山东菏泽市2024-2025学年单县第一中学高一数学下学期第一次段考

**基本信息** 高一下学期第一次段考数学试卷，涵盖复数、解三角形、向量、立体几何等核心知识，通过信号塔仰角测量、绿萝盆圆台体积等真实情境设计问题，注重基础巩固与能力提升，检测数学眼光、思维及语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数坐标、解三角形、向量投影|基础概念辨析，如共轭复数象限判断| |多选题|3/18|复数性质、向量夹角、正方体截面|易错点辨析，如向量同向比较| |填空题|3/15|纯虚数、三角形面积、四边形动态最值|小综合应用，如动点向量模最小值| |解答题|5/77|向量共线、立体几何体积表面积、解三角形最值|综合探究，如三角形周长范围、四棱锥中点存在性|

高一下学期第一次段考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（    ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 3．已知平面向量，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D． 4．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（    ） A． B． B． C． D． 7．如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知锐角中，内角、、的对边分别为、、，，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．关于复数，下列说法错误的是（    ） A．若，则或 B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若z是复数，则 D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为 10．给出下列命题，其中错误的选项有（    ） A．非零向量，满足且与同向，则 B．且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C．若单位向量的夹角为，则当取最小值时， D．在中，若，则为等腰三角形 11．如图所示，已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．当点P与A，B两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形 B．平面截正方体所得的截面可能是三角形 C．一定是锐角三角形 D．面积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数是纯虚数，则 . 13．的面积为，，，则 ． 14．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)设向量，，. (1)求； (2)若，，求的值； (3)若，，，求证：A，，三点共线. 16．(15分)如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形. (1)求挖掉的直三棱柱的体积； (2)求剩余几何体的表面积. 17．(15分)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设； (1)求B； (2)若，试判断的形状. (3)若，求的面积的最大值． 18．(17分)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F． (1)求证：平面； (2)求证：F为的中点； (3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．(17分)在中，角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 参考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A A C B D D C ABC ABC AD 12．1 13． 14． 8．由余弦定理可得，则， 由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，则，，所以，， 又因为函数在内单调递增，所以，，可得， 由于为锐角三角形，则，即，解得， ， 因为，则， 因为存在最大值，则，解得. 11．如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段MP向两端延长， 分别交CD，CB的延长线于点O，Q，连接NO，NQ分别交，于R，S两点， 连接RM，SP，MP此时截面为五边形MPSNR，所以A正确； 当点P与点A或点B重合时，截面为四边形. 综上，平面截正方体所得的截面为四边形或五边形.不可能是三角形，所以B不正确； 考虑，当点P与点A重合时，，，，此时因为，故为钝角，所以C判断错误； 如图，为中点，连接，则，且面， 延长分别交延长线于，则， 若分别为中点，易知：面，且，， 易证：面面，即在面上的投影为， 令，面面，则面，面， 所以，若，，则面，面， 所以，即为P到直线MN的距离， 如下图，随从A到B移动过程中，逐渐变大，而不变，故也在变大， 所以当P与点B重合时，点P到直线MN的距离取到最大值， 的面积取到最大值，此时，， 则MN边上的高为， △的面积为，即最大值为，D判断正确． 故选：AD． 14． ，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, ∵又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 15．(1)1 (2)2 (3)略 16．（1）记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE， 由球的性质知是所在小圆直径，又是一个长为的正方形， 因此，球半径为， 挖掉的直三棱柱的体积； （2）由（1）知，，，，半球表面积＝， 所以剩余几何体表面积为 半球表面积－＝． 17．（1）因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 即，所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得：， 又因为，即， 可得，整理得，即， 所以为等边三角形. （3）由（2）可知：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积的最大值为. 18．（1）连接交于，连接，如下图： 由为平行四边形，则为中点，又E为棱的中点， 所以为中位线，则， 又面，面，故平面； （2）由题设知：，面，面， 所以面，又面，面面， 所以，又E为棱的中点，即是△的中位线， 故F为的中点； （3）存在N使得平面且，理由如下： 为中点，连接， 由题设且，由（2）知且， 所以且，即为平行四边形， 所以，而面，面， 所以面，故所求点即为点， 则上存在点N使得平面，且. 19．【详解】（1）依题意，由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则，因为，所以； （2）由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是； （3）由正弦定理，则，则， 由，可得，则， 则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ， 由，则，则． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $