§3　第2课时　空间图形的基本事实4及等角定理-2025-2026学年高一数学北师大版必修第二册课件：

该高中数学课件聚焦空间直线位置关系、基本事实4、等角定理及异面直线夹角，通过电线杆、日光灯管等生活实例导入，先回顾平面内直线位置关系，再引导发现空间中直线的平行、相交、异面情况，搭建从平面到空间的学习支架。 其亮点在于以生活实例和正方体模型培养数学眼光，通过探究题及一题多解（如正方体中异面直线夹角的平移、中位线、补形法）发展数学思维，用符号语言和图表规范数学语言。帮助学生提升空间想象与推理能力，为教师提供结构化探究式教学资源，提高教学效率。

第6章§3　空间点、直线、平面之间的位置关系 第2课时　空间图形的基本事实4及等角定理 自主预习·新知导学 一、基本事实4与等角定理 【问题思考】 1.观察图6-3-6中电线杆所在直线、电线 所在直线的位置关系. 回答下列问题. (1)在同一平面内,两直线有怎样的位置关系? (2)图中两根电线杆所在直线具有怎样的位置关系?电线所在直线与电线杆所在直线又具有怎样的位置关系? (3)观察一下,教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线,是什么样的位置关系? 图6-3-6 提示:(1)平行或相交. (2)两根电线杆所在直线互相平行,电线所在直线与电线杆所在直线相交或异面. (3)异面直线. 2.(1)基本事实4 表6-3-3 (2)空间两条直线的位置关系 表6-3-4 (3)定理(又称为等角定理) 文字语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 符号表示:OA∥O'A',OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°. 作用:判断或证明两个角相等或互补. 3.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于　　　. 解析:由题意知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°.根据等角定理,如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,所以∠PQR=30°或∠PQR=150°. 答案:30°或150° 二、异面直线的夹角 【问题思考】 1.如图6-3-7,已知两条异面直线a,b, 如何作出这两条异面直线的夹角? 提示:如图6-3-5,在空间任取一点O, 过点O作直线a'∥a,b'∥b,则两条相 交直线a',b'所成的锐角或直角θ即为 两条异面直线a,b的夹角. 图6-3-7 答图6-3-5 2.异面直线a,b的夹角的范围是什么?大小与什么有关?与点O的位置有关吗? 提示:(0°,90°];只与a,b的相互位置有关. 3.表6-3-5 定义 前提 两条异面直线a,b 作法 过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,这时a',b'共面 结论 我们把a'与b'所成的不大于90°的角称为异面直线a,b的夹角 特殊 情况 若两条异面直线a,b夹角是直角,则称这两条直线互相垂直,记作:a⊥b 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1与BC1的夹角的大小为　 .  解析:∵BB1∥AA1, ∴∠B1BC1即为异面直线AA1与BC1的夹角,其大小为45°. 答案:45° 合作探究·释疑解惑 探究一 探究二 探究三 探究一 基本事实4的应用 【例1】 如图6-3-8,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点. 求证:四边形B1EDF是平行四边形. 图6-3-8 证明:如答图6-3-6,设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1. ∵E是AA1的中点, ∴EQ A1D1. 又在矩形A1B1C1D1中,A1D1 B1C1,∴EQ B1C1. ∴四边形EQC1B1为平行四边形.∴B1E C1Q. 又Q,F分别是棱DD1,C1C的中点,∴QD C1F. ∴四边形QDFC1为平行四边形. ∴C1Q DF.∴B1E DF. ∴四边形B1EDF为平行四边形. 答图6-3-6 反思感悟 空间中证明两直线平行的方法: (1)借助平面几何知识证明,如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等. (2)利用基本事实4证明,即证明两直线都与第三条直线平行. 探究二 等角定理的应用 【例2】 如图6-3-9,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为A1C1,AC和AB的中点. 图6-3-9 求证:∠PNA1=∠BCM. 证明:因为P,N分别为AB,AC的中点, 所以PN∥BC. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为M,N分别为A1C1,AC的中点, 所以A1M NC. 所以四边形A1NCM为平行四边形, 故A1N∥MC. 因为∠PNA1与∠BCM的两条边分别对应平行,且对应边方向都相同,所以∠PNA1=∠BCM. 反思感悟 空间中证明两个角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形的相似或全等,还可以利用平行四边形的对角相等.在利用等角定理时,关键是弄清楚两个角对应边的关系. 探究三 求异面直线的夹角 【例3】 如图6-3-10,在空间四边形ABCD中, AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF= ,求异面直线AD,BC的夹角. 图6-3-10 分析:根据求异面直线夹角的方法,将异面直线AD,BC平移到同一平面内解决. 解:如答图6-3-7,取BD的中点M,连接EM,FM. 因为E,F分别是AB,CD的中点, 从而∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC的夹角. 因为AD=BC=2,所以EM=MF=1. 在等腰三角形MEF中, 过点M作MH⊥EF于点H,则H是EF的中点. 答图6-3-7 故∠EMF=2∠EMH=120°. 所以异面直线AD,BC的夹角为∠EMF的补角, 即异面直线AD,BC的夹角为60°. 反思感悟 求两条异面直线的夹角的一般步骤 (1)构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线的夹角. (2)证明:证明作出的角就是要求的角. (3)计算:求角度,常放在三角形内求解. (4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线的夹角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线的夹角. 一 题 多 解 【典例】 如图6-3-11,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF的夹角的大小. 分析:要求异面直线的夹角的大小,关键是作出异面直线的夹角,把它归结到三角形中,通过解三角形就可以得出答案.同时在解题时要注意异面直线的夹角的范围. 图6-3-11 解:(方法一:直接平移法) 如图6-3-12, 连接A1C1,B1D1交于点O,取DD1的中点G, 连接GA1,GC1,OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1, 故∠GOA1或其补角就是 异面直线DB1与EF的夹角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点, ∴GO⊥A1C1,即∠GOA1=90°. ∴异面直线DB1与EF的夹角为90°. 图6-3-12 (方法二:中位线平移法) 如图6-3-13,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE, ∵HE∥DB1,且HE= DB1, ∴∠HEF或其补角就是异面直线DB1与EF的夹角. 连接HF,设AA1=1, 图6-3-13 ∴HF2=EF2+HE2. ∴∠HEF=90°. ∴异面直线DB1与EF的夹角为90°. (方法三:补形法) 如图6-3-14,在原正方体的右侧 补上一个同样的正方体, 连接B1Q,DQ,则B1Q∥EF. 于是∠DB1Q或其补角就是异面直线DB1与EF的夹角,通过计算,不难得到B1D2+B1Q2=DQ2,即∠DB1Q=90°. 故异面直线DB1与EF的夹角为90°. 图6-3-14 方法总结 在研究异面直线的夹角的大小时,通常把两条异面直线的夹角转化为两条相交直线的夹角.需要强调的是,两条异面直线的夹角的范围为 ,解题时经常结合这一点去求异面直线的夹角的大小. $