精品解析：山东菏泽市2024-2025学年单县第一中学高一数学下学期第一次段考

山东菏泽市2024-2025学年单县第一中学高一数学下学期第一次段考 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解：的共轭复数为 对应点为，在第四象限，故选D. 点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分. 2. 中内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：A 4. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可. 【详解】解：因为向量，且，那么， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 5. 学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可设圆台的上、下底面半径分别为，，根据题意求出圆台的高和的值，即可求出圆台的体积． 【详解】根据题意，设圆台的上、下底面半径分别为，， 因为母线长为8，且母线与底面所成的角为， 所以圆台的高为，并且，得 所以圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为． 由此可得圆台的体积为． 故选：B． 6. 如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出AD，BD，再利用余弦定理计算作答. 【详解】依题意，在中，，则m， 在中，，则m， 在中，，由余弦定理得：， 即，解得m，即有， 所以他的步行速度为. 故选：D 7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 8. 已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出，根据为锐角三角形可求得角的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出，求出的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由余弦定理可得，则， 由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，则，，所以，， 又因为函数在内单调递增，所以，，可得， 由于为锐角三角形，则，即，解得， ， 因为，则， 因为存在最大值，则，解得. 故选：C. 【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法： ①利用和的最值直接求； ②把形如的三角函数化为的形式求最值； ③利用和的关系转换成二次函数求最值； ④形如或转换成二次函数求最值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数，下列说法错误的是（ ） A. 若，则或 B. 复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若z是复数，则 D. 若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于，结合特殊值法，即可求解；对于，结合向量的运算法则，即可求解；对于，结合特殊值法，即可求解；对于，结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，，B错误； 对于C，取，但知C错误； 对于D，设复数，则由可知， 故复数z对应的点所构成的图形面积为，D正确． 故选：ABC． 10. 给出下列命题，其中错误的选项有（ ） A. 非零向量，满足且与同向，则 B. 已知且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若单位向量的夹角为，则当取最小值时， D. 在中，若，则为等腰三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，向量具有大小和方向的量，无法比较大小，A错误；B选项，向量夹角为锐角，要满足夹角的余弦大于0且夹角余弦值不等于1，求出且，B错误；C选项，利用向量的数量积运算法则计算得到，得到时，取得最小值，C错误；D选项，从向量的几何意义得到表示的平分线方向上的向量，由三线合一得到是等腰三角形. 【详解】向量无法比较大小，故A错误； ，要想与的夹角为锐角， 则，且， ，且，解得：且，B错误； ， 当时，取得最小值，C错误； 在中，表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 则表示的平分线方向上的向量， 由得：的平分线方向上的向量与垂直， 由三线合一可知：，则为等腰三角形，D正确. 故选：ABC 11. 如图所示，已知正方体的棱长为分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点与两点不重合时，平面截正方体所得的截面是六边形 B. 平面截正方体所得的截面可能是三角形 C. 一定是锐角三角形 D. 面积的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】依据平面的性质画出平面截正方体所得的截面判断选项AB；举反例否定选项C；求得面积的最大值判断选项D 【详解】如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段MP向两端延长， 分别交CD，CB的延长线于点O，Q，连接NO，NQ分别交，于R，S两点， 连接RM，SP，MP此时截面为五边形MPSNR，所以A错误； 当点P与点A或点B重合时，截面为四边形. 综上，平面截正方体所得的截面为四边形或五边形.不可能是三角形，所以B不正确； 考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以C错误； 如图，为中点，连接，则，且面， 延长分别交延长线于，则， 若分别为中点，易知：面，且，， 易证：面面，即在面上的投影为， 令，面面，则面，面， 所以，若，，则面，面， 所以，即为P到直线MN的距离， 如下图，随从A到B移动过程中，逐渐变大，而不变，故也在变大， 所以当P与点B重合时，点P到直线MN的距离取到最大值， 的面积取到最大值，此时，， 则MN边上的高为， △的面积为，即最大值为，D判断正确． 故选：D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的概念列式即可求得的值. 【详解】因为是纯虚数，所以，解得. 故答案为：. 13. 记面积为，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 14. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, 又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量，，. （1）求； （2）若，，求的值； （3）若，，，求证：A，，三点共线. 【答案】（1）1 （2）2 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ，所以，解得：，所以； 【小问3详解】 因为，所以，所以A，，三点共线. 16. 如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形. （1）求挖掉的直三棱柱的体积； （2）求剩余几何体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE， 由球的性质知是所在小圆直径，又是一个长为的正方形， 因此，球半径为， 挖掉的直三棱柱的体积； 【小问2详解】 由（1）知，，，，半球表面积＝， 所以剩余几何体表面积为 半球表面积－＝． 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； （1）求B； （2）若，试判断的形状. （3）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）为等边三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合正弦定理分析求解； （2）根据题意结合余弦定理分析求解； （3）根据题意利用基本不等式可得，代入面积公式运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 即，所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 由余弦定理可得：， 又因为，即， 可得，整理得，即， 所以为等边三角形. 【小问3详解】 由（2）可知：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积的最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F． （1）求证：平面； （2）求证：F为的中点； （3）在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）存在N使得平面，，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，易知，再由线面平行的判定证结论； （2）由，根据线面平行的判定有面，再由线面平行的性质可得，结合已知即可证结论. （3）为中点，连接，由已知易证为平行四边形，则，再由线面平行可证面，即可判断存在性. 【小问1详解】 连接交于，连接，如下图： 由为平行四边形，则为中点，又E为棱的中点， 所以为中位线，则， 又面，面，故平面； 【小问2详解】 由题设知：，面，面， 所以面，又面，面面， 所以，又E为棱的中点，即是△的中位线， 故F为的中点； 【小问3详解】 存在N使得平面且，理由如下： 为中点，连接， 由题设且，由（2）知且， 所以且，即为平行四边形， 所以，而面，面， 所以面，故所求点即为点， 则上存在点N使得平面，且. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用正余弦定理余弦定理边角互化解三角形即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； （3）易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由P为上的一动点，可得，进而可求的取值范围. 【小问1详解】 依题意，由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理，， 则，则， 因为，所以； 【小问2详解】 由为锐角三角形，， 可得，解得， 由正弦定理，则， ，，， ； 【小问3详解】 由正弦定理，则，则， 由，可得，则， 则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ， 由，，则，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东菏泽市2024-2025学年单县第一中学高一数学下学期第一次段考 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 中内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数，下列说法错误的是（ ） A. 若，则或 B. 复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 C. 若z是复数，则 D. 若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 10. 给出下列命题，其中错误的选项有（ ） A. 非零向量，满足且与同向，则 B. 已知且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若单位向量的夹角为，则当取最小值时， D. 在中，若，则为等腰三角形 11. 如图所示，已知正方体的棱长为分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点与两点不重合时，平面截正方体所得的截面是六边形 B. 平面截正方体所得的截面可能是三角形 C. 一定是锐角三角形 D. 面积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是纯虚数，则___________. 13. 记面积为，，，则______. 14. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量，，. （1）求； （2）若，，求的值； （3）若，，，求证：A，，三点共线. 16. 如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形. （1）求挖掉的直三棱柱的体积； （2）求剩余几何体的表面积. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； （1）求B； （2）若，试判断的形状. （3）若，求的面积的最大值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F． （1）求证：平面； （2）求证：F为的中点； （3）在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $