6.3用关系式表示变量之间的关系（教学课件，含交互动画）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学课件聚焦“用关系式表示变量之间的关系”，通过“数青蛙”儿歌及表格法局限性导入，结合三角形面积公式旧知，以问题链引导学生从具体情境到抽象概括，构建“观察—找变量—列关系式—求值”的学习支架。 其亮点在于情境化探究与数学建模结合，通过青蛙、圆锥、低碳生活等实例，培养学生用数学眼光发现规律、用数学思维推理关系的能力。采用“自主+合作”模式，对比表格与关系式优缺点，小结“列式四步法”和易错提醒，助力学生提升应用意识，也为教师提供清晰教学流程和丰富实例。

null6.3用关系式表示变量之间的关系 第六章 变量之间的关系 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解关系式的概念，能准确识别关系式中的自变量和因变量；能结合几何、生活实际情境，正确列出两个变量之间的关系式；熟练掌握根据关系式代入求值的方法，已知自变量求因变量、已知因变量求自变量. 经历“观察情境—找出变量—分析变化规律—列出关系式—代入求值”的完整探究过程，提升抽象概括能力和数学建模能力，体会数形结合、转化的数学思想. 在自主探究与合作交流中感受变量之间的依存关系，体会关系式表示变量关系的优越性，激发数学探究兴趣，培养严谨的数学思维和学以致用的意识. 知识回顾 儿歌：数青蛙 一只青蛙一张嘴， 两只眼睛四条腿； 两只青蛙两张嘴， 四只眼睛八条腿； 三只青蛙三张嘴， 六只眼睛十二条腿； …… 你能用表格表示青蛙的眼睛数y，腿数z和只数x的关系吗? 青蛙只数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 青蛙眼睛数 2 4 6 青蛙腿数 4 6 12 8 16 10 20 12 24 14 28 16 32 18 36 能用式子表达它们之间的关系? 表格直观吗？ 能直接读出对应数据，但仅局限于列出的数值，无法看到“过程”。 大数据值方便吗？ 非常不方便。若求x =100知 的距离，表格需要列出100列，效率极低。 结论：表格法只能表示有限组数据，无法反映变量变化的全部规律，我们需要更通用的方法！ 导入新知 还记得三角形面积计算公式吗？ a h G ∟ C A B 边长 对应边上的高 当边长一定时，自变量与因变量各是什么? 自变量：对应边上高的长度，因变量：三角形面积 三角形面积随着对应边上的高的变化而变化 当一边上的高一定时，自变量与因变量各是什么? 自变量：这边的长度，因变量：三角形面积 三角形面积随着这边的长度变化而变化 S = a h 新知探究 如图，△ABC底边BC上的高是6cm。当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化？ A B C （1）这个变化过程中有几个变量？谁是自变量？谁是因变量？ （3）用表格能表示这种变化关系吗？ 只能列举有限个边长对应的面积 △ABC 的边长BC长度是自变量 △ABC的面积是因变量 （2）当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的? 当底边长减小时，三角形的面积变小。 议一议 探究点1 自主探究，定义新知 当x=3cm时 当x=4cm时 新知探究 探究点1 自主探究，定义新知 议一议 如果三角形的BC边长为x(单位:)，根据三角形面积公式, 三角形的面积y(单位:)可表示为： y = 3x. （6）在这个变化过程中，取定一个底边x的值，面积y的值能确定吗? 取定一个底边x的值，面积y的值随之确定. （4）能不能用一个通用的式子表示所有情况下的面积与底边的关系？ 即： y 3x. x/cm 3 4 5 6 7 8 y/cm2 9 12 15 18 21 24 （5）当x下表中的数值时，对应y是多少？与同伴进行交流方法 y 3x=3×3=9（cm²） y 3x=3×4=12（cm²） 关系式 新知探究 探究点1 自主探究，定义新知 议一议 y=3x 表示了____________________和__________之间的关系，它是变量_____随_____变化的关系式。 三角形底边边长 x 面积 y y x （7）如何理解y=3x中三角形底边长和面积y之间的关系？ 关系式：用含有自变量的代数式来表示因变量的式子，我们就称之为关系式 (2)关系式精确地描述变量之间的依赖关系。它把复杂的变化规律浓缩成简洁的数学语言 (1)关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法，利用关系式，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值。 新知探究 探究点1 自主探究，定义新知 议一议 关系式中自变量与因变量之间的对应关系 关 系 式 y=3x 自变量x 因变量y 图表示了y=3x中自变量底边长取值的变化和因变量面积y的变化之间的对应关系 （1）关系式不是针对某一个具体数值的，而是概括了自变量 x 和因变量 y 之间所有的对应关系，是对规律的整体描述。 （2）只要给定一个自变量 x 的具体数值，将其代入关系式，就能通过运算唯一确定一个对应的因变量 y 的值。 即“输入”一个x的值就可以“输出”一个y的值 直观形象 新知探究 探究点2 合作探究，深化建模 议一议 如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。 （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?当底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的? 自变量:圆锥的底面半径 因变量：圆锥的体积 底面半径增大时，圆锥的体积也增大。 （2）如果圆锥的底面半径为r(单位;cm)，那么固锥的休积V(单位:cm)如何表示? 新知探究 探究点2 合作探究，深化建模 议一议 （3）在这个变化过程中，取定一个底面半径r 的值，体积V 的值能确定吗? 根据圆锥的体积公式，当高度h一定时，只存在一个自变量r。所以当r确定后，圆锥体积V就能够确定。 如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。 能够确定 关 系 式 自变量r 因变量v 即“输入”一个r的值就可以“输出”一个v的值 尝试•交流 探究点2 合作探究，深化建模 议一议 你知道什么是“低碳生活”吗?“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式。 二氧化碳排放量/kg 计算公式 家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785 开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7 家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19 家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91 一些常见的二氧化碳排放量计算公式 二氧化碳排放量/kg 计算公式 家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785 开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7 家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19 家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91 （1）你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗?其中的字母表示什么? 尝试•交流 探究点2 合作探究，深化建模 议一议 x表示用电量， y表示二氧化碳排放量： y = 0.785x （2）随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的?与同伴进行交流。 随着用电量的增加，二氧化碳排放量也随之增加; 耗电量每增加 1 kW·h，二氧化碳排放量增加0.785 kg。 尝试•交流 探究点2 合作探究，深化建模 议一议 （3）当用电量为100kW.h时，二氧化碳排放量是多少? 解:当x=100kW.h时 y = 0.785x=100×0.785=78.5 (kg) 答：二氧化碳的排放量是78.5 kg。 二氧化碳排放量/kg 计算公式 家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785 开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7 家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19 家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91 x表示用电量， y表示二氧化碳排放量： y = 0.785x 尝试•交流 探究点2 合作探究，深化建模 议一议 二氧化碳排放量/kg 计算公式 数量 排放量 家居用电 用电量(单位:kW·h)×0.785 开私家车(燃油车) 耗油量(单位:L)×2.7 家用天然气 用气量(单位:m3)×0.19 家用自来水 用水量(单位:m3)×0.91 （4）小明家本月大约用电 110kW·h、耗油 75L、用天然气20m³、用自来水5m³，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和. ∴总排放量： 110×0.785+75×2.7+20×0.19+5×0.91=297.2 (kg) 答：这几项的二氧化碳排放量总和为297.2kg. 110kW·h 86.35kg 20m³ 3.8kg 75L 202.5kg 5m³ 4.55kg 新知探究 探究点3 总结步骤，对比方法 归一归 （1）列变量关系式的基本步骤 ①找变化过程中的两个变量； ②确定自变量和因变量； ③找出两个变量之间的固定等量关系； ④用含自变量的代数式表示因变量. （2）表格法和关系式法表示变量关系各有什么优缺点？ 优点 缺点 表格法 直观、能直接读取数据，但只能呈现有限组数据， 无法反映整体变化规律； 关系式法 简洁、通用，能表示所有变量的变化关系，方便计算任意对应值， 但不够直观，无法直接看出数据变化趋势。 典例分析 例1：一个长方形的长为8cm，宽为xcm（x<8），长方形的周长为Ccm，面积为Scm²。 （1）分别写出C、S与x的关系式； （2）当x=5时，求周长和面积； （3）若面积S=40，求长方形的宽x。 解：（１）　　 　 （2）当时，　　　　 （3）当时，　，　. 典例分析 例2：某超市笔记本单价为3元，购买数量为x本，总费用为y元. （1）写出y与x的关系式； （2）自变量x可以取任意实数吗？为什么？ （3）购买12本需要多少钱？带30元最多可以买几本？ 解：（1）； （2）自变量x是笔记本的数量，不能取任意实数，只能取自然数； （3）当时，； 当时， 　　 　 ， ∴ 购买12本需要36元，带30元最多可以买10本笔记本. 新知巩固 1.在地球某地，温度 T (单位：℃)与海拔高度d (单位：m)的关系可以近似地用来表示。根据这个关系式，计算 d 值分别是0，200，400，600，800，1000 时相应的T 值，并用表格表示所得结果。 海拔d/m 0 200 400 600 800 1000 气温T/℃ 10.00 8.67 7.33 6.00 4.67 3.33 2.仿照“尝试·交流”中的 (2) ，请你说一说家用自来水的二氧化碳排放量随自来水使用量的变化而变化的情况。 解:自来水使用量每增加1m3， 二氧化碳排放量增加0.91kg。 课本Ｐ154页 随 堂 练 习 解：用表格表示所得结果 当自来水使用量从1m3增加到100m3时， 二氧化碳排放量从0.91kg增加到91kg。 拓展提升 1.学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ （1）解：这批图书共有：（本）， 4天完成整理，每天需要整理（本）， 答：管理员每天需要整理300本图书； （2）解：由题意可知： 与a成反比例关系． 真题感知 1.（2025·深圳校考）．深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元．如果乘客白天乘坐出租车的路程公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为__________________ ． 解：当时， ， 真题感知 2．（2025.阜阳校考）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上的物体后，弹簧伸长．求弹簧总长y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）的函数表达式．（不用写出自变量的取值范围） 解：∵弹簧挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，且挂上的物体后，弹簧伸长， ∴挂上的物体后，弹簧伸长， ∵弹簧不挂重物时长， ∴弹簧总长． 真题感知 3.(2025.济南统考）父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（℃） 20 14 8 2 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答： (1)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，写出t与h的关系式； (2)你能计算出距离地面8千米的高空温度是多少吗？ （1）解：由表知：高度每增加1千米，温度下降 ∴ （2）解：将代入得： 答：距离地面8千米的高空温度是． 知 识 总 结 （1）核心概念： 关系式是用含自变量的代数式表示因变量的式子，是变量关系的重要表示方法. （2）核心技能： 能 识别自变量、因变量； 能根据情境列变量关系式； 能利用关系式双向代入求值. （3）两种变量表示方法： 表格法、关系式法，掌握二者的优缺点. 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 （1）列式四步法： 找变量→定自因→找等量→列式子. （2）求值方法： 已知自变量，直接代入代数式计算因变量； 已知因变量，列方程求解自变量. （3）解题思想：建模思想、数形结合思想、转化思想. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）概念易错：混淆自变量和因变量，列式时颠倒两个变量的关系. （2）列式易错：找错等量关系，代数式书写不规范（遗漏系数、符号错误）. （3）求值易错：代入数值计算时整式运算、解方程出错. （4）实际易错：忽略实际情境中自变量的取值限制 （边长、数量、时间等不能为负数、小数、零）. （5）认知易错：认为关系式适用于所有数值，脱离实际意义盲目计算. 课后练习 1.如图，圆锥的底面半径是2cm，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。 (1) 在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么? 解：(1) 圆锥的高是自变量， 圆锥的体积是因变量。 (2) 如果圆锥的高为 h(单位：cm)，那么圆锥的体积 V(单位：cm3)如何表示? (2) V =πh 。 (3) 当圆锥的高由 1 cm 变化到 10 cm 时，它的体积是如何变化的? (3) 体积从 π cm3变化到 π cm3。 课本Ｐ155页 课后练习 2.如图，梯形上底的长是x cm，下底的长是15 cm，高是 8 cm，面积是 y cm2。 写出 y 与 x 之间的关系式。 (2) 用表格表示当x 从4变到 14 时(每次增加 1)，y的相应值； (3) 当x 每增加1时，y 如何变化?说说你的理由。 (4) 当x =0时，y 等于什么?此时它表示的是什么? 解：(1) y = 4x + 60。 (2) 列表如下: x/cm 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y/cm2 76 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116 (3) 由上面的表格可知，当 x 每增加 1 时，y 相应增加 4。 (4) 当 x = 0 时，y = 4×0+60=60。此时它表示的是底边长为15， 高为 8 的三角形的面积。 课本Ｐ155页 谢谢聆听 △ABC 固定高 h = 6 cm（高线红色） 底边长 BC = 8.00 cm，面积 S = 24.00 cm² 操作：鼠标拖动右侧C点向左移动，底边缩短、面积变小；四块区域分别为红/橙/绿/紫彩色填充 重置图形 ←箭头向左=C点向B运动 $