专题05分式期末复习讲义 (23大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题05分式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解分式的概念，能区分整式与分式，掌握分式有意义、无意义、值为零的条件。 2.掌握分式的基本性质，熟练运用性质进行分式变形、约分与通分。 3.熟记分式乘除、加减、乘方的运算法则，明晰混合运算顺序。 4.了解分式方程的定义，掌握解分式方程的步骤，理解增根的成因与检验要求。 5.能梳理分式、分式方程与整式相关知识的联系与区别。 1.提升代数式变形、化简运算能力，规范约分、通分的解题思路。 2.具备综合运算能力，能正确完成分式四则混合运算、化简求值。 3.掌握解分式方程的基本技能，会分析、检验增根，排查解题错误。 4.学会将实际问题转化为分式方程模型，提升数学建模与分析问题的能力。 1.基础题：准确判断分式相关取值条件，熟练完成简单约分、通分、基础运算，零失误。 2.中档题：规范完成分式混合运算、化简求值、常规分式方程求解，步骤完整、格式标准。 3.拓展题：能解决含参数的分式取值问题、分式方程含增根 / 无解题型，以及分式方程实际应用题。 4.规避符号、漏乘、忘记验根、运算顺序混乱等高频错误，保证章节整体得分率。 题型01.分式的判断 题型02.分式有无意义与值为零综合 题型03.分式值为正负及整数时未知数求解 题型04.分式变形的判断 题型05.分式值变化判断 题型06.约分与最简分式 题型07.分式的求值 题型08.分式乘除运算 题型09.通分与最简公分母 题型10.分式加减混合运算 题型11.分式加减的实际应用 题型12.分式加减乘除混合运算 题型13.含乘方的分式乘除混合运算 题型14.分式化简求值 题型15.由分式恒等式确定分子或分母 题型16.由分式方程解的情况求值 题型17.分式方程无解问题 题型18.解分式方程 题型19.分式方程行程问题 题型20.分式方程工程问题 题型21.分式方程经济问题 题型22.分式方程和差倍分问题 题型23.其他实际问题 知识点01:分式的基本概念 1.分式定义：形如（、是整式，B中含字母，且B0）的式子叫分式；A是分子，B是分母。 区分要点：π 是常数，含 π 的式子不属于分式；分母不含字母的是整式。 2. 分式取值情况（高频基础考点） 分式状态 成立条件 补充说明 有意义 分母 B 0 只要分母不为 0 即可 无意义 分母 B = 0 分母为 0，分式无意义 值为 0 分子 A=0且 分母 B0 两个条件缺一不可，易漏分母限制 值为正 分子、分母同号 同正或同负 值为负 分子、分母异号 一正一负 知识点02:分式的基本性质与符号法则 1. 性质内容 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 公式：，(A、B、C为整式，C0) 2. 符号法则（必考） 分式的分子、分母、分式本身，三处符号改变任意两处，分式值不变。 常用变形： 3. 两大应用：约分 & 通分 项目 定义 解题步骤 核心依据 约分 把分子分母的公因式约去，化为最简分式 1.分子、分母因式分解2.找出公因式3.约去公因式 分式基本性质 通分 把几个异分母分式化为同分母分式 1.确定最简公分母2.分子分母同乘对应整式 分式基本性质 4.最简公分母确定方法 组成部分 选取规则 系数 取各分母系数的最小公倍数 字母 / 因式 所有分母中出现的不同字母、因式全部选取 相同字母 / 因式 取最高次幂 通分步骤：分母因式分解 → 确定最简公分母 → 分子分母同乘对应整式，化为同分母。 知识点03:分式的四则运算与乘方 1. 运算法则 运算类型 运算法则 公式表示 乘法 分子乘分子，分母乘分母 （b0,d0） 除法 除以一个分式，等于乘它的倒数 ==(b.c d0) 乘方 分子、分母分别乘方 ()n=（b0，n为正整数） 同分母加减 分母不变，分子相加减 ±（c0） 异分母加减 先通分，再按同分母分式计算 ±=（b0,d0） 2. 分式混合运算 (1)运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内 (2)通用要求：全程优先因式分解、提前约分；规范处理符号与括号；结果必须最简。 知识点04:分式化简求值 1.解题流程：先化简，后代入求值，禁止直接代值计算； 2.取值要求：代入的数值，必须保证原式及运算过程中所有分式分母均不为 0； 3.常见题型：直接代值、整体代入求值。 知识点05:分式方程 1. 定义:分母中含有未知数的方程，区别于分母不含未知数的整式方程。 2. 解题完整步骤（格式必考） 3. 增根与无解（难点、填空 / 解答压轴） 概念 含义 产生原因 增根 整式方程的根，但不是原分式方程的根 去分母时，人为扩大未知数取值范围，根使原分母为 0 分式方程无解 两种情况：① 有增根；② 转化后的整式方程本身无解 结合参数题型常考 4. 解分式方程高频错误 (1)去分母时，常数项漏乘最简公分母； (2)分子为多项式时未加括号，引发符号错误； (3)省略检验步骤，直接判定方程的解。 知识点06:分式方程的实际应用 1.解题步骤 审题意 → 设未知数 → 列分式方程 → 解方程 → 双重检验 → 作答 检验 1：检验是否为分式方程增根； 检验 2：检验结果是否符合实际意义。 2.常见等量关系模板 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；合作效率 行程问题：时间；顺水 / 逆水速度差异列方程 销售问题：数量 知识点07:全章易错点汇总 1.概念混淆：误将含π的式子判定为分式； 2.求值误区：求分式值为 0 时，只令分子为 0，忽略分母不为 0； 3.运算失误：约分、通分、四则运算中符号出错，约分不彻底； 4.格式失分：分式运算结果未化为最简，解分式方程省略检验； 5.解方程漏洞：去分母时常数项漏乘，多项式分子未添括号； 6.应用题疏漏：只验方程解，忽略结果是否符合现实情境。 题型01.分式的判断 1．下列各式，，，，，，，其中分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．在，，，，，中，是分式的有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02.分式有无意义与值为零综合 4．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * 无意义 0 … A． B． C． D． 5．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 6．若，则________． 7．已知，则的个位数字是_____． 题型03.分式值为正负及整数时未知数求解 8．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如果m为整数，那么使分式值为正整数，这样的m有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 11．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 12．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 题型04.分式变形的判断 13．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 14．下列分式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 15．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05.分式值变化判断 16．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 17．如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 18．已知三个实数，，满足，，且，则的最小值为（  ） A． B．2 C． D．4 19．阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 题型06.约分与最简分式 20．化简分式的结果是（     ） A． B． C． D．1 21．下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 22．约分：__________． 23．把分式化为最简分式为________． 24．将下列分式约分： (1)． (2)． 题型07.分式的求值 25．若，互为倒数，则的值为_____． 26．若，则的值______． 27．若，则的值是（     ） A．1． B．0． C．-1． D．-2． 28．已知，求代数式的值． 题型08.分式乘除运算 29．化简：． 30．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 31．先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 32．计算：（）÷． 33．计算： (1)． (2)． 34．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型09.通分与最简公分母 35．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 36．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 37．分式、、的最简公分母是______． 38．当时，的值是_______． 39．通分： (1)； (2)； (3)． 题型10.分式加减混合运算 40．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 41．化简： 42．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 43．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型11.分式加减的实际应用 44．甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 45．甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 46．为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（） (1)求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差． (2)若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？ 题型12.分式加减乘除混合运算 47．计算． 48．化简：． 49．先化简，再求值：，其中． 题型13.含乘方的分式乘除混合运算 50．计算：． 51．计算： (1)． (2)． (3)． 52．计算： (1)． (2)． (3)． 题型14.分式化简求值 53．先化简，再求值：，其中． 54．先化简，再求值：，其中． 55．先化简，再求值：，其中． 题型15.由分式恒等式确定分子或分母 56．已知，则______， ______． 57．已知，则实数______． 58．已知其中，为常数，求的值． 题型16.由分式方程解的情况求值 59．关于x的分式方程有整数解，则整数a的和为______． 60．关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（     ） A． B． C． D． 61．已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 题型17.分式方程无解问题 62．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_____． 63．若关于的分式方程无解，那么实数的值是（     ） A．1 B．3 C．3或5 D．3或7 64．已知，，下列结论： ①；②若，则；③无论为何实数值，始终有；④若关于的方程无解，则．其中正确的有_____（请填写序号）． 65．已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的解； (2)若分式方程无解，求的值． 题型18.解分式方程 66．解分式方程： 67．解方程： (1)． (2)． 68．已知求代数式的值． 题型19.分式方程行程问题 69．我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长里．若用慢马递送，送达时长比规定时长多天；若用快马递送，送达时长比规定时长少天．已知快马的日行速度是慢马日行速度的倍，设规定时间为天，可列方程为________． 70．为了响应市政府“绿色出行”的号召，姜老师决定每天不再开私家车上班了，改为每天骑电瓶车上班．已知姜老师家与学校的距离为4公里，他开私家车的速度是骑电瓶车速度的3倍．经过测算，姜老师发现骑电瓶车要比开私家车多花8分钟到校．求姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时多少公里？ 71．京哈高铁2025年7月1日起按时速350公里高标准运行．但在实际运营中时速受一些因素影响会在不同路段有所调整．某次列车怀柔南站至承德南站运营时长是朝阳站至怀柔南站运营时长的2倍．已知怀柔南站至承德南站运营里程约为，朝阳站至怀柔南站运营里程约为，若该次列车怀柔南站至承德南站的平均速度比朝阳站至怀柔南站的平均速度快，求该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长． 题型20.分式方程工程问题 72．两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了天，隧道被挖通．记总工程量为．设乙队单独施工挖通隧道需要天，根据题意，列出方程为________． 73．某健身器械厂需生产360台健身器械．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因此在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1.4倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务，问原来每天生产健身器械多少台？ 74．某社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积． (2)若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元．当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元． 题型21.分式方程经济问题 75．我国古代数学名著中有一题，其大意为：“现在有绫布和罗布，它们的长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，■”．设绫布有尺，则可得方程为．根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（     ） A．买一尺绫布和一尺罗布一共需要文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜文 C．绫布的总价比罗布的总价便宜文 D．每尺绫布比每尺罗布贵文 76．某中学拟购进甲、乙两种品牌的无线鼠标给上课的教师使用，咨询得知每个甲品牌无线鼠标的进价比每个乙品牌无线鼠标的进价高，用6600元购进的甲品牌无线鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌无线鼠标的数量多50个．求该中学购买甲、乙两种品牌无线鼠标的进价．设该中学购买乙品牌无线鼠标的进价为x元/个，可列方程为_______． 77．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元． (1)这两次各购进这种衬衫多少件？ (2)若第一批衬衫的售价是200元/件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价多少元？ 题型22.分式方程和差倍分问题 78．研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用、体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，则洋槐一天单位面积固碳量是______克． 79．某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 80．在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 题型23.其他实际问题 81．《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 82．近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力．某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数． 83．某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=． 2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨 甲 A 90 乙 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为． ①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？ ②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05分式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解分式的概念，能区分整式与分式，掌握分式有意义、无意义、值为零的条件。 2.掌握分式的基本性质，熟练运用性质进行分式变形、约分与通分。 3.熟记分式乘除、加减、乘方的运算法则，明晰混合运算顺序。 4.了解分式方程的定义，掌握解分式方程的步骤，理解增根的成因与检验要求。 5.能梳理分式、分式方程与整式相关知识的联系与区别。 1.提升代数式变形、化简运算能力，规范约分、通分的解题思路。 2.具备综合运算能力，能正确完成分式四则混合运算、化简求值。 3.掌握解分式方程的基本技能，会分析、检验增根，排查解题错误。 4.学会将实际问题转化为分式方程模型，提升数学建模与分析问题的能力。 1.基础题：准确判断分式相关取值条件，熟练完成简单约分、通分、基础运算，零失误。 2.中档题：规范完成分式混合运算、化简求值、常规分式方程求解，步骤完整、格式标准。 3.拓展题：能解决含参数的分式取值问题、分式方程含增根 / 无解题型，以及分式方程实际应用题。 4.规避符号、漏乘、忘记验根、运算顺序混乱等高频错误，保证章节整体得分率。 题型01.分式的判断 题型02.分式有无意义与值为零综合 题型03.分式值为正负及整数时未知数求解 题型04.分式变形的判断 题型05.分式值变化判断 题型06.约分与最简分式 题型07.分式的求值 题型08.分式乘除运算 题型09.通分与最简公分母 题型10.分式加减混合运算 题型11.分式加减的实际应用 题型12.分式加减乘除混合运算 题型13.含乘方的分式乘除混合运算 题型14.分式化简求值 题型15.由分式恒等式确定分子或分母 题型16.由分式方程解的情况求值 题型17.分式方程无解问题 题型18.解分式方程 题型19.分式方程行程问题 题型20.分式方程工程问题 题型21.分式方程经济问题 题型22.分式方程和差倍分问题 题型23.其他实际问题 知识点01:分式的基本概念 1.分式定义：形如（、是整式，B中含字母，且B0）的式子叫分式；A是分子，B是分母。 区分要点：π 是常数，含 π 的式子不属于分式；分母不含字母的是整式。 2. 分式取值情况（高频基础考点） 分式状态 成立条件 补充说明 有意义 分母 B 0 只要分母不为 0 即可 无意义 分母 B = 0 分母为 0，分式无意义 值为 0 分子 A=0且 分母 B0 两个条件缺一不可，易漏分母限制 值为正 分子、分母同号 同正或同负 值为负 分子、分母异号 一正一负 知识点02:分式的基本性质与符号法则 1. 性质内容 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 公式：，(A、B、C为整式，C0) 2. 符号法则（必考） 分式的分子、分母、分式本身，三处符号改变任意两处，分式值不变。 常用变形： 3. 两大应用：约分 & 通分 项目 定义 解题步骤 核心依据 约分 把分子分母的公因式约去，化为最简分式 1.分子、分母因式分解2.找出公因式3.约去公因式 分式基本性质 通分 把几个异分母分式化为同分母分式 1.确定最简公分母2.分子分母同乘对应整式 分式基本性质 4.最简公分母确定方法 组成部分 选取规则 系数 取各分母系数的最小公倍数 字母 / 因式 所有分母中出现的不同字母、因式全部选取 相同字母 / 因式 取最高次幂 通分步骤：分母因式分解 → 确定最简公分母 → 分子分母同乘对应整式，化为同分母。 知识点03:分式的四则运算与乘方 1. 运算法则 运算类型 运算法则 公式表示 乘法 分子乘分子，分母乘分母 （b0,d0） 除法 除以一个分式，等于乘它的倒数 ==(b.c d0) 乘方 分子、分母分别乘方 ()n=（b0，n为正整数） 同分母加减 分母不变，分子相加减 ±（c0） 异分母加减 先通分，再按同分母分式计算 ±=（b0,d0） 2. 分式混合运算 (1)运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内 (2)通用要求：全程优先因式分解、提前约分；规范处理符号与括号；结果必须最简。 知识点04:分式化简求值 1.解题流程：先化简，后代入求值，禁止直接代值计算； 2.取值要求：代入的数值，必须保证原式及运算过程中所有分式分母均不为 0； 3.常见题型：直接代值、整体代入求值。 知识点05:分式方程 1. 定义:分母中含有未知数的方程，区别于分母不含未知数的整式方程。 2. 解题完整步骤（格式必考） 3. 增根与无解（难点、填空 / 解答压轴） 概念 含义 产生原因 增根 整式方程的根，但不是原分式方程的根 去分母时，人为扩大未知数取值范围，根使原分母为 0 分式方程无解 两种情况：① 有增根；② 转化后的整式方程本身无解 结合参数题型常考 4. 解分式方程高频错误 (1)去分母时，常数项漏乘最简公分母； (2)分子为多项式时未加括号，引发符号错误； (3)省略检验步骤，直接判定方程的解。 知识点06:分式方程的实际应用 1.解题步骤 审题意 → 设未知数 → 列分式方程 → 解方程 → 双重检验 → 作答 检验 1：检验是否为分式方程增根； 检验 2：检验结果是否符合实际意义。 2.常见等量关系模板 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；合作效率 行程问题：时间；顺水 / 逆水速度差异列方程 销售问题：数量 知识点07:全章易错点汇总 1.概念混淆：误将含π的式子判定为分式； 2.求值误区：求分式值为 0 时，只令分子为 0，忽略分母不为 0； 3.运算失误：约分、通分、四则运算中符号出错，约分不彻底； 4.格式失分：分式运算结果未化为最简，解分式方程省略检验； 5.解方程漏洞：去分母时常数项漏乘，多项式分子未添括号； 6.应用题疏漏：只验方程解，忽略结果是否符合现实情境。 题型01.分式的判断 1．下列各式，，，，，，，其中分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题根据分式的定义逐一判断各式，即可得到结果. 【详解】解：分式的定义为：若，是两个整式，且中含有字母，，则式子是分式，据此逐个判断： ，分母为常数，不含字母，是整式； ，分母含有字母，是分式； ，是常数，因此是常数，分母不含字母，是整式； ，分母含有字母，是分式； ，分母为常数，不含字母，是整式； ，分母含有字母，是分式； 综上，分式共有个． 2．在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】依据分母中含有字母的代数式是分式，分母不含字母的不是分式. 【详解】解：∵ 分式的定义为：若是整式，且中含有字母（），则是分式. ：分母含字母，是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母是常数，不含字母，不是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母含字母，是分式； ∴ 分式的个数为. 3．在，，，，，中，是分式的有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：，，的分母中都含有字母，都是分式， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的判断，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫做分子，叫做分母．特别注意：判断一个代数式是不是分式，不能将原代数式进行变形后再判断，而必须按照原来的形式进行判断，不能认为分母含有的式子是分式． 题型02.分式有无意义与值为零综合 4．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * 无意义 0 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式无意义的条件为分母为0，分式值为0的条件为分子为0且分母不为0，结合表格信息提取条件，逐一判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得三个条件： ①当时，y无意义，即时分母为0； ②当时，y无意义，即时分母为0； ③当时，，即时分子为0且分母不为0． A选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，排除A． B选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件②，排除B． C选项：， 时，分母，无意义，符合条件①； 时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，C符合题意． D选项：， 时，分子，，不符合条件③，排除D． 5．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解： ∵ 代数式有意义， ∴ ，， ∴ 且 且， 故选：D． 6．若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式值为零的条件，由分式值为零的条件，得分子为零且分母不为零，即且，解得，再代入所求表达式计算． 【详解】解：由， 得分子，即，解得或， 分母， 所以， 因此， 当时， ， 故答案为：． 7．已知，则的个位数字是_____． 【答案】4 【分析】先根据算术平方根的非负性，列出关于的方程，解方程求出，再根据分式的分母不能为，确定的值，从而求出，最后再根据乘方的意义，求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴， ，，，，，…， ∴个位数字分别为2，4，8，6循环， 又∵， ∴的个位数字为4． 题型03.分式值为正负及整数时未知数求解 8．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 9．如果m为整数，那么使分式值为正整数，这样的m有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】分式，讨论就可以了，即是5的约数，注意分式值为正整数即可完成． 【详解】∵，原分式的值为正整数， ∴，且是5的约数， 那么 由得，； 由得，； 由得，； ∴，共3个 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键． 10．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【答案】或 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值． 【详解】解： 分式的值为整数， 或， 或， 是非负整数， 或． 11．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 12．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)且 【分析】（1）根据分式为0，得出分母不为0，分子为0进行列式计算，即可作答． （2）根据分式的值为正数，得出，，再解得且，即可作答． 【详解】（1）解：∵分式的值为0， ∴， ∴，， 即若分式的值为0，则的值为2； （2）解：∵由题得分式有意义， ， ， 分式的值为正数， ， ， 且． 题型04.分式变形的判断 13．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质判断各选项等式是否成立即可． 【详解】解：选项A、分式的分子分母同时加同一个数，不符合分式基本性质，等式不成立，A错误； 选项B、分式的分子分母同时减同一个数，不符合分式基本性质，等式不成立，B错误； 选项C、，根据分式基本性质，分子分母同乘不为0的数，分式的值不变，即成立，C正确； 选项D、当时，等式右边分母，无意义，等式不成立，D错误． 14．下列分式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A．，故变形错误，不符合题意； B．，故变形错误，不符合题意； C．，故变形正确，符合题意； D．，故变形错误，不符合题意． 15．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质． 通过简化每个分式，检查等式是否成立即可． 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：（除非或），故D错误； 故选：B． 题型05.分式值变化判断 16．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 17．如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】将x，y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：将和分别替换原分式中的和， ∵ ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍． 18．已知三个实数，，满足，，且，则的最小值为（  ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先利用已知条件对所求式子变形，再结合完全平方的非负性推导得到的取值范围，进而求出所求式子的最小值． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵对任意实数，，都有 展开得 把，代入得 ，即 ∵，不等式两边同乘得，即 ∴ ∴，即的最小值为． 19．阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：； 请根据上述材料解答下列问题： (1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小” (2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小，减小 (2)的值无限接近 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． （）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小，即的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 由于，则当时，随着的增大，的值随之减小，从而的值随之减小，即的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 题型06.约分与最简分式 20．化简分式的结果是（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题先对分子因式分解，再约去分子分母的公因式即可得到化简结果，用到平方差公式和分式约分的知识点． 【详解】解：∵分子可以用平方差公式分解因式， ∴， ∴原式， ∵分式有意义时，可同时约去公因式 ∴原式． 21．下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，判断各选项分子分母是否存在公因式，不存在公因式的分式即为最简分式． 【详解】解：A选项：的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； B选项：=，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C选项：的分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式； D选项：的分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式． 22．约分：__________． 【答案】 【分析】本题考查了约分，关键是找到分子、分母的公因式；先对分子和分母因式分解，最后约去公因式． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 23．把分式化为最简分式为________． 【答案】 【分析】根据分式的性质，进行约分即可，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式或公因数时叫最简分式． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了最简分式，掌握分式的约分，因式分解是解题的关键． 24．将下列分式约分： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了约分，用到的知识点是因式分解、分式的基本性质，在约分时要注意符号的变化，正确计算是解题的关键． （1）（2）根据约分的定义，把分子分母同时约去它们的公因式，即可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：． 题型07.分式的求值 25．若，互为倒数，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据倒数的定义得到，再将所求式子变形为，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，互为倒数， ∴根据倒数的定义可得， ∴ ∴． 26．若，则的值______． 【答案】 【分析】由条件可知，将代入所求分式计算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 27．若，则的值是（     ） A．1． B．0． C．-1． D．-2． 【答案】A 【详解】解：， 、、的值均不为0． ． 28．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】易得，将分子分母进行因式分解后，整体代入法求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 题型08.分式乘除运算 29．化简：． 【答案】1 【详解】解：原式． 30．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘法，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）按照分式的乘法运算法则，进行计算即可； （2）按照分式的乘法运算法则，进行计算即可； （3）按照分式的乘法运算法则，进行计算即可； （4）按照分式的乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 31．先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】；当时，原式（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先对分子分母进行因式分解，然后将除法化为乘法，再进行分式的乘法计算，最后代入合适的数值求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵时分式无意义， ∴a取2， 当时，原式（答案不唯一）． 32．计算：（）÷． 【答案】 【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，最后算乘法即可． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 33．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先将除法化为乘法，然后约分即可． （2）先把分式的分子和分母分解因式，除法化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 34．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题的关键： （1）先进行因式分解，再约分化简即可； （2）先进行因式分解，再约分化简即可； （3）先进行因式分解，再约分化简即可； （4）先进行因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型09.通分与最简公分母 35．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件整理出，再将所求分式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，可得， ∴ ． 36．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简公分母的确定方法，先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义计算即可． 【详解】解： 分式与的最简公分母是． 37．分式、、的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的确定，根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，求解即可． 【详解】解：分母分解因式：，，；系数最小公倍数为12，字母a最高次幂为，字母b最高次幂为b，因式最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 38．当时，的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 39．通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， 【详解】（1）解： 两个分式的分母分别为，可得最简公分母为， 故，； （2）解： 两个分式的分母分别为，可得最简公分母为， 故，； （3）解：先对分母因式分解，得，，可得最简公分母为； 故，. 题型10.分式加减混合运算 40．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)2 (5) 【分析】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握同分母分式和异分母分式加减的法则． （1）利用同分母分式加减法则即可解答此题； （2）利用同分母分式加减法则即可解答此题； （3）先化成同分母分式，再利用同分母分式加减法则即可解答此题； （4）利用同分母分式加减法则即可解答此题； （5）利用同分母分式加减法则即可解答此题； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 41．化简： 【答案】 【分析】根据分式的加减法则计算，然后根据分式的性质化简 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式加减运算法则是解题的关键． 42．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的化简，平方差和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则． （1）根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）根据分式的加法法则和完全平方公式进行计算即可； （3）根据分式的加法法则进行计算即可； （4）根据分式的除法法则，平方差和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 43．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）按照同分母分式的加减运算法则进行计算即可； （2）先化为同分母分式，再计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再计算即可； （4）先通分化为同分母分式，再计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键． 题型11.分式加减的实际应用 44．甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 【答案】 乙 【分析】本题主要考查了分式减法的应用，正确表示出是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求出甲两段路程的时间，求和可得，先求出乙的平均速度，进而求出，再作差即可得到答案； （2）根据（1）的结果结合即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得， ， ∴ ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴当时，，，即，则乙先到． 故答案为：乙． 45．甲、乙两人同时从A地出发沿同一条路线去B地，若甲用一半的时间以的速度行走，另一半时间以的速度行走；而乙用的速度走了一半的路程，另一半的路程以的速度行走（a，b均大于0，且），则（    ） A．甲先到达 B．乙先到达 B地 C．甲、乙同时到达B地 D．甲、乙谁先到达B地不确定 【答案】A 【分析】本题考查分式的应用．设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为，根据题意，分别表示出甲、乙所用时间的代数式，然后再作比较即可． 【详解】解：设从A地到B地的路程为s，甲走完全程所用时间为，乙走完全程所用时间为， 由题意得，， 解得，， a，b均大于0，且， ， ， 甲先到达， 故选A． 46．为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成．（） (1)求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差． (2)若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？ 【答案】(1)米/天 (2)天 【分析】本题考查了分式加减乘除运算的实际应用，找到题中的数量关系是解题的关键． （1）根据工作效率等于工作量除以工作时间，分别求出甲乙的工作效率即可求解； （2）求出甲、乙合作的工作效率，用总的工作量除以合作工作效率即可求解； 【详解】（1）解： 一条1000的时光隧道，让甲工程队单独做需要天完成，让乙工程队单独做需要天完成， 甲工程队的工作效率为米/天，乙工程队的工作效率为米/天， 甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天． 答：甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为米/天． （2）解：甲、乙工程队一起完成这项工程，工作效率为， 则完成工程需要的时间为：（天） 答：若甲、乙工程队一起完成这项工程，则需要天． 题型12.分式加减乘除混合运算 47．计算． 【答案】2 【详解】解：原式 ． 48．化简：． 【答案】 【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，同时对分子、分母因式分解，最后约分得到最简结果． 【详解】解：原式= ． 49．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据整式的混合运算法则以及分式的混合运算法则进行化简，再根据负整数指数幂、零指数幂求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式． 题型13.含乘方的分式乘除混合运算 50．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 51．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （2）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （3）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： 52．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先因式分解、，再按照先乘方再乘除的运算顺序，利用分式的乘除法法则进行化简即可． （2）先因式分解、、，再按照先乘方再乘除的运算顺序，利用分式的乘除法法则进行化简即可． （3）先因式分解、，再按照先乘方再乘除的运算顺序，利用分式的乘除法法则进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的乘除法法则和运算顺序是解题关键． 题型14.分式化简求值 53．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 54．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，． 55．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据整式的混合运算法则和分式的混合运算法则进行化简，再根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， ， 原式． 题型15.由分式恒等式确定分子或分母 56．已知，则______， ______． 【答案】 【分析】先对等式右侧通分，利用左右两侧分子相等得到关于A、B的方程组，解方程组即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 57．已知，则实数______． 【答案】 【分析】先将等式右侧通分．根据分式相等的条件得到分子对应相等．整理后利用多项式相等的性质得到关于的方程组．求解后代入计算即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， 即， 整理得， 可知， 解得：， ∴． 58．已知其中，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减，解二元一次方程组，熟练掌握异分母的分式相减的法则是解决此题的关键．根据分式的加减，先通分，转化为同分母的分式相减，将其相减后，与等号的右边对比，列出关于、的二元一次方程组，求出、的值，将其代入计算即可． 【详解】解：将等式的左边相减，得：， 根据左右两边相等，可得：， 解得： ． 题型16.由分式方程解的情况求值 59．关于x的分式方程有整数解，则整数a的和为______． 【答案】 【分析】先去分母将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，根据分式方程有解可知，结合方程有整数解、为整数，求出所有符合条件的，再计算的和即可． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 整理得， 当，即时，方程无解，不符合题意； 当时，解得， ∵分式方程有整数解，且分母不为零，即， ∴，即，且为的整数约数， ∴的可能取值为， 当时，，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 所有符合条件的整数为，其和为． 60．关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式方程得到用表示的式子，再根据解为负数且分式有意义判断选项即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴当时，， 且， 解得且且， ∴且， ∴选项中只有符合条件，故选B． 61．已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 【答案】 【分析】先解分式方程得到x关于k的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合分式方程分母不为零的隐含条件求解，即可得到k的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为负数， ， 解得 又， 即， 解得， ． 题型17.分式方程无解问题 62．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_____． 【答案】 【分析】分式方程无解说明整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再求出原分式方程的增根，代入整式方程即可求出的值，本题化简后的整式方程为一元一次方程，一次项系数不为，不存在整式方程无解的情况． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得整式方程， ∵原分式方程无解， ∴整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 63．若关于的分式方程无解，那么实数的值是（     ） A．1 B．3 C．3或5 D．3或7 【答案】C 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 整理得：， 情况1：若整式方程无解， 当一次项系数为时，整式方程无解， ， 解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足，即， 把代入，得，解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 64．已知，，下列结论： ①；②若，则；③无论为何实数值，始终有；④若关于的方程无解，则．其中正确的有_____（请填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查因式分解、分式的化简求值、完全平方公式以及分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过因式分解验证结论①；利用完全平方公式求值，即可判定结论②；由平方非负性即可证明结论③；通过解分式方程，即可判定结论④． 【详解】解：对于结论①，，成立； 对于结论②，当，时，，故，成立； 对于结论③，，故，成立； 对于结论④，方程即， ， ， ，当时，解整式方程得，此为原分式方程的增根，故原方程无解， 当时，原分式方程无解， 当或时，分式方程无解，故结论④错误， 故答案为：①②③． 65．已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的解； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）将代入，分式方程去分母转化为整式方程，即可求出x的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到或或，即可求出 m的值． 【详解】（1）解：去分母得 ， 解得 ， 经检验：是方程的解； （2）解：去分母得 ，即 ，              当时，即时，整式方程无解，符合题意； 当时，则 ∴或， ∴或，       综上所述，或或. 题型18.解分式方程 66．解分式方程： 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得： 去括号得：， 解得：， 检验：当时，最简公分母， ∴原方程的解是． 67．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】根据解分式方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 时，， 故原方程的解为； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 当，， 故原方程无解． 68．已知求代数式的值． 【答案】 420 【分析】通过取倒数将原方程变形为，，，解分式方程得出x，y，z的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：由可知，即， 同理可得出，， 解三元一次方程组， 解得：，经检验，符合题意， ∴. 题型19.分式方程行程问题 69．我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长里．若用慢马递送，送达时长比规定时长多天；若用快马递送，送达时长比规定时长少天．已知快马的日行速度是慢马日行速度的倍，设规定时间为天，可列方程为________． 【答案】 【分析】设规定时间为天，根据题意分别表示出慢马和快马的行驶时间，结合总路程得到两者的日行速度，再根据快马日行速度是慢马日行速度的倍建立等量关系，即可列出方程． 【详解】解：已知规定时间为天，由题意可得，慢马送达用时为天， 列方程得：， 整理得． 70．为了响应市政府“绿色出行”的号召，姜老师决定每天不再开私家车上班了，改为每天骑电瓶车上班．已知姜老师家与学校的距离为4公里，他开私家车的速度是骑电瓶车速度的3倍．经过测算，姜老师发现骑电瓶车要比开私家车多花8分钟到校．求姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时多少公里？ 【答案】姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时60公里． 【分析】本题利用路程、速度、时间的关系“时间路程速度”，根据骑电瓶车比开私家车多花8分钟的等量关系列分式方程求解，解题时需要统一时间单位，分式方程求解后要检验． 【详解】解：设姜老师骑电瓶车的平均速度为每小时公里，则开私家车的平均速度为每小时公里． 8分钟小时． 根据题意列方程得： 方程两边同乘得： 化简得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则开私家车的平均速度为（公里/小时） 答：姜老师上班时开私家车的平均速度是每小时60公里． 71．京哈高铁2025年7月1日起按时速350公里高标准运行．但在实际运营中时速受一些因素影响会在不同路段有所调整．某次列车怀柔南站至承德南站运营时长是朝阳站至怀柔南站运营时长的2倍．已知怀柔南站至承德南站运营里程约为，朝阳站至怀柔南站运营里程约为，若该次列车怀柔南站至承德南站的平均速度比朝阳站至怀柔南站的平均速度快，求该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长． 【答案】该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为小时 【分析】设该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为x小时．则怀柔南站至承德南站运营时长为2x小时，根据题意列方程求解即可． 本题考查分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为x小时．则怀柔南站至承德南站运营时长为2x小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为小时． 题型20.分式方程工程问题 72．两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了天，隧道被挖通．记总工程量为．设乙队单独施工挖通隧道需要天，根据题意，列出方程为________． 【答案】 【分析】先求出甲队每天的工作量，再根据甲完成的工作量与乙完成的工作量之和等于总工程量列方程即可． 【详解】解：∵1周为7天，甲队7天完成总工程的， ∴甲队单独施工1天完成总工程的， 设乙队单独施工挖通隧道需要天，则乙队单独施工1天完成总工程的， 根据题意，可知甲队一共施工了天，乙队一共施工了5天， 根据甲完成工作量乙完成工作量总工程量，总工程量为1，列方程得： ． 73．某健身器械厂需生产360台健身器械．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因此在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的1.4倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务，问原来每天生产健身器械多少台？ 【答案】原来每天生产健身器械50台 【分析】设原来每天生产健身器械x台，根据工作量÷工作效率=工作时间，建立方程． 【详解】解：设原来每天生产健身器械x台． 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 答：原来每天生产健身器械50台． 74．某社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积． (2)若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元．当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积分别是、 (2)甲队施工16天，乙队施工14天 【分析】（1）设乙队每天能完成绿化面积，则甲队每天能完成绿化面积，甲队比乙队少用2天，据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设甲队施工a天，则乙队施工天刚好完成绿化任务，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元，据此列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成绿化面积，则甲队每天能完成绿化面积， 由题意得， 解得， 经检验，是该方程的根， ， 所以甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积分别是、； （2）解：设甲队施工a天，则乙队施工天刚好完成绿化任务，由题意得：， 解得， 所以（天）， 所以甲队施工16天，乙队施工14天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元． 题型21.分式方程经济问题 75．我国古代数学名著中有一题，其大意为：“现在有绫布和罗布，它们的长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，■”．设绫布有尺，则可得方程为．根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（     ） A．买一尺绫布和一尺罗布一共需要文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜文 C．绫布的总价比罗布的总价便宜文 D．每尺绫布比每尺罗布贵文 【答案】A 【分析】设绫布有尺，根据设出的未知数表示出两种布的单价，再结合给出的方程判断缺失条件． 【详解】解：设绫布有尺，由题意可知绫布和罗布总长为尺， 罗布的长度为尺， 绫布和罗布的总价均为文， 每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 已知方程为， 该方程的意义为：每尺绫布的价格与每尺罗布的价格之和为文，即买一尺绫布和一尺罗布一共需要文． 76．某中学拟购进甲、乙两种品牌的无线鼠标给上课的教师使用，咨询得知每个甲品牌无线鼠标的进价比每个乙品牌无线鼠标的进价高，用6600元购进的甲品牌无线鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌无线鼠标的数量多50个．求该中学购买甲、乙两种品牌无线鼠标的进价．设该中学购买乙品牌无线鼠标的进价为x元/个，可列方程为_______． 【答案】 【分析】由该中学购买乙品牌无线鼠标的进价为x元/个，得购买甲品牌无线鼠标的进价为元/个，再结合“用6600元购进的甲品牌无线鼠标的数量比用4500元购进的乙品牌无线鼠标的数量多50个”列出分式方程即可． 【详解】解：由该中学购买乙品牌无线鼠标的进价为x元/个，得购买甲品牌无线鼠标的进价为元/个． 根据题意，得． 77．某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元． (1)这两次各购进这种衬衫多少件？ (2)若第一批衬衫的售价是200元/件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价多少元？ 【答案】(1)第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件 (2)170元 【分析】（1）设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫件，根据题意列分式方程，解方程即可； （2）设第二批衬衫每件售价为y元，根据售价、进价、利润、数量的关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫件， 依题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意， 所以第一次的进货量为（件）． 答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件； （2）解：（元/件）， （元/件）． 设第二批衬衫每件售价为y元， 依题意，得， 解得． 答：第二批衬衫每件售价为170元． 题型22.分式方程和差倍分问题 78．研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就是植物在生长过程中，通过光合作用、体内吸收多少二氧化碳的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方米多克，则洋槐一天单位面积固碳量是______克． 【答案】 【分析】设洋槐一天单位面积固碳量是x克，根据题意列出分式方程求解即可 【详解】解：设洋槐一天单位面积固碳量是x克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 所以洋槐一天单位面积固碳量是克． 79．某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 【答案】每获得1个碳积分需要步行60步 【分析】设每获得1个碳积分需要步行x步，根据“小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个”列分式方程，解答即可． 【详解】解：设每获得1个碳积分需要步行x步， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每获得1个碳积分需要步行60步． 80．在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 【答案】(1)A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元 (2)1 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，分式方程的工程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）（元）．设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元，根据题意列出分式方程求解，从而可求得A型口罩的单价； （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：，从而可得，同理可得，，从而可求得． 【详解】（1）解：（元）． 设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元． （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：， ∴， ∴，即． 同理，， ∴． 题型23.其他实际问题 81．《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 【答案】 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题，熟练掌握比的意义，列方程是解题的关键．设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为，依题意，得． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：边衬的宽度为． 82．近年来，城市马拉松成为一道亮丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力．某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数． 【答案】2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人 【分析】设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，2025年为万人，根据所给数量关系列分式方程，解方程即可． 【详解】解：设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，则2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为万人， 由题意得．                 解得，                     经检验，是原方程的解，且符合实际， ，                     答：2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人． 83．某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=． 2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨 甲 A 90 乙 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为． ①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？ ②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小． 【答案】(1)①甲区域污水的排放总量是100万吨②A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨 (2)甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，分式大小的比较，解题的关键是理解题意． （1）①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据污水处理率列出方程求解即可； ②求出两个区域污水排放量和两个厂可提高的污水处理量，然后列方程求解列出方案，选择合适方案即可； （2）设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为，表示出，然后利用作商法比较大小即可． 【详解】（1）解：①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意； （万吨）， ∴甲区域污水的排放总量是100万吨； ②2026年甲区域污水排放总量为（万吨）， 2026年乙区域污水排放总量为（万吨）， 2026年A厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， 2026年B厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， ， 整理得，， ∵，均为整数， ∴；；；， 共四种方案， 为了提升B厂的污水处理能力，可取，且都符合题意， ∴A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨； （2）解：设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为，则扩建后B厂的污水处理率为， ∵污水处理能力不大于， ∴，且， ∴， 根据题意得， ，， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解，并符合题意， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $