Hello, 各位同学，我是高中数学汤圆老师。这节视频课我们要讲的仍然是导数当中最基础的一个部分，叫做导数的计算。讲到计算，其实我们只要掌握三个方面。第一个就是叫做求导公式。那么这里的求导公式是必须要掌握的。你说不掌握那肯定是不行的，知道吗？那么这个求导公式包括哪些呢？它其实所包含的就是基本初等函数当中的求导公式。首先大家请看第一个就是常数的导数，它一定是等于零的那第二个就是幂函数的导数X的阿尔法次方，它的导数就是阿尔法，再乘上X的阿尔法减1次方。那么我们再来看第三个，第三个就是指数函数A的X次方，它的导数好，这个容易遗忘。所以大家一定要着重记，它就是A的X次方，再乘上ln a第四个就是比较特殊的E的X次方的导数仍然是它自身就是E的X次方。好，那么第五个就是对数函数log以A为底的X它的导数就应该是一再除以X乘上ln a这个也比较容易遗忘，大家也要着重掌握一下。那么第六个它就是什么呢？它就是比较特殊的ln x它的导数其实就是X分之一。好，所以在这里大家请看就是X分之一。那么第七个，大家请看第七个就是涉及到3角函数sine x它的导数就应该是cosine x而cosine x的导数的则是负sine x所以对于这八个来说，你毋庸置疑，必须要牢记于心才可以，这是基本功。好，第二个方面我们要掌握的叫做求导法则。求导法则一共是四个加减，其实可以算为一类。比方说在这里大家请看，如果说我们遇到FX加减GX那么对于这样一个函数，它的导数怎么去计算？我们只需要分别对FX和GX去进行求导就可以了。所以最终的结果就是F1撇X加减G1PX好，这是我们的第一个求导法则。第二个就是FX乘上GX那么对于它来说，它的导数就是前边求导乘上后边，然后再加上后边的导数乘上前边。所以我们总结起来就是一句话，叫做前导后不导，加上后导前不导。第三个就是这个除法的导数。比方说在这里如果说遇到FX除以GX，那么对于它来说，它的导数就是上边对于分子来说叫做前导后不导，减去下导上不导，那就减去FX乘上G1撇X然后最后再乘除以这个分母的平方，所以底下就是GX整体的什么平方，这就是除法的导数。所以求导法则一共是这三个，那大家必须是要掌握的。最后还有一个叫做复合函数求导。那么有关于复合函数它的这样一个求导法则，在这里我们详细说一下。比方说对于Y等于FGX这样一个复合函数来说，首先我们在求导之前先要将其分解。也就是说我们要把它分解成内外两个函数。内函数我们假设叫做TT等于GX外函数就是FT那现在我们所需要做的就是对于内外两个函数分别求导，所以T1撇就等于G1撇X那这里FT的导数就是F1撇T所以最终这个Y它的导数Y一撇就等于G撇X再乘上F1撇T但是我们要把这里的T再还原成GX所以最终Y撇就等于G撇X再乘上什么F1撇，F1撇GX就可以了。好，各位同学看明白了吗？这个比较简单，我们快速过。接下来我们来看这样几个问题。首先第一个，他说已知函数FX等于ln x除以X然后F1PX等于多少？包括下边这个E的X次方除以X我跟大家说为什么我选这两道题？因为这两个函数是我们在做题目当中经常所遇见的，叫做同构函数。同构函数一共有几个？一共有八个，我们在后边的课程当中会给大家详细的去进行介绍。好，首先我们先看第一个题目，我们对它求导FEPX它既然是除法的导数，那就是上边求导乘上下边，上边求完导之后的结果就是X分之一乘上X减去下边的导数就是一再乘上ln x最后再除以X平方。所以求完导之后的结果就是一减去ln x底下再除以什么X的平方就可以了。好，那么我们求完导之后，我们会发现最终的答案选择谁啊？选择A选项，这个非常简单。第二个我们对它求导，FEPX上边求完导之后的结果，仍然是它自身就是E的X次方乘以下边X减去下边的导数，一再乘上E的X次方，最后再除以这个X的平方就可以了，这就是F1撇X的导数。最后他说F1撇X0等于4分之1平方，问X0等于多少，对吧？好，那在这里我们算一下，F1撇X0，它就是X0乘上E的X0次方，然后再减去E的X0次方，那底下再除以这个X0的平方。如果我们直接令它等于4分之1平方的话，其实这个方程大家猜都能猜出来，你指数位置得是2，那你这里X0只能取几？只能取2，所以这道题答案直接就是谁啊B选项结束。好，这个问题我们过我们来看下边的，下列求导运算正确的是，首先我们先来看第一个A选项，X3次方求导是3X平方没有问题，负X平方求导是-2X没有问题，但是常数的导数是0，对不对？所以第一个错误，第二个怎么办呢？我们可以首先把它化成幂函数的形式，因为大家请看根号X分之一，其实就是X的-2分之1次方。如果对这个整体去进行求导的话，那它就是2乘以。首先-2分之1拿下来，后边指数位置上再减掉一个一，那就是X的-2分之3次方，所以最终的结果就是负的X的-2分之3次方。接下来我们来看一下，现在它就变成了X的2分之3次方分之一，对不对？现在我们把这个X的2分之3次方给它去进行化简。来大家请看前面有一个负号不动，那这里其实就是根号下X的3次方，对不对？那根号下X3次方，我们可以拿出来X平方，所以最终的结果就是负的X乘上根号X分之一。所以这道题B选项是正确的，答案就选择D选项。那么我们再来看一下C选项和D选项。首先C选项的话是乘积的导数，前边求导之后仍然是它本身E的X次方，再乘上后边log以二为底的X再加上后边的导数，后边的导数这里就要注意了，log以二为底X的导数是多少，它其实应该是X乘上ln 2分之1，那明显C选项不对，对不对？最后还有一个sine 2x，sine 2X它是复合函数，内函数就是T等于2X外函数就是sine t那现在内函数的导数就是二外函数的导数就是cosine t两个相乘之后，最终导数就是两倍的cosine t我们再把T给它换成2X那最终它应该是两倍的cosine 2X就可以了。好，所以在这里D选项明显也不对，对不对？少了一个。好，我们再来看一下第二个，他说函数Y等于cosine 1加X平方的导数是多少？那你明显这里是一个复合函数，是不是？来我们把它分解一下，内函数就是T等于一加X平方，好外函数就是这个cosine t对吧？好，那现在我们先对外内函数求导，T1撇就等于一的导数就是零了。X平方的导数2X那cosine t的导数就是负的sine t所以两边我们直接给它乘起来，最终结果就是-2X再乘上sine t只不过这里的T我们要把它换成一加X平方才可以。好，所以依据这个结果，明显C选项是正确的，对不对？所以答案就选择C好，这些都是基本功，大家是必须要掌握的。我们再来看一下例三这个问题，这个题目为什么要放在这儿？因为他真的经常考，我真发现有些人遇到这个题目不会做，我们来研究一下，大家请看对于FX表达式来说，它是X平方加上两倍的F1撇一乘上ln x在这里有的人对于这个F1撇一不太能理解，其实F1撇一它就是一个常数，知道吗？但是我们要把这个常数给它算出来，怎么算？我们直接对它去进行求导，F1撇X就等于2X再加上一个两倍的F1撇一，底下再除以这个X那为了要去计算F1撇一，我们只需要令X等于一不就可以了吗？所以F1撇一就等于2，再加上一个两倍的F1撇一。所以大家请看这里，F1撇一等于多少？明显等于-2，是不是F1撇一等于-2，那F1撇一等于-2，这道题答案就是-2。那如果说他让你算F1怎么办？那明显你把F1撇一换成-2，FX表达式不就出来了，对不对？好，大家请看，你看下边这个题目也是一样的。我们对它求导，把这里的F1撇E给它算出来。首先F1撇X等于F1撇E就是常数。所以前边求完导之后，就是两倍的F1撇E然后再加上一个X分之一，现在怎么办？现在我们直接令X等于一。令X等于E之后，F1撇E就等于两倍的F1撇E再加上一个E分之一。所以这里F1撇E它就等于负的E分之一。F1撇一等于负的E分之一之后，FX表达式不就有了吗？负的E分之2X再加上一个ln x所以最终FE等于多少？FE就等于负二再加一，所以最终的结果就是负一，各位同学看懂了吧？好，这是例3。最后我们来讲一个稍微难一点的，因为有一些高考模拟题，确实考过这类似的问题。那么大家请看FX非常复杂，X减2019乘上X减2020，再乘上X减2021，一直乘到X减2022。问我们F1撇2021是多少？这道题怎么办？我们主要是观察每个因式的零点，这个零点是2019，这个零点是2020，这个是2021，这个是2022。你如果直接去求导算，那算死你了，对不对？这个表达式太复杂了。那后边大家请看括号内的数是2021，所以我们选择什么呢？这里的2021单独看成一个函数，比方说在这里FX它就相当于首先X减2021，我们把它放在前边，后边还有一个X减2019，乘上X减去2020以及X减去2022，对吧？我们把它看成两个之后，前边是一个函数，后边是一个函数。那么我们就可以使用什么求导当中乘法的这样一个法则。F1撇X前面求完导之后就是一一再乘上谁啊？再乘上后边，那是不是就是X减2019乘上X减2020，再乘上X减去2022，对不对？然后再加上后边的导数，那有人说后边倒数算不出来，你有没有必要算呢？他没有必要算，我都不想写了。你比方说把后边这个东西我给他直接搬过来，我就算它的导数，你有没有必要算？没有为什么？因为在这里你要算的是F1撇2021，它有没有让你算导函数表达式是多少？如果说我们把2021带进去的话，大家请看这个部分不就是零了吗？所以在这里F1撇2021，只要看前边带进去，这里是多少，这里就是2，这里这里就是一，这里这里是不是就是负一对吧？所以最终结果负二结束。各位同学看明白了吗？这种题目在历年的高考模拟题当中确实出现过，它其实可以归类成一种题型。好，那么本节课所有内容到此就结束了，相对来说还是比较简单的。感谢各位同学的观看。最后再说一下我们后续给大家带来更加精彩的课程。