2025-2026学年【新教材课件】高一数学人教A版必修第二册：8.3.2-圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

该高中数学课件聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积，通过“要点整合”从平面展开图（如圆柱矩形、圆锥扇形）过渡到空间几何体，结合填一填、提示（如圆锥母线与半径关系推导）搭建学习支架，衔接立体几何初步知识脉络。 其亮点是“典例讲练”与“变式训练”结合，通过轴截面转化（如圆台扇环圆心角、球切接问题）培养数学眼光中的空间观念，例题推理（如圆锥体积计算）提升数学思维的推理能力，课堂小结结构化知识助力数学语言表达，学生能深化空间想象与运算能力，教师可高效实施分层教学。

第八章　 立体几何初步 8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课时作业 要点整合夯基础 典例讲练破题型 课堂达标练经典 [目标] 1.会求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积；2.会求圆柱、圆锥、圆台的侧面积；3.了解球的体积和表面积公式． [重点] 求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积． [难点] 圆台的侧面积和体积． 要点整合夯基础 知识点一　　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 [填一填] 1．圆柱的表面积 (1)侧面展开图：圆柱的侧面展开图是 ，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长． (2)面积：若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝ ，表面积S表＝ ． 矩形 2πrl 2πr(l＋r) πrl πr(l＋r) 2．圆锥的表面积 (1)侧面展开图：圆锥的侧面展开图是 ，扇形的半径是圆锥的 ，扇形的弧长等于圆锥的 ． (2)面积：若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝ ，表面积S表＝ ． 扇形 母线 底面周长 3．圆台的表面积 (1)侧面展开图：圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到． (2)面积：圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积S侧＝ ，表面积S表＝ ． 4．球的表面积 若球的半径为R，则它的表面积S＝ . π(r＋r′)l π(r2＋r′2＋rl＋r′l) 4πR2 [答一答] 1．圆锥的侧面展开图为一扇形，怎样根据扇形圆心角度数α°推导出母线l与底面半径r的关系？ 提示：圆锥侧面展开图中扇形弧长为圆锥底面周长，而扇形弧长又是以l为半径圆周长的eq \f(α°,360°)，于是有eq \f(α°,360°)·2πl＝2πr，即r＝eq \f(α°,360°)l. 知识点二　　　圆柱、圆锥、圆台、球的体积 [填一填] 1．圆柱的体积 (1)圆柱的高是指 之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)若圆柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝ . 两底面 πr2h 2．圆锥的体积 (1)圆锥的高是指从顶点向底面作垂线， 与 (垂线与底面的交点)之间的距离． (2)若圆锥的底面半径为r，高为h，其体积V＝ . 顶点 垂足 eq \f(1,3)πr2h 3．圆台的体积 若圆台的上、下底面半径分别为r′、r，高为h，其体积V ＝ ． 4．球的体积 若球的半径为R，那么它的体积V＝ . eq \f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2) eq \f(4,3)πR3 [答一答] 2．用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系． 提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如下图所示．若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d.在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2. 典例讲练破题型 类型一　　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算 [例1]　(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq \r(2)π，则圆锥的体积是(　　) A.eq \f(64π,3)　　　B.eq \f(128π,3)　　　C．64π　　　D．128eq \r(2)π (2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm、20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________ cm2.(结果中保留π) A 1 100π [分析]　(1)利用圆锥的轴截面得到圆锥的底面半径和高，进而求其体积；(2)利用圆弧与圆心角及半径的关系得到圆台的母线长，再利用表面积公式进行求解． [解析]　(1)设圆锥的底面半径为r，母线为l， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ∴2r＝eq \r(l2＋l2)，即l＝eq \r(2)r， 由题意得，侧面积S侧＝πrl＝eq \r(2)πr2＝16eq \r(2)π， 解得r＝4，∴l＝4eq \r(2)， 圆锥的高h＝eq \r(l2－r2)＝4， ∴圆锥的体积V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×π×42×4＝eq \f(64π,3).故选A. (2)如图所示，设圆台的上底面周长为c cm， 因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10 cm，所以SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以S表面积＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)． 故圆台的表面积为1 100π cm2. 解决旋转体的有关问题常需要画出其轴截面图，将空间问题转化为平面问题来解决.对于与旋转体有关的组合体问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积. [变式训练1]　把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积． 解：设圆柱的底面半径为r，母线长为l. 如图所示，当2πr＝4，l＝2时 ，r＝eq \f(2,π)，h＝l＝2， ∴V圆柱＝πr2h＝eq \f(8,π)， 当2πr＝2，l＝4时，r＝eq \f(1,π)，h＝l＝4， ∴V圆柱＝πr2h＝eq \f(4,π). 综上所述，这个圆柱的体积为eq \f(8,π)或eq \f(4,π). 类型二　球的表面积和体积的计算 [例2]　(1)两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为(　　) A．23　　　 B．49 C.eq \r(2)eq \r(3) D.eq \r(8)eq \r(27) (2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________． B eq \r(3,2) (3)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm. [分析]　利用球的表面积和体积公式以及圆柱的体积公式进行求解． 4 [解析]　(1)两个球的体积之比为827，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为23，从而这两个球的表面积之比为49，故选B. (2)两个小铁球的体积为2×eq \f(4,3)π×13＝eq \f(8π,3)，设大铁球的半径为R，则大铁球的体积eq \f(4,3)π×R3＝eq \f(8π,3)，所以大铁球的半径为eq \r(3,2). (3)设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r. 则有πr2·6r＝8πr2＋3·eq \f(4,3)πr3， 即2r＝8，所以r＝4 cm. 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 1关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝eq \a\vs4\al(\f(4,3)πR3)是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了. 2两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方. [变式训练2]　一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积． 解：当截面在球心同侧时，如图①所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1∥BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2. 设球的半径为R， ∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7 cm， 同理，得O1A＝20 cm. 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9) cm， 在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，　　　① 在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2, ② 联立①②可得x＝15，R＝25. ∴S球＝4πR2＝2 500π cm2，故球的表面积为2 500π cm2. 当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B. 设球的半径为R， ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm， ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20 cm， 设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x) cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400， 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49. ∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为2 500π cm2. 类型三　　几何体的“切”“接”问题 [例3]　(1)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　) A．4π(r＋R)2　　　　　　 B．4πr2R2 C．4πrR D．π(R＋r)2 (2)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝4，AC＝3，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A.eq \f(3\r(17),2)　　B．2eq \r(10)　　　C.eq \f(13,2)　　　D．3eq \r(10) C C [分析]　(1)作出球与圆台相切的轴截面． (2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形即可求得球O的半径． [解析]　(1)如图为球与圆台的轴截面，过D作DE⊥BC，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r，由勾股定理得4req \o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq \r(Rr)(舍负)．故球的表面积为S球＝4πreq \o\al(2,1)＝4πRr. (2)如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)，OM＝eq \f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq \r(\f(5,2)2＋62)＝eq \f(13,2). 解决几何体与球相切或相接的策略 1要注意球心的位置，一般情况下，由于球的对称性，球心在几何体的特殊位置，比如几何体的中心或长方体对角线的中点等. 2解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算. [变式训练3]　如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq \r(3)的圆柱，求圆柱的表面积． 解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S. 则R＝OC＝2，AC＝4， AO＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3). 如图所示，易知△AEB∽△AOC， ∴eq \f(AE,AO)＝eq \f(EB,OC)，即eq \f(\r(3),2\r(3))＝eq \f(r,2)，∴r＝1. S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2eq \r(3)π. ∴S＝S底＋S侧＝2π＋2eq \r(3)π＝(2＋2eq \r(3))π. 课堂达标练经典 1．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于(　　) A.eq \f(1,2) B．1 C．2 D．3 解析：设球的半径为r，则由题意得eq \f(4,3)πr3＝4πr2，解得r＝3. D 2．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　) A.eq \f(2\r(3),3)π B．2eq \r(3)π C.eq \f(7\r(3),6)π D.eq \f(7\r(3),3)π D 解析：设圆台的高为h，上底面的半径为r，下底面的半径为R，母线长为l.由题可知πr2＝π，πR2＝4π，则r＝1，R＝2.又因为圆台的侧面积为6π，所以πl(r＋R)＝6π，所以l＝2.因为h2＋(R－r)2＝l2，所以h＝eq \r(3).故圆台的体积V＝eq \f(1,3)×(π＋4π＋eq \r(4π2))×eq \r(3)＝eq \f(7\r(3),3)π. 3．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球 半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为 . eq \f(9,32)或eq \f(3,32) 解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，设球的半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是eq \f(r,2)，于是圆锥的底面半径为eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2)＝eq \f(\r(3)r,2)，高为eq \f(3r,2).∴圆锥的体积为eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)r,2)))2×eq \f(3r,2)＝eq \f(3,8)πr3，球体积为eq \f(4,3)πr3.∴该圆锥的体积和此球体积的比值为eq \f(\f(3,8)πr3,\f(4,3)πr3)＝eq \f(9,32). ②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为eq \f(3,32). 4．如图所示的几何体是一棱长为4的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2、深为1的圆柱形的洞 ，则挖洞后几何体的表面积是 . 96＋2π 解析：原正方体的表面积为4×4×6＝96， 圆柱的侧面积为2π×1＝2π， 则挖洞后几何体的表面积约为96＋2π. 5．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积． 解：如图所示，作出轴截面， 因为△ABC是正三角形，所以CD＝eq \f(1,2)AC＝2， 所以AC＝4，AD＝eq \f(\r(3),2)×4＝2eq \r(3)， 因为Rt△AOE∽Rt△ACD， 所以eq \f(OE,AO)＝eq \f(CD,AC). 设OE＝R，则AO＝2eq \r(3)－R， 所以eq \f(R,2\r(3)－R)＝eq \f(1,2)，所以R＝eq \f(2\r(3),3). 所以V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))3＝eq \f(32\r(3)π,27). 所以球的体积等于eq \f(32\r(3)π,27). ——本课须掌握的三大问题 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键． 2．球的表面积和体积仅与球半径有关，因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题解决． 3．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算． $