专题02分式的计算七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 以七类分式计算题型为载体，系统整合基础运算与技巧方法，通过典例变式构建“运算规则-方法迁移-综合应用”的逻辑体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式乘除|1典例+3变式|约分化简法则|从分式基本性质到乘除运算| |同分母加减|1典例+2变式|分母不变分子相加减|直接应用分式加减法则| |异分母加减|1典例+3变式|通分转化同分母|分数运算到分式运算的迁移| |倒数法|1典例+3变式|取倒数求代数式值|已知分式与倒数关系的转化| |整体法|1典例+3变式|整体代入/设元|条件等式与目标分式的关联| |参数法|1典例+2变式|引入参数k表示变量|连等式条件下的分式化简| |裂项法|1典例+3变式|分式裂项消元规律|数列求和中分式的拆分应用|

专题02 分式的计算七类题型 典例详解 类型一、分式的乘除 类型二、同分母的分式加减计算 类型三、异分母分式的加减 类型四、利用倒数法对分式化简求值 类型五、整体法对分式化简求值 类型六、参数法对分式化简求值 类型七、裂项法对分式化简求值 压轴专练 类型一、分式的乘除 【典例1】（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2) 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【变式1-3】（2026·湖北襄阳·一模）计算的结果是___． 类型二、同分母的分式加减计算 【典例2】（2026·河南商丘·一模）计算 的结果等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·山东济南·期中）计算： (1)； (2)； 【变式2-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 类型三、异分母分式的加减 【典例3】（2026年天津市和平区中考第三次阶段测试数学试卷）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·甘肃武威·三模）化简： 【变式3-2】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）计算： (1)； (2)． 【变式3-3】（2026·山东聊城·模拟预测）化简 ： (1)； (2)先化简，再求值：，其中 类型四、利用倒数法对分式化简求值 【典例4】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【变式4-1】（22-23八年级上·山东威海·期中）阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． (1)上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：，求的值． (2)已知，，，求的值． 【变式4-2】（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，∴，即 ∴，∴ 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知， (1)求的值； (2)求的值． 【变式4-3】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， (1)已知，求的值； (2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； (3)问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 类型五、整体法对分式化简求值 【典例5】（23-24九年级下·全国·二轮复习）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 【变式5-1】（2026·安徽阜阳·二模）已知，，则的值为________． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）小明与小亮发现，已知复杂分式的值求另一个复杂分式的值，通常需要去分母变形为整式关系，然后整体代入后化简求解． 如已知，求的值． 小明的做法是： ， ， ． 小亮的做法是： ， ， ． 学习他们的方法求解： (1)已知，且，求的值； (2)已知，，求m的值． 【变式5-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题： ×年×月×日，星期日 整体代入法求分式的值 今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法： 方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy， ∴原式＝ 方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得， 原式＝ (1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 　 　． (2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． (3)若（a，b都不为0），请直接写出的值． 类型六、参数法对分式化简求值 【典例6】（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）阅读材料： 已知0，求的值． 解：设，则，，．（第一步） ∴．（第二步） (1)回答下列问题： 第一步运用了 的基本性质；由得到利用了 的基本性质． (2)模仿材料解题： ①已知，求的值． ②已知，求 【变式6-1】（22-23八年级上·全国·单元测试）阅读理解 【提出问题】已知，求分式的值； 【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数，得出，，与的关系，然后再代入待求的分式化简即可； (1)【解决问题】设，则，，，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为________； (2)【拓展应用】已知，求分式的值． 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 类型七、裂项法对分式化简求值 【典例7】（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）观察下面的变形规律：； ；；…解答下面的问题： (1)若为正整数，请你猜想 ； (2)证明你猜想的结论； (3)求和：． 【变式7-1】（20-21七年级上·江西新余·期中）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： ． 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． (1)猜想并写出：＝______． (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 【变式7-2】（23-24八年级上·北京昌平·期中）对于“分子为1，分母可以写作两个正因数乘积的分数”，可以进行“裂项”转化， 例如：； 参考上面的方法，解决下列问题： (1)；； (2)若将裂项变形，则___________； (3)应用上述变形，化简：． 【变式7-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ； ； ； … (1)你归纳出的一般结论是_________________（用含的式子表示）． (2)利用上述结论计算： ． 1.（25-26八年级上·山东淄博·期末）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即 的值为的倒数，即 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，则的值为________． 2.（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知实数x满足，则的值为____；已知，则_____． 3.（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）已知，则________． 4.（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 5.（24-25八年级下·全国·暑假作业）计算求值 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 6.（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴，即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 7.（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）已知，求分式的值； （2）已知，求的值． 8.（2023·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)写出第个等式______，并证明你的结论； (2)运用（1）中的结论计算． 9.（23-24八年级上·山东聊城·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）已知，求值． 10.（19-20八年级上·湖北·阶段检测）观察下列式子，探索它们的规律并解决问题 … （1）用正整数表示这个规律：=_________, 试着推论：=______,=_______ _________, （2）用（1）中的结论计算： （3）用（1）中的结论解下列方程： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式的计算七类题型 典例详解 类型一、分式的乘除 类型二、同分母的分式加减计算 类型三、异分母分式的加减 类型四、利用倒数法对分式化简求值 类型五、整体法对分式化简求值 类型六、参数法对分式化简求值 类型七、裂项法对分式化简求值 压轴专练 类型一、分式的乘除 【典例1】（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：． 【变式1-3】（2026·湖北襄阳·一模）计算的结果是___． 【答案】 【分析】先把分子分母因式分解，然后约分即可求解． 【详解】解：原式． 类型二、同分母的分式加减计算 【典例2】（2026·河南商丘·一模）计算 的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形统一分母，将异分母分式化为同分母分式，再合并分子，利用平方差公式分解因式后，约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2-1】（25-26八年级下·山东济南·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）利用同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）先化为同分母，再计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式2-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 类型三、异分母分式的加减 【典例3】（2026年天津市和平区中考第三次阶段测试数学试卷）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 【变式3-1】（2026·甘肃武威·三模）化简： 【答案】 【详解】解：原式 【变式3-2】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异分母分式的加减法法则计算即可． （2）根据分式的混合运算法则化简原式即可． 【详解】（1）解：（1）原式      ； （2）解：原式 ． 【变式3-3】（2026·山东聊城·模拟预测）化简 ： (1)； (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据分式的减法进行计算即可求解． （2）先根据分式的加减计算括号内的，再将除法转化为乘法，然后根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】（1）解：原式    ． （2）原式  ，  当时，原式． 类型四、利用倒数法对分式化简求值 【典例4】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可； （2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】（22-23八年级上·山东威海·期中）阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． (1)上题得解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：，求的值． (2)已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查运用“倒数法”求分式的值以及分式的混合运算， （1）根据材料提示的“倒数法”将变形为，由此即可求解； （2）将，，利用“倒数法”变形为，，，将利用“倒数法”变形为，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵的倒数为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，∴，即 ∴，∴ 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）对已知等式取倒数，变形得到的值； （2）对所求分式取倒数，利用完全平方公式转化为含的形式，代入求值后再取倒数得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 【变式4-3】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， (1)已知，求的值； (2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； (3)问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）根据已知等式得出，，求出，将此式分别与前面三式相减，可求得：，，，再求出结果即可． 【详解】（1）由，知，，即． ，． （2）由，得，即，． ， ． （3）由，得，即：． 由，得：；由，得：． 以上三式相加，得， ． 将此式分别与前面三式相减，可求得：，，， 类型五、整体法对分式化简求值 【典例5】（23-24九年级下·全国·二轮复习）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式的加法法则把原式进行化简，再把，代入进行计算即可； （2）把代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ，， ． （2）解： ， =1． 【变式5-1】（2026·安徽阜阳·二模）已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据，然后整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）小明与小亮发现，已知复杂分式的值求另一个复杂分式的值，通常需要去分母变形为整式关系，然后整体代入后化简求解． 如已知，求的值． 小明的做法是： ， ， ． 小亮的做法是： ， ， ． 学习他们的方法求解： (1)已知，且，求的值； (2)已知，，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式方程的解法，掌握整体代入法是解本题的关键； （1）由条件得到，再整体代入计算即可； （2）由条件得到，再整体代入可得，再解分式方程即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：把去分母变形得， ， ， 整体代入可化为， 即， ， 解分式方程得：． 经检验，是方程的解． 【变式5-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题： ×年×月×日，星期日 整体代入法求分式的值 今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法： 方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy， ∴原式＝ 方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得， 原式＝ (1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 　 　． (2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． (3)若（a，b都不为0），请直接写出的值． 【答案】(1)分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据分式的基本性质求解； （2）将分式的分子、分母同时除以得原式，然后利用整体代入的方法计算； （3）把代入分式中化简即可． 【详解】（1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）∵， ∴原式＝ ＝ ＝， ∵ ， ∴ ， ∴原式= ； （3）∵， ∴， ∴ =1． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：灵活运用分式的基本性质是解决问题的关键．也考查了整体代入的方法． 类型六、参数法对分式化简求值 【典例6】（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）阅读材料： 已知0，求的值． 解：设，则，，．（第一步） ∴．（第二步） (1)回答下列问题： 第一步运用了 的基本性质；由得到利用了 的基本性质． (2)模仿材料解题： ①已知，求的值． ②已知，求 【答案】(1)等式；分式； (2)①；② 【分析】本题考查了等式的基本性质，比例的性质，以及分式的化简求解，解决本题的关键是熟练掌握等式与分式的性质． （1）根据等式的基本性质，即等式两边同乘一个数（或除以同一个不为零的数），等式依然成立；再结合分式的基本性质，即分式的分子和分母同时除以同一个不为零的整式，分式不变，由此求解即可． （2）①设，，，结合分式的基本性质求解即可． ②先通分，再根据，设，，代入求解即可． 【详解】（1）解：第一步运用了等式的基本性质， 由得到利用了分式的基本性质， 故答案为：等式；分式； （2）解：①∵， ∴设，，， ∴． ②， ∵， ∴设，， ∴原式． 【变式6-1】（22-23八年级上·全国·单元测试）阅读理解 【提出问题】已知，求分式的值； 【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数，得出，，与的关系，然后再代入待求的分式化简即可； (1)【解决问题】设，则，，，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为________； (2)【拓展应用】已知，求分式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）用k表示出，，，再代入分式进行化简即可； （2）设，用含m的式子表示出，，，再代入分式进行化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：； （2）设， 则，，， ∴ 【点睛】本题主要分式的化简求值以及乘法公式在代数式求值中的综合运用，熟练掌握相关公式是解题关键． 【变式6-2】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）令，得到，，，然后代入代数式化简即可； （2）令，得到，，，然后分和两种情况分别化简计算． 【详解】（1）解：令，则，，， ； （2）解：令，则，，， ， ， 若，则有，解得， ，，， ； 若，则有，，， ； 的值为或． 类型七、裂项法对分式化简求值 【典例7】（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）观察下面的变形规律：； ；；…解答下面的问题： (1)若为正整数，请你猜想 ； (2)证明你猜想的结论； (3)求和：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算法则，解题的关键是仔细观察，得到规律，然后利用规律求解． （）观察规律可得：； （）根据分式加减法的运算法则求解即可证得结论的正确性； （）利用类似的规律方法，首先原式可化为：，继而可求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，； （3）解： ． 【变式7-1】（20-21七年级上·江西新余·期中）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： ． 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． (1)猜想并写出：＝______． (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用分式的减法法则计算即可． （2）根据（1）的特点,裂项后求和，注意其中的规律，清楚被销项和保留项，计算即可． （3）把分母的各数中各提取2，转化成（2）式问题计算即可． 【详解】（1）∵=， 故答案为：． （2） = = =． （3） = = = = =． 【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，正确找到规律，灵活运用规律是解题的关键． 【变式7-2】（23-24八年级上·北京昌平·期中）对于“分子为1，分母可以写作两个正因数乘积的分数”，可以进行“裂项”转化， 例如：； 参考上面的方法，解决下列问题： (1)；； (2)若将裂项变形，则___________； (3)应用上述变形，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由即可确定所填数； （2）根据即可完成“裂项”转化； （3）把每一个分式进行“裂项”，再相加即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了分式的运算及有理数的运算，理解题中“裂项”变形是解题的关键． 【变式7-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ； ； ； … (1)你归纳出的一般结论是_________________（用含的式子表示）． (2)利用上述结论计算： ． 【答案】(1)（为正整数） (2) 【分析】本题考查了分式的拆分与化简，掌握根据规律把分式拆成两个分式的差，通过中间项抵消简化计算是解题的关键． （1）观察式子的分子分母结构，归纳出分式拆分的一般规律，用含的式子表示； （2）利用（1）归纳出的拆分规律，把每一项拆成两个分式的差，让中间的分式相互抵消来简化计算． 【详解】（1）解：（为正整数）． （2）解：原式 ． 1.（25-26八年级上·山东淄博·期末）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即 的值为的倒数，即 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法、倒数，理解例题的思路是解题的关键；已知等式取倒数，求出 的值，再求待求式子的倒数，利用完全平方公式变形求解． 【详解】解：由 ，， ∴ ， 即 ， ∴， ∴ ， ∴待求式 的倒数为 ， 故 ． 故答案为：． 2.（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知实数x满足，则的值为____；已知，则_____． 【答案】 /0.75 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．，进行计算即可． 【详解】解：， 令， ， 故． 故答案为：；． 3.（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【分析】先由已知得到，再将原式变形为，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴． 4.（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 【答案】实践探索：；问题解决：6 【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可． 【详解】实践探索：解：由，知， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． 5.（24-25八年级下·全国·暑假作业）计算求值 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查分式的化简求值．熟练掌握设参数法，找出三个变量间的关系，是解题的关键． （1）设，则，，．代入原式即得． （2）设，则，，．得．．得或．由，得，得或．即得原式或． 【详解】（1）解：设， 则，，． 原式． （2）解：设， 则，，． ． ， 即． 或． 由， 得， 或． 原式， 原式或． 6.（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴，即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的化简求值，参数法和倒数法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设（），则 ，，，然后代入即可求解； （）利用倒数法将分式方程变形，再通过完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：设（），则，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7.（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）已知，求分式的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练运用完全平方公式和平方差公式，进行因式分解是解题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式，将分式化简，再将已知式子代入求值，即可解答； （2）利用平方差公式和完全平方公式，将分式化简，再将已知式子代入求值，即可解答． 【详解】解：（1） 当时，原式； （2） ， 当时，原式． 8.（2023·安徽滁州·一模）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)写出第个等式______，并证明你的结论； (2)运用（1）中的结论计算． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题中的规律，用式子表示出即可，然后利用分式的混合运算即可证明； （2）将每一项按照（1）中的规律展开，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③； ④； … ∴第个等式为， 理由：左边 ， 右边， ∴左边=右边， ∴； （2）解： ． 【点睛】本题考查了整式类规律的探索问题，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，正确找出题中式子的规律． 9.（23-24八年级上·山东聊城·阶段检测）（1）已知，求的值； （2）已知，求值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据等式的性质、完全平方公式把已知等式变形，再根据分式的加法法则把所求的式子变形，代入计算即可； （2）利用参数思想计算即可． 【详解】解：（1） ， ， ， ， ， ； （2）设， 则，，， ，， 则． 10.（19-20八年级上·湖北·阶段检测）观察下列式子，探索它们的规律并解决问题 … （1）用正整数表示这个规律：=_________, 试着推论：=______,=_______ _________, （2）用（1）中的结论计算： （3）用（1）中的结论解下列方程： 【答案】（1）; ;;; (2) ;(3)4038 【分析】（1）由已知等式知连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差，据此可得； （2）利用所得规律化简原分式方程，解之可得． 【详解】解：（1）= = = = （2） === = = = （3） 利用（1）的结论，原方程变形为： 解方程，得：x=4038 检验：当x=4038时，2x(x+2019)≠0 ∴x=4038是原分式方程的解. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $