不低于70分．若设小敏同学投中了个五分球，则可列出的不等式为________． 题型02 用一元一次不等式解决几何问题 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿运动，到达C停止．设点P运动的时间为，的面积为，规定线段是特殊的三角形． (1)当__________时，点P运动到点B； (2)当点P在上运动，且点P在点D左侧时，的长度为__________（用含t的代数式表示） (3)在点P运动过程中，请用含t的代数式表示S； (4)当时，请直接写出t的取值范围． 题型03 不等式组的行程问题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 题型04 不等式组的工程问题 1．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 题型05 不等式组的经济问题 1．（2026·广西南宁·二模）平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部湾港的货物吞吐量稳步增长．某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，已知甲型货船的单次运量为10吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元．受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次． (1)设甲型货船的出航次数为次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？ 2．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 题型06 不等式组的分配问题 1．（2026·陕西西安·模拟预测）为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 2．（2026·湖南·模拟预测）年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 题型07 不等式组的方案选择问题 1．（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）电影《给阿嬷的情书》以侨批家书为线索，诉说着跨越山海的深情牵挂．为传承侨乡文化，某校文创小组定制影片主题侨批家书、纪念书签两种文创产品，开展爱心义卖活动，相关信息如下：定制2份侨批家书、3份纪念书签，共需成本48元；定制3份侨批家书、1份纪念书签，共需成本44元．义卖时，每份侨批家书售价20元，每份纪念书签售价12元． (1)求每份侨批家书、每份纪念书签的成本价分别是多少元？ (2)文创小组计划购进两种文创产品共50份，其中侨批家书数量的两倍超过了纪念书签的数量，且投入的总成本不超过476元．请问共有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出全部售出后哪一种方案可获得最大利润，最大利润是多少元？ 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． (1)一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ (2)W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为每年60万人次和每年100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且每年总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 题型08 不等式组的阶梯收费问题 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 2．（23-24七年级下·河南南阳·期中）为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 2档 … … … (1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量； (2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值． 1．（2026·浙江温州·二模）小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川达州·期中）渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）现用载重分别为5吨和8吨的货车运货，总货物共47吨，两种货车均不少于1辆，要一次性运完，则安排方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）2026年3月23日是第66个“世界气象日”，某校组织600名师生前往城市气象科技馆开展“测今日气象，护明日家园”主题实践活动，计划租用30座和45座两种客车（两种客车都要租），要求每名师生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（     ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 5．（2026·陕西西安·三模）一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙两人的体重分别为和，货物每箱质量为，若两人一起乘梯搬货物，则一次最多搬运________箱货物． 6．（24-25七年级下·重庆·期末）学校计划购买办公椅和会议桌共件，以改善教师办公环境．计划中，办公椅每把元，会议桌每张元，总预算元．实际采购时，商家给予优惠：办公椅打九折，会议桌降价出售且降价幅度不超过原价的．最终，办公椅的购买量增加，会议桌数量不变，实际支出比计划多元．则学校实际购买了办公椅___________把． 7．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）丽丽比爷爷小50岁．2年前，爷爷的年龄比丽丽的年龄的15倍还小；2年后，爷爷的年龄比丽丽的年龄的7倍还大．今年丽丽的年龄是________岁． 8．（25-26七年级下·广西桂林·期中）当下“即时零售、线上线下同价促销”已成为消费热潮．某品牌日用品线下门店与线上平台推出不同优惠方案，某家庭计划采购该品牌日用品，原价总计为元（）． 线下方案：全场8折，另收配送费10元． 线上方案：每满100元减25元，不满100元的部分不优惠，免配送费． 问题： (1)当原价总计为120元时，选择哪种方案更省钱？省了多少元？ (2)当原价总计超过100元且小于200元时，求满足什么条件，线下方案比线上方案更省钱？ (3)若该家庭预算不超过300元，且选择线上方案，求原价的最大值． 9．（2026·山东东营·二模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录，小亮周六进行了两组运动，第一组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示消耗热量千卡：第二组安排个深蹲，个开合跳，健身软件显示第二组运动消耗热量千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量，每个深蹲用时秒，每个开合跳用时秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 10．（2026·四川成都·一模）今年春节某商家购进A，B两种不同造型的哪吒玩偶．已知购进5个A种玩偶和4个B种玩偶共需152元；购进3个A种玩偶和2个B种玩偶共需84元． (1)求A，B两种玩偶的进价； (2)由于销售情况较好，商家决定再购进A，B两种玩偶共20个，设总费用为W，若总费用低于340元但不少于329元，那么当A，B两种玩偶分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用． 1．（25-26七年级下·北京·期中）对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 2．（2026·安徽合肥·二模）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，小华和小明同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等． ①如图1所示，每个圆圈上的三个数字之和为_____． ②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：，，，请根据以下的对话内容，则的值为______． 小彬：由填数规则得；所以 小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为，则的值可以用含的式子表示． 小彬：对！根据你的发现，可以求出的值． 3．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某超市推出甲、乙、丙三种糖果礼盒，每种礼盒均装有A、B、C三种糖果．其中，甲礼盒装有4个A糖果，4个B糖果，9个C糖果；乙礼盒装有7个A糖果，7个B糖果，5个C糖果；丙礼盒装有若干个A糖果，6个B糖果，4个C糖果，且每种礼盒的售价等于其所装糖果的售价之和．每个甲礼盒的售价为86元，每个乙礼盒的售价不低于80元，不高于95元，每个丙礼盒的售价为88元．已知每种糖果的售价均为整数，且每个A糖果的售价高于3元，不超过8元，求每个丙礼盒中A糖果的个数． / 学科网（北京）股份有限公司 $