专题01分式的概念与求值六类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 聚焦分式概念与求值，构建“概念辨析-运算技巧-求值策略”三阶方法体系，通过六类典例实现从基础到综合的逻辑递进，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式有无意义的条件|1典例+4变式|表格信息分析法|从分式定义出发，通过变量取值判断分母为零或分子为零的条件| |分式规律探究|1典例+3变式|归纳推理法|基于数式特征抽象规律，培养数学眼光与推理意识| |分式约分|1典例+4变式|因式分解法|衔接整式运算，通过分解因式实现分式化简| |先化简求值|1典例+2变式|化简代入法|遵循“先化简再代入”原则，强化运算规范性| |设参数代入求值|1典例+2变式|参数k法|通过比值设参转化多元问题，提升代数变形能力| |变形整体代入|1典例+2变式|条件转化法|将已知条件变形为目标式所需形式，渗透整体思想|

专题01 分式的概念与求值六类题型 典例详解 类型一、分式有无意义的条件 类型二、分式的规律探究 类型三、分式的约分 类型四、分式的先化简求值 类型五、分式的设参数代入求值 类型六、分式先变形再整体代入求值 压轴专练 类型一、分式有无意义的条件 【典例1】（2026·河南三门峡·二模）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * 无意义 0 … A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·周测）已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【变式1-4】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义．求的值． 类型二、分式的规律探究 【典例2】（2026·广东汕头·一模）观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·山东济南·期中）在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【变式2-2】（25-26八年级下·四川内江·阶段检测）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【变式2-3】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）观察下列等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式…… 按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：______＝______（n为正整数）． 类型三、分式的约分 【典例3】（2026·山西晋城·一模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（25-26八年级上·江西赣州·期末）约分：__________． 类型四、分式的先化简求值 【典例4】（2026·广东广州·二模）若，则________． 【变式4-1】（22-23九年级上·山东青岛·期末）若，则的值为________． 【变式4-2】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）已知，求分式的值． 类型五、分式的设参数代入求值 【典例5】（20-21九年级上·陕西西安·期末）若，则的值为__________． 【变式5-1】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 【变式5-2】（21-22八年级下·山东济南·期中）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k①； 所以②． (1)上述解题过程中，第①步运用了 的基本性质；第②步中，由求得结果运用了 的基本性质； (2)参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 类型六、分式先变形再整体代入求值 【典例6】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知，则= ____． 【变式6-1】（2026·河南洛阳·三模）已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级下·全国·开学考试）已知，求代数式的值． 1.（25-26八年级上·江西·期末）已知，则的值________； 2.（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为______． 3.（2026·重庆綦江·二模）若实数a，b同时满足，，则的值为__________． 4.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，其中、是常数，且当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求当时，分式的值． 5.（2026·北京密云·二模）已知：，求代数式的值． 6.（25-26九年级下·北京昌平·阶段检测）已知，求分式的值． 7.（23-24八年级上·广东珠海·阶段检测）已知数x，y满足，求的值． 8.（2026·北京平谷·二模）已知，求代数式的值． 9.（2026·北京密云·一模）已知，求代数式的值． 10.（25-26八年级下·福建漳州·期中）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下； 【探索规律】 当时，； 当时，； 当时，； … (1)写出时的拆分结果； (2)【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； (3)【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式的概念与求值六类题型 典例详解 类型一、分式有无意义的条件 类型二、分式的规律探究 类型三、分式的约分 类型四、分式的先化简求值 类型五、分式的设参数代入求值 类型六、分式先变形再整体代入求值 压轴专练 类型一、分式有无意义的条件 【典例1】（2026·河南三门峡·二模）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * 无意义 0 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式无意义的条件为分母为0，分式值为0的条件为分子为0且分母不为0，结合表格信息提取条件，逐一判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得三个条件： ①当时，y无意义，即时分母为0； ②当时，y无意义，即时分母为0； ③当时，，即时分子为0且分母不为0． A选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，排除A． B选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件②，排除B． C选项：， 时，分母，无意义，符合条件①； 时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，C符合题意． D选项：， 时，分子，，不符合条件③，排除D． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格信息，得到时分式无意义，时分式值为0，结合选项即可判断． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∵分式无意义的条件是分母为0， ∴当时，分式的分母为0，因此分母含有因式，排除选项C和D； 又∵当时，， ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0， ∴当时，分子为0，分母不为0，因此分子含有因式，符合条件的是． 【变式1-2】（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 【变式1-3】（25-26八年级下·全国·周测）已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【答案】0 【分析】本题考查的是分式值为零的条件、分式有意义的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，由此可求出、，代入即可求出的值． 【详解】解：当 时，分式无意义，则分母 ，即 ，解得 ； 当 时，分式值为零，则分子 ，即 ，解得 ； 因此 ． 故答案为：． 【变式1-4】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，当时，分式的值为0；当时，分式没有意义．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式值为0和分式无意义的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，分式无意义的条件是分母为是解题的关键． 根据分式值为的条件求出的值和的限制，再根据分式无意义的条件求出的值，最后代入计算． 【详解】解：当时，分式的值为， 且，解得，． 当时，分式没有意义， ，解得， ． 类型二、分式的规律探究 【典例2】（2026·广东汕头·一模）观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别观察数列分子、分母和对应序号的关系，总结出第n个数的规律，代入计算即可得到结果. 【详解】解：序号为1时，分子，分母； 序号为2时，分子，分母； 序号为3时，分子，分母； 序号为4时，分子，分母； ∴ 可得规律：第个数为， 将代入公式，得， 因此第8个数为. 【变式2-1】（25-26八年级下·山东济南·期中）在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 【变式2-2】（25-26八年级下·四川内江·阶段检测）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】根据题中数据，发现规律，再由裂项相消的方法求和后解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，的规律是， 则， ， ， 解得． 【变式2-3】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）观察下列等式：第1个等式；第2个等式；第3个等式：；第4个等式…… 按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：______＝______（n为正整数）． 【答案】 【分析】观察已知等式中分母的奇数规律与分式拆分形式，推导第个等式的表达式 【详解】解：第1个等式的分母为，拆分形式为； 第2个等式的分母为，拆分形式为； 第3个等式的分母为，拆分形式为； 以此类推，第个等式的分母为，拆分后为，即（为正整数）． 类型三、分式的约分 【典例3】（2026·山西晋城·一模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对分子分母分别因式分解，再约去公因式得到结果． 【详解】解： ． 【变式3-1】（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果． 【详解】解：∵， ∴括号中应填． 【变式3-2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的约分，正确约分是解题的关键．依据分式约分法则，即分子分母同时除以公因式，多项式先因式分解再判断，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：∵选项A中，分子无法分解出因式，不能将分子的与分母的约分，∴A错误； ∵选项B中，，并非，∴B错误； ∵选项C中，分母，分子与分母的公因式为（），∴，C正确； ∵选项D中，分子与分母没有公因式，不能约分，∴D错误． 故选：C． 【变式3-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．根据分式的基本性质，逐一验证即可． 【详解】解： 选项A，因为，所以选项 A正确，符合题意； 选项B，因为，所以选项B错误，不符合题意； 选项C，因为，所以选项C错误，不符合题意； 选项D，因为，所以选项D错误，不符合题意． 故选：A． 【变式3-4】（25-26八年级上·江西赣州·期末）约分：__________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，关键是找到分子、分母的公因式；先对分子和分母因式分解，最后约去公因式． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 类型四、分式的先化简求值 【典例4】（2026·广东广州·二模）若，则________． 【答案】 【分析】根据已知等式，用含的代数式表示，再代入所求分式计算结果． 【详解】解：， ， ∴ ． 【变式4-1】（22-23九年级上·山东青岛·期末）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，用一个字母表示另一个字母，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据可得，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式． 类型五、分式的设参数代入求值 【典例5】（20-21九年级上·陕西西安·期末）若，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，且a，b，c不全为0，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题采用设参数法，将a，b，c用含同一参数的代数式表示，即设，将，，代入所求分式约分后即可得到结果． 【详解】解：设，根据等式的基本性质，可得，，， 将，，代入分式得． 【变式5-2】（21-22八年级下·山东济南·期中）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设， 则a＝3k，b＝4k，c＝5k①； 所以②． (1)上述解题过程中，第①步运用了 的基本性质；第②步中，由求得结果运用了 的基本性质； (2)参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 【答案】(1)等式，分式 (2) 【分析】（1）根据等式的基本性质分式的基本性质即可判断； （2）按照阅读材料中的设k法即可解答． 【详解】（1）解：上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质， 第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质的基本性质． 故答案为：等式，分式； （2）解：设， 则，，， ∴ ， ∴分式的值为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质和代数式求值，熟练掌握阅读材料中的设k法是解题的关键． 类型六、分式先变形再整体代入求值 【典例6】（24-25八年级下·四川遂宁·期中）已知，则= ____． 【答案】 【分析】将原式取倒数，再将分子进行变形求值即可． 【详解】解：对取倒数可得， ， ∴． 【变式6-1】（2026·河南洛阳·三模）已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为，对所求代数式进行化简，再利用已知条件整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ∴ ． 【变式6-2】（25-26九年级下·全国·开学考试）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据已知求出，再将所求代数式整理为，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 1.（25-26八年级上·江西·期末）已知，则的值________； 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此 ． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 2.（2025·山东济宁·二模）已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，分式的值，熟练掌握分式的约分是解题的关键．先得出，再将代入，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入， 得：， 故答案为：． 3.（2026·重庆綦江·二模）若实数a，b同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先通过加减消元法求出和的值，再将分式通分，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ； ， ， ； ∵， 将、代入： ． 4.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知分式，其中、是常数，且当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求当时，分式的值． 【答案】当时，分式的值为． 【分析】本题主要考查了分式的求值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式的值为零的条件是分子为0且分母不为0，据此求出m、n的值，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：由题意，得，且， 解得． 当时，， 即当时，分式的值为． 5.（2026·北京密云·二模）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简和整体代入求值．将分式的分子、分母因式分解后约分，完成化简，由得，整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 6.（25-26九年级下·北京昌平·阶段检测）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，代入式子即可得到答案． 【详解】解：， ， 原式． 7.（23-24八年级上·广东珠海·阶段检测）已知数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，求分式的值，得到是解题的关键． 由去分母得到，代入即可求得答案． 【详解】解： x，y满足， ， ． 8.（2026·北京平谷·二模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【详解】解：          ∴原式． 9.（2026·北京密云·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到的值，再对所求分式进行化简约分，最后代入计算即可得到结果. 【详解】解：由得，， ∴ . 10.（25-26八年级下·福建漳州·期中）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下； 【探索规律】 当时，； 当时，； 当时，； … (1)写出时的拆分结果； (2)【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； (3)【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和． 【答案】(1) (2)猜想：（为正整数，且），证明见解析 (3)（为奇数，且），证明见解析 【分析】（1）通过观察已知的拆分结果，找出规律，进而写出时的拆分结果； （2）根据前面的规律猜想出的拆分结果，然后通过分式的运算进行证明； （3）先仿照前面的过程探索的拆分规律，再进行证明． 【详解】（1）解：∵当时，，其中，；当时，，其中，；当时，，其中，， ∴当时，，，即； （2）解：猜想：（为正整数，且）， 证明： ； （3）解：当时，，其中，； 当时，，其中，； 当时，，其中，； 猜想：（为奇数，且）， 证明： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $