命卷大赛 广西玉林市玉州区2026届高三数学下学期阶段测试卷（统计与概率）

**基本信息** 聚焦统计与概率模块，以茶文化满意率拟合、健步走数据统计等现实情境为载体，通过分层设问考查数据处理、概率计算及模型应用，体现数学眼光观察、思维推理与语言表达的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|线性回归、正态分布、二项式定理|题2以茶文化为背景考查非线性回归方程求解| |多选题|3/18|排列组合、二项式系数、随机变量|题5综合7个计数问题辨析，考查逻辑推理| |填空题|3/15|众数中位数、概率计算|题13结合健步走数据统计表考查数据特征| |解答题|5/77|条件概率、回归分析、独立性检验|题16以工厂零件检测为情境，综合全概率公式与贝叶斯公式应用|

2026年“学科网杯”中小学教师命卷大赛 高三数学下学期阶段测试卷 (考查内容：人教A版一轮复习一 统计、计数原理、二项式定理、概率、随机变量及其分布) 命题人：广西玉林市玉州区玉林市第十中学林已莹 参考答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A A A C C D A ABC BCD ACD 1.B【详解】由=0.7x+7.5,可知6=-0.7，呈现负相关，所以A正确： 由题意可知x=2+4+6+8=5,可=6++3+2_1+心，样本中心点 4 4 4 代入得1+”=-07×5+75，解得m=5,所以C正确，所以样本中心点为(5,49，所以D正确。 4 ∑(s-)(好-) （-3)×2+(-1)×1+1×-0+34-2 -14 样本相关系数 10W2 ≈0.99」 公s-司男-列 V(9+1+1+9)(4+1+1+4 所以B不正确故选：B 2.A【详解】根据己知数据可得=1+2+3+4+5)=3，令t=血(100y),则 0=(00四经16*06=（琳V中=S+S步+比+99+为 令x=3,故可得t=0.043×3+4.291=4.42,故A正确：对BCD,同理可得，对函数模型变形为线性 回归方程后，样本中心点不经过线性回归方程，故错误.故选：A. 3.A【详解】X~N(30,2),∴L=30,o=2,.P(26≤X≤34)=P(-2o≤X≤4+2o)≈0.9545， P(X>34)=P(x>u+2o)1-0,9545=0.0279, 2 ∴P=P(X≥26)=P(26≤X≤34)+P(X>34)=0.9545+0.02275=0.97725≈0.977.故选：A. 4.A【详解】因为1-2x)3的展开式中x2的系数为C·(-2)2=40,x3的系数为C·(-2)3=-80,所以 答案第1 (x-01-2的展开式中r2的系数为40x1+(-80)×(④=40+80a,由40+80a=20得a=-1 4 5.C【详解】对①，根据分步乘法计数原理，有3×3×3×3=34=81种，故①错误；对②，末尾安排 0时，有A=24个偶数，末尾安排2或4时，有AAA=2×3×6=36个偶数，由分类加法计数原 (n-14 三2 =nA,故 理可知，共有24+36=60个得数，故②正确：对于®，a-)m- ③正确：对于④，方程C6=C%5的解有两种情况：上标相同：x2-x=5x-5,解得所以x=1或x=5. 上标互补：x-x=16-(5x-5)=21-5x,即(x+7)(x-3)=0,解得x=-7或x=3.经检验有效解为 x=1和x=3,故④正确：对于⑤，从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至 >取到1件次品的取法有〈c2+C11）种，故⑤错误；对于⑥，隔板法，可以把问题看做由3不一 隔板插入10个相同元素中的9个空里，把10个元素分为4份，故共有c8=2种，放@正确翻 对于⑦，先分组，再排列，第一类，将5个不同的小球分为数量为31小、1的三组，再排列，有CA =60种；第二类，将5个不同的小球分为数量为2、2、1的三组，再排列，有 A号XA=90种， 共有60+90=150种，故⑦正确.故正确的有②③④⑥⑦，共5个，选C 6.C【详解】对于A,由于20x60%=12,所以样本数据的60%分位数为2十，因为2≤x3, 2 所以十不一定等于x2·A正确；对于B,若剔除某个数据=2,3，，19)，则得到新样本数 据的极差等于原样本数据的极差；若剔除x,或x2如，则得到新样本数据的极差小于原样本数据的极 差B正确：对于C,设5,5，，5的平均数为，方差为，则=10×2+10×6=4， 20 20 -8+(24门8[2+(6-4门号所以x的方差为号c信误： 20L 对打D,假设末妆误写伯10个数据之和为a,则a的品8无a司警 a+88_4+68=8-68-1.D正确，不正确的选：C 所以-=20+20(20202020 7.D【详解】A选项，根据频率分布直方图的性质，10×(0.005+a+0.020+0.040+0.020)=1, 解得a=0.015,A选项错误：B选项，前4个矩形条的面积为1-10×0.02=0.8>0.75， 页，共5页 前3个矩形条的面积为：1-10×(0.02+0.04)=0.4<0.75，故样本数据的75%分位数落在80,90]中， 设样本数据的75%分位数为x,于是(x-80)×0.04+0.4=0.75,解得x=88.75,B选项错误； C选项，根据直方图可以看出，低于60分的频率为：0.005×10=0.05， 于是估计全市学生不及格的人数为：100000×0.05=5000，C选项错误；D选项，由题意，平均数为： 10×(55×0.005+65×0.015+75×0.02+85×0.04+95×0.02)=80.5,D正确，故选：D 8.A【详解】设抽查的5个险种参保客户的总人数为α，A选项，从扇形图可得到54周岁以上参保 人数占比为8%，人数最少，A正确；B选项，18~29周岁人群人均参保费用高于3500元，故参保 总费用高于3500×20%a=700a,54周岁以上人群人均参保费用为6000元，故参保总费用为 6000×8%a=480a,由于700a>480a,故1829周岁人群参保总费用不是最少的，B错误： C选项，从条形统计图可看出丁险种所占比例为0.55，比其他险种均高，故丁险种更受参保人青睐， C错误；D选项，30周岁以上的人群约占参保人群为39%+33%+8%=80%，D错误.故选：A 9.ABC【详解】解：二项式(1-2x)9,对于A,二项式系数之和为29=512，令x=1可得各项系数 之和为：1，故A正确；对于B,因为第3项二顶式系数为©号筇8项的二顶式系数为©日，c写_C日， 由于=9为奇数，中间两项即第5项与第6项的二项式系数最大，故B正确： 对于C,通项Tk+1=C19-k(-2x)k=C$(-2)xk(k=0,1,9)，当k=0,代入求出常数项为1；当 k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9时，对应的项为有理项，共10个项，故C正确： 对于D,令x=-1可得a0a1+a2-ag=39=1968 ① 令x=1可得0+a1+.+9=-1②， ②-①相减可得：2(a+s+a5++a)=-1-19683=-19684, 所以a1+3+a5++a9=-9842,故D错误.故选：ABC. 10.BCD【详解】解：对于选项A,若3个女生必须相邻，则不同的排法有AA=720种，选项A 错误：对于选项B,若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有AA号·A子=2880种， 选项B正确：对于选项C,若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有 A7-2A8+A-3720种，即选项C正确：对于选项D,若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同 的排法有A=840种，即选项D正确.故选：BCD. 答案第2 「E(X)=1吧=40 11.ACD【详解】由题意，得 D)=p0-p列=30”解得p-寻故A正确： 由D(aX+b)=dD(),故将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后， 则方差也随之扩大为4倍，放B错误：由题意，得P(5>0)-号P(5>2)-p,P(0<5<2)-p, 由正态曲线的对称性，得P(-2<5<0)=P(0<5<2)= p,故c正确： 园4=P(X=kEC08*02，(这里k0,1210),4=90n=49，当4>1 aC00.8-10.2tk C4k-1 时，k<8.8,即0≤k≤8时，a,}递增，当41时，k>8.8,即9≤k≤10时{a}递减， 4k1 又马x0gx02?1,故4>6，所以k=8,即当x=8时概率最大，故D正确，选：ACD `4C0×0.89×0.281 12.青08【详解】因为P(a)=P(B)+P(国，P)-,P()=号所以PB)-子 4 因为P(AB)=P(aB 所以P(B)= P(AB)34 P(B)1 P(4B)15. 13.1.4、1.35【详解】由众数的定义，根据表格知走1.4万步共有12天，即众数为1.4， 由中位数的定义，根据表格知第15、16个数据分别为1.3、1.4，即中位数 1.3+1.4=1.35 2 14. 175 256 【详解】由题意，每局第一个答题是甲或乙，概率均为}，且每局不可能出现平局， 设事件A表示某一局甲获胜，则甲得分有两种情况：3分或2分， 若甲第一个答题， 甲得3分：3题甲都答对，故其概率为白= 甲得2分：3题对错依次为甲对甲对甲错、甲对甲错乙错、甲错乙错甲对，故其概率为 11品 若乙第一个答题， 甲得3分：3题对错依次为乙错甲对甲对，故其概率为0-字×2×26' 1、.1.11 甲得2分：3题对错依次为乙对乙错甲对、乙错甲对甲错、乙错甲错乙错，故其概率为 页，共5页 综上，一局比拼，甲家的概率为P(④册》片G号， 所以甲在这场比中的率为--}-器 15.【详解】记A=“石头”，B=“剪刀”，C=“布”， .1分 则样本空间2={(A,A),(A,B),(A,C),(B,),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C},总数为9,2分 事件M包含的样本点为(B,B),事件N包含的样本点为(A,A),(B,B),(C,C), 事件T包含的样本点为(A,C),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),….4分 M与T互斥，N与T不互为对立事件6分 又事件N包含的样本点为(B,B),7分 PW)=PW0)-号P(-=音-号P(M=P(WP(a不成立.9分 .M与N不独立10分 即M与T互斥，N与T不互为对立事件，M与N不独立， (2)由(1)可知，样本空间2={(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C}, 总数为9，事件T包含的样本点为(A,C),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),11分 g根据古典概型P①)，l2分 又P(M-行P（M-号}P-P<P.得证1B分 16.【详解】（1)设事件A表示“零件是次品”，B表示“自动检测判断零件为次品”， 事件A,A分别表示零件是一等品、二等品，】分 则P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=0.1×0.9+0.2×0.05+0.7×0=0.1. …4分（公式1分，代数据1分，结果1分) (2)由(1)知P(®)=0.1，则P(4B) P(AB)_P(4P(B4）-0.1x0.90.9.8分 P(B) P(B) 0.1 (公式2分，代数据1分，结果1分) 答案第3 所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为0.9..9分 (3)设事件C表示“零件需要进行人工抽检”，D表示“人工抽检的零件为一等品”，10分 则P(C)=0.7+0.2×0.15=0.73,12分（代数据1分，结果1分) P(CD)=0.7… ..13分 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为 P(CD)0.770 (Dc)-p(c)0.7373 .15分（公式1分，代数据结果1分) 17.【详解】解：(1)由题意知，10(x-x)2=152,10(y1-y)2=252, 1分 10x=380,10=390,所以x=1X380=38,y=1X390=39,2分 10 10 i=1 i=1 .（,y)代入经验回归方程中，得=39-1.56X38=-20.8,3分 所以n(x-x)-y)=。（n b (x:-x)2)=1.56X15, i-1 i=1 4分 (x:)(y) i=1 所以相关系数为 =1.56×152=0936, n (x:-)22(y:-y) n 15×25 i=1 .6分（公式1分，代数据结果1分) 由0.75≤≤1，所以城市居民年收入与A商品销售额的相关性很强. 7分 （2油分层随机抽样方法知抛取的5户居民巾有巾等收入居民4户，他们购买4商品的概率为号 有高收入居民1户，他们购买A商品的概率为3 8分 分层随机抽取5户居民，则z的可能取值有0,1,2,3,4,5；.9分 计算P(=0)=cgX()x}= 464 P=》=cx哈)‘×是cgx哈)×星- 4 464 页，共5页 4 432 P=3》=cx哈)'×是cx)x星= 432 4 464 464 12分（算对任意两个概率得1分，全对得3分） 所以z的分布列为： 0 1 2 3 4 P 1 64 9 11 13 3 32 32 64 64 .13分 数学期望为E(z) =0×1+1×7+2×9+3×11+4x13+5×3=11 64 64 32 32 64 644 ...... 15分 (列式1分，结果1分)》 18.【详解】解：(1)由题意，μ=68,6=6， .1分 由正态分布曲线的对称性可知， P(x<56)=1[1-P(68-12<X<68+12)] 2 -2[1-p(u-2g<XK+20)]-2×(1-0.954)=0.028. …3分 (列式代数据1分，结果1分) 设一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，其中果径小于56m的有个，则~B（10,0.0228), ….4分 故P(E≥1)=1-P(ξ=0)=1-（1-0.0228)10=1-0.977210=0.2060. 6分 (列式代数据1分，结果1分) ∴.一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，会买到果径小于56m的概率为 0.20607分 答案第 (2)（1)由题中所给数据，可得t2.2,y=23,8分 10 t:y:10ty b=i=1 569-10×2.2×23 t:2-102 10 50.92-10×2.22 =25,10分 i=1 a=y-bx=23-25×2.2=-32 .11分 模型②中y关于x的线性回归方程为y=251nx-32:12分 02.28 36.19 (i)由表格中的数据，有102.28>36.19，即10 10 .14分 (y1-7)2 (y:7)2 i=1 i=1 .模型①的R2小于模型②，说明模型（②刻画的拟合效果更好..15分 当x=20时，模型②的年利润增量的预测值为： y=25×1n20-32=25×(21n2+1n5)-32≈25×(2×0.6931+1.6094)-32=42.89万元. .17分 19. 【详解】(I)因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4， 所以网购金额在(2500,3000]的频率为0.4-0.3=0.1,1分 即q=0.1,且y=100×0.1=10, 2分 从而x=15,0.15,相应的频率分布直方图如图所示. 1频率 组距 0.6 0.5……… 0.4 0.3… 0.2 0.1 0.511.522.53网购金额千元) …4分 4页，共5页 (Ⅱ)相应的2×2列联表为： 网龄3年以上 网龄不足3年 总计 购物金额在2000元以上 35 5 40 购物金额在2000元以下 40 20 60 总计 75 25 100 .6分 n(ad-bc)月 100(35×20-40×5)2 由公式k2-(a+b)(c+d)(a+c)b+d)= ≈5.56 40×60×75×25 …8分（列式代数据1分，结果1分) 因为5.56>5.024， .9分 所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3 年以上有关、 .10分 (Ⅲ)在(2000,2500]和(2500,30001两组所抽出的8人中再抽取2人各奖励1000元现金，则(2000， 2500]组获奖人数X为0,1,2， 12分 且Px=0)=cC,PK=1ycS, P(X=2)= C 15分（各1分） 故(2000,2500]组获得现金奖的数学期望E(X)=0× CC CC C 2+1000× 2+2000× =1500. 17分 (列式代数据1分，结果1分) 答案第5页， 共5页2026年“学科网杯”中小学教师命卷大赛 高三数学下学期阶段测试卷 (考查内容：人教A版一轮复习一 统计、计数原理、二项式定理、概率、随机变量及其分布) 命题人：广西玉林市玉州区玉林市第十中学林已莹 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知变量x,y之间的线性回归方程为y=0.7x+7.5,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示，则 下列说法错误的是() 2 4 6 8 6 L 3 2 A.变量x,y之间呈现负相关关系 B.变量x,y之间的相关系数r=-0.7 C.的值等于5 D.由表格数据知，该回归直线必过点(5,4) 2.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“排骨茶”， 为了解每壶排骨茶中所放茶叶克数x与食客的满意率y的关系，调查研究发现，可选择函数模型 J= e+来拟合y与x的关系，根据以下统计数据： 100 茶叶克数x 2 In(100y) 4.34 4.36 4.44 4.45 4.51 可求得y关于x的非线性经验回归方程为() A.y0e08+4a B.=109 100 c.y=100 1 -0.043x4291 D.y=,人e0e429 试卷第 3.某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X,则X：N(30,2).记一天中旅客人数不少于26万 人的概率为P,则P的值约为() (参考数据：若X~N(u,σ2)，则P(u-o≤X≤u+o)≈0.6827，P(u-2o≤X≤u+2o)≈0.9545， P(u-3σ≤X≤u+3σ)≈0.9973) A.0.977 B.0.972 C.0.954 D.0.683 4.若(x-a1-2x)3的展开式中x的系数为20，则a=() A房 B.寻 D. 5.关于下列问题，正确的有() ①4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有64 种：②用0,12,3,4这5个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为60：③A=A1(mn为 正整数且n>m>1);④满足方程C6=C%的x值可能为x=1或x=3;⑤从含有2件次品和98件正 品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有c!“C1种；⑥将10个“三好生”名额分 299 给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法；⑦将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个 盒子至少放1个，共有150种放法. A.1个 B.3个 C.5个 D.7个 6.已知一组样本数据，，，如(；≤为3≤…≤20)，下列说法不正确的是() A.该样本数据的60%分位数不一定为x2 B.剔除某个数据：x(i=1,2,3,,20)后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 C.若5，x2,,0的平均数为2，方差为1,51,2，，x0的平均数为6，方差为2，则，七3，，x0的方 差为5 D.若记录样本数据时，错把一个数据68写成88，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为1 1页，共5页 7.某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能 B.展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，二项式系数最大的项是第5和第6项 力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图根据频率分布直方图，下 C.常数项为1，有理项共10项 列说法正确的是() D.若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+…+agx9,则atasa5 ta=9842 A.图中a的值为0.15 个频率 组距 10.4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是() 0.040 B.估计样本数据的75%分位数为85 A.若3个女生必须相邻，则不同的排法有144种 C.用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60 B.若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有2880种 分)的人数为500 0.020 ----- C.若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有3720种 D.用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为 0.005-T D.若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有840种 80.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 05060708090100'分数11.下列命题中正确的为() 8.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险：乙，两全保险：丙，理财类保险；丁，定期 A.随机变量X服从二项分布8up八，若E(CX)=40,D(X)=30,则P- 寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行 B.将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍： 抽样调查，得出如下的统计图例： C.随机变量5服从正态分布N04,若P(5>2)=P,则P(-2<5<0)-=;P: 比例 +人均参保费用/元 0.55-- 7000 D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大. 4253周岁 29周 6000 5000 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 33%V20% 4000 0.33 3000 39% 2000 12.已知P()=,P(43P(4)3则PB®) 30-41周岁 1000 0.09 13.小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月(30天)每天健步走的步数， 及以上 甲乙丙丁戊险种 并将记录结果整理成了如下的统计表： 参保人数比例 不同年龄段人均参保费用 参保险种比例 步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 用该样本估计总体，以下四个选项正确的是() 天数 U 12 3 A.54周岁以上参保人数最少 B.18~29周岁人群参保总费用最少 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 C.戊险种更受参保人青睐 14.某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动：活动形式为两人进行擂台比拼， D.30周岁以上的人群约占参保人群20% 采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为；，则甲在这场比赛中获胜的概率为一 9.对于二项式(1-2x)9,下列说法正确的是() A.展开式中各项的二项式系数之和为512，各项系数之和为-1 试卷第2页，共5页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏在一次游戏中，记事件M:甲、乙两人出的都是剪刀：事件N:甲、 乙两人出的相同：事件T:甲、乙两人至少有1人出的是布.则： (1)判断事件M与事件T是否互斥？事件N与事件T是否互为对立事件？事件M与事件N是否独立？ (2)求证：P(M)+P(N)<P(T) 16.(本小题满分15分) 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生 产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7,0.2和01.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检 测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品 误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品 (1)求自动检测判断零件为次品的概率. (2)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率. (3)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检：若判断为二等品或次品，则直接淘 汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率. 试卷第 17.(本小题满分15分) 有人搜集了某城市近10年居民年收入x亿元（所有居民在一年内收入的总和）与A商品销售额y万元 10 10 10 10 的数据，并计算得∑(x-x)-15,∑（万-y)”=25,∑x=380,∑=390， 建立商品销 i=1 i=1 i=1 i=1 售额关于居民年收入一元线性回归模型，由公式计算得y与x的经验回归方程为y=1.56种a· (1)求a和相关系数r的值，并根据r的值判断城市居民年收入与A商品销售额的相关性强弱(0.75 ≤|≤1则认为y与x相关性很强，否则不强) (2)2022年从该城市随机抽取1000户进行调查，家庭收入情况和购买A商品户数数据统计如下表 收入情况 中等及以下收入 高收入 居民户数 800 200 购买A商品居民户数 400 150 以抽取的1000户中不同层次收入的家庭购买A商品的频率估计相应收入家庭购买A商品的概率，且各 户居民是否购买A商品互不影响，在该1000户中按家庭收入分层，用分层随机抽样方法从这1000户中 抽取5户，这5户居民中有z户居民购买A商品，求z的分布列及期望. y- (s-:列 参考公式：相关系数”= 空2-②-2以- 回归直线方程为=+a,其中，有习双-你了：-刘：- 会-m6时 -=y-b城 3页，共5页 18.(本小题满分17分) 攀枝花属于亚热带季风气候区，水果种类丰富.其中，“红格脐橙”已经“中华人民共和国农业部 2010年第1364号公告”予以登记，自2010年12月15日起依法对“红格脐橙”实施农产品地理标 志保护.某果园种植“红格脐橙”多年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“红 格脐橙”的果径（最大横切面直径，单位：m)在正常环境下服从正态分布W(68,36). (1)一顾客购买了10个该果园的 “红格脐橙”，求会买到果径小于 45 年利润增量（万元） 40 56mm的概率： ●● 35 30 (2)为了提高利润，该果园每年25 0 投入一定的资金，对种植、采摘、 15 ●● 10 包装、宣传等环节进行改进.如图 是2013年至2022年，该果园每年 01234567891011121314151617181920投资金额x(万元) 的投资金额x(单位：万元)与年利润增量y(单位：万元)的散点图： 该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：y=2.50x-2.50: 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y=b1n种a的附近.对投资金额做交 10 0 10 10 换，令=n则=bt*a,且有t:22.00,,y:230,,t1y:-569.00,t经=50.92. 1 1 1 i=1 (1)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程： (ⅱ)根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R,并选择拟合精度更高、更可靠的模型， 预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）· 回归模型 模型① 模型② 回归方程 y=2.50x-2.50 y=blnx+a 10 2 102.28 36.19 (yy) i=1 附：若随机变量~N(μ，o2),则P(μ-2o≤≤μ+2o)=0.9544,P(μ-30≤≤μ+3 o)=0.9974;样本(t:,乃)(1=1,2，.，n)的最小二乘估计公式为 试卷第4页， 2(t,t)(y:) 2 b1 ty:nty 1=1 ∑(y-y:) a=y-bt:相关指数R2=1 (2 n y:7)2 i=1 参考数据：0.9772≈0.7940,0.998710≈0.9871,1n2≈0.6931,1n5≈1.6094. 共5页 19.(本小题满分17分) 2018年6月19日凌晨某公司公布的年中促销全天交易数据显示，天猫年中促销当天全天下单金额为 1592亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了6月18日100名网购者的网购情况， 得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4. 频率 组距 网购金额（元） 频数 频率 0.6 (0.500 5 0.05 0.5 0.4 (500,1000] x p 0.3 (1000.1500 15 0.15 02 (1500.2000 25 0.25 0.1 (2000,2500 30 0.3 0.5 1.5 22.5 网购金额（千元 (2500,3000 ①先求出x,y,P,q的值，再将图中所示的频率分布 直方图绘制完整； 合计 100 ()对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人， 购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据 此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？ 网龄3年以上 网龄不足3年 总计 购物金额在2000元以上 35 购物金额在2000元以下 20 总计 100 参考数据： P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 试卷第5 n(ad-bc)月 参考公式：F=(a+b)c+d(a+c)b+d ,其中n=a+b+c+d (Ⅲ)从这100名网购者中根据购物金额分层抽出20人给予返券奖励，为进一步激发购物热情，在 (2000,2500]和(2500,3000]两组所抽中的8人中再随机抽取2人各奖励1000元现金，求(2000,2500]组 获得现金奖的数学期望 页，共5页 2026年“学科网杯”中小学教师命卷大赛 高三数学下学期阶段测试卷 （考查内容：人教A版一轮复习—— 统计、计数原理、二项式定理、概率、随机变量及其分布） 命题人：广西玉林市玉州区 玉林市第十中学 林已莹 参考答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A A A C C D A ABC BCD ACD 1．B【详解】由，可知，呈现负相关，所以A正确； 由题意可知，，样本中心点， 代入得，解得，所以C正确，所以样本中心点为，所以D正确； 样本相关系数， 所以B不正确.故选：B. 2．A【详解】根据已知数据可得，令，则.对A：将变形得，令，故可得，故A正确；对BCD，同理可得，对函数模型变形为线性回归方程后，样本中心点不经过线性回归方程，故错误.故选：A. 3．A【详解】，，，， ，.故选：A. 4． A【详解】因为的展开式中的系数为，的系数为，所以的展开式中的系数为，由得. 5．C【详解】对①，根据分步乘法计数原理，有种，故①错误；对②，末尾安排0时，有个偶数，末尾安排2或4时，有个偶数，由分类加法计数原理可知，共有个偶数，故②正确；对于③，，故③正确；对于④，方程的解有两种情况：上标相同：，解得所以或.上标互补：，即，解得或.经检验有效解为 和 ，故④正确；对于⑤，从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有（）种，故⑤错误；对于⑥，隔板法，可以把问题看做由3个隔板插入10个相同元素中的9个空里，把10个元素分为4份，故共有种，故⑥正确； 对于⑦，先分组，再排列，第一类，将5个不同的小球分为数量为3、1、1的三组，再排列，有＝60种；第二类，将5个不同的小球分为数量为2、2、1的三组，再排列，有×＝90种，共有60+90＝150种，故⑦正确．故正确的有②③④⑥⑦，共5个，选C. 6．C【详解】对于A，由于，所以样本数据的60%分位数为，因为，所以不一定等于．A正确；对于B，若剔除某个数据，则得到新样本数据的极差等于原样本数据的极差；若剔除或，则得到新样本数据的极差小于原样本数据的极差.B正确；对于C，设的平均数为，方差为，则，，所以的方差为.C错误； 对于D，假设未被误写的19个数据之和为，则，， 所以.D正确,不正确的选：C 7．D【详解】A选项，根据频率分布直方图的性质，， 解得，A选项错误；B选项，前个矩形条的面积为， 前个矩形条的面积为：，故样本数据的分位数落在中，设样本数据的分位数为，于是，解得，B选项错误； C选项，根据直方图可以看出，低于分的频率为：， 于是估计全市学生不及格的人数为：，C选项错误；D选项，由题意，平均数为：，D正确，故选：D 8．A【详解】设抽查的5个险种参保客户的总人数为，A选项，从扇形图可得到54周岁以上参保人数占比为，人数最少，A正确；B选项，18～29周岁人群人均参保费用高于3500元，故参保总费用高于，54周岁以上人群人均参保费用为6000元，故参保总费用为，由于，故18～29周岁人群参保总费用不是最少的，B错误； C选项，从条形统计图可看出丁险种所占比例为，比其他险种均高，故丁险种更受参保人青睐，C错误；D选项，30周岁以上的人群约占参保人群为，D错误.故选：A 9.ABC【详解】解：二项式（1﹣2x）9，对于A，二项式系数之和为29＝512，令x＝1可得各项系数之和为-1，故A正确；对于B，因为第3项二项式系数为，第8项的二项式系数为，＝，由于n＝9为奇数，中间两项即第5项与第6项的二项式系数最大，故B正确； 对于C，（k=0,1,...,9），当k=0，代入求出常数项为1；当k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9时，对应的项为有理项，共10个项，故C正确； 对于D，令x＝﹣1可得①， 令x＝1可得a0+a1+⋯+a9＝﹣1②， ②﹣①相减可得：2（a1+a3+a5+a7+a9）＝﹣1﹣19683＝﹣19684， 所以a1+a3+a5+a7+a9＝﹣9842，故D错误．故选：ABC． 10.BCD【详解】解：对于选项A，若3个女生必须相邻，则不同的排法有＝720种，选项A错误；对于选项B，若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有种，选项B正确；对于选项C，若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有种，即选项C正确；对于选项D，若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有种，即选项D正确．故选：BCD． 11．ACD【详解】由题意，得，解得，故A正确； 由，故将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后， 则方差也随之扩大为4倍，故B错误；由题意，得，，， 由正态曲线的对称性，得，故C正确； 记，（这里k=0,1,2...,10），，当时，，即时，递增，当时，，即9≤k≤10时递减， 又，故，所以，即当时概率最大，故D正确，选：ACD 12．/0.8【详解】因为，，，所以． 因为，所以． 13．、【详解】由众数的定义，根据表格知走万步共有12天，即众数为， 由中位数的定义，根据表格知第15、16个数据分别为、，即中位数为. 14．【详解】由题意，每局第一个答题是甲或乙，概率均为，且每局不可能出现平局， 设事件表示某一局甲获胜，则甲得分有两种情况：3分或2分， 若甲第一个答题， 甲得3分：3题甲都答对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为甲对甲对甲错、甲对甲错乙错、甲错乙错甲对，故其概率为， 若乙第一个答题， 甲得3分：3题对错依次为乙错甲对甲对，故其概率为， 甲得2分：3题对错依次为乙对乙错甲对、乙错甲对甲错、乙错甲错乙错，故其概率为， 综上，一局比拼，甲获胜的概率为， 所以甲在这场比赛中获胜的概率为. 15.【详解】记“石头”，“剪刀”，“布”，...........................................................1分 则样本空间，总数为，......2分 ∵事件包含的样本点为，事件包含的样本点为， 事件包含的样本点为，..............................................4分 ∴与互斥，与不互为对立事件..............................................6分 又事件包含的样本点为，..............................................7分 ∴，，不成立，......................................9分 ∴M与N不独立...............................................10分 即与互斥，与不互为对立事件，M与N不独立. （2）由（1）可知，样本空间，总数为，事件包含的样本点为，............................................11分 ∴根据古典概型，..............................................12分 又，，∴，得证...............................................13分 16．【详解】（1）设事件表示“零件是次品”，表示“自动检测判断零件为次品”， 事件分别表示零件是一等品、二等品，..............................................1分 则． ...............................................4分（公式1分，代数据1分，结果1分） （2） 由（1）知，则．..................8分 （公式2分，代数据1分，结果1分） 所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为.....................................9分 （3）设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品”，....................10分 则，..............................................12分（代数据1分，结果1分） ，............................................................................................13分 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为 ．..............................................15分（公式1分，代数据结果1分） 17.【详解】解：（1）由题意知，（x﹣）2＝152，（y1﹣）2＝252，..............................1分 xi＝380，yi＝390，所以＝×380＝38，＝×390＝39，.........................................2分 ∴（，）代入经验回归方程中，得＝39﹣1.56×38＝﹣20.8，.......................................3分 所以（xi﹣）（yi﹣）＝（）＝1.56×152，. ............................................................................4分 所以相关系数为r＝＝＝0.936， .............................................................6分（公式1分，代数据结果1分） 由0.75≤|r|≤1，所以城市居民年收入与A商品销售额的相关性很强．..................................7分 （2）由分层随机抽样方法知抽取的5户居民中有中等收入居民4户，他们购买A商品的概率为， 有高收入居民1户，他们购买A商品的概率为，.................................8分 分层随机抽取5户居民，则z的可能取值有0，1，2，3，4，5；............................9分 计算P（z＝0）＝××＝， P（z＝1）＝××+××＝， P（z＝2）＝××+××＝， P（z＝3）＝××+××＝， P（z＝4）＝××+××＝， P（z＝5）＝××＝， .................................12分（算对任意两个概率得1分，全对得3分） 所以z的分布列为： z 0 1 2 3 4 5 P ....................................................................................................................................13分 数学期望为E（z）＝0×+1×+2×+3×+4×+5×＝． ....................................................................................................................................15分 （列式1分，结果1分） 18.【详解】解：（1）由题意，μ＝68，δ＝6，.............................................................1分 由正态分布曲线的对称性可知， P（X＜56）＝ ＝＝． ................................................................................3分 （列式代数据1分，结果1分） 设一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，其中果径小于56mm的有ξ个，则ξ～B（10，0.0228）， ......................................................................................................................4分 故P（ξ≥1）＝1﹣P（ξ＝0）＝1﹣（1﹣0.0228）10＝1﹣0.977210＝0.2060． .................................................................................6分 （列式代数据1分，结果1分） ∴一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，会买到果径小于56mm的概率为0.2060；...............................................................................7分 （2）（ⅰ）由题中所给数据，可得，，................................................................8分 ＝＝25，..............................................10分 ．................................................................11分 ∴模型②中y关于x的线性回归方程为；...............................................12分 （ⅱ）由表格中的数据，有102.28＞36.19，即，...............14分 ∴模型①的R2小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好．..............................................15分 当x＝20时，模型②的年利润增量的预测值为： ≈25×（2×0.6931+1.6094）﹣32＝42.89万元． ..........................................................................................................................17分 19．【详解】（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4， 所以网购金额在(2500，3000]的频率为0.4−0.3=0.1，..................................................1分 即q=0.1，且y=100×0.1=10，.....................................................................2分 从而x=15，p=0.15，相应的频率分布直方图如图所示．     .....................................................................................................................................4分 （Ⅱ）相应的2×2列联表为： .....................................................................................................................................6分 由公式K2=， .............................................................................8分（列式代数据1分，结果1分） 因为5.56>5.024，.............................................................................9分 所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关．............................................................................10分 （Ⅲ）在(2000，2500]和(2500，3000]两组所抽出的8人中再抽取2人各奖励1000元现金，则(2000，2500]组获奖人数X为0，1，2，............................................................................12分 且 ，............................................................................15分（各1分） 故(2000，2500]组获得现金奖的数学期望+1000+2000=1500． ..........................................................................................................................17分 （列式代数据1分，结果1分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $细目表 题号 题型 分值 考查知识点 预估难度系数 1 单项选择题 5 线性回归方程、样本中心点、变量相关性、相关系数辨析 0.75 2 单项选择题 5 非线性回归（指数型函数）、换元法转化为线性回归、回归方程求解 0.75 3 单项选择题 5 正态分布、正态分布对称性、区间概率计算 0.72 4 单项选择题 5 二项式定理、多项式乘积展开式特定项系数计算 0.68 5 单项选择题 5 计数原理综合：分步/分类计数、排列组合公式、组合方程、隔板法、分组分配问题 0.55 6 单项选择题 5 分位数、极差、平均数与方差运算、数据录入误差对统计量的影响 0.62 7 单项选择题 5 频率分布直方图、参数计算、分位数、样本平均数、用样本估计总体 0.6 8 单项选择题 5 统计图表解读（扇形图、条形图）、比例分析、实际数据应用 0.78 9 多项选择题 6 二项式系数和、各项系数和、二项式系数性质、通项与有理项、赋值法求系数和 0.58 10 多项选择题 6 排列综合应用：相邻问题、相间问题、特殊元素位置限制、定序排列 0.52 11 多项选择题 6 二项分布期望与方差、方差性质、正态分布对称性、二项分布概率最值判断 0.56 12 填空题 5 互斥事件概率、条件概率公式综合计算 0.7 13 填空题 5 统计量：众数、中位数的求解与应用 0.8 14 填空题 5 独立事件概率、三局两胜模型、综合概率计算 0.45 15 解答题 13 互斥事件、对立事件、事件独立性判断、古典概型概率计算与证明 0.85 16 解答题 15 全概率公式、贝叶斯公式、条件概率、实际质检场景下概率综合应用 0.75 17 解答题 15 线性回归方程、相关系数、相关性判断；分层抽样、离散型随机变量分布列与数学期望 0.75 18 解答题 17 正态分布综合应用、二项分布、非线性回归（对数型）、相关指数、模型优选与预测 0.4 19 解答题 17 频率分布表与直方图、独立性检验（卡方检验）、古典概型、数学期望综合计算 0.4 $ 2026年“学科网杯”中小学教师命卷大赛 高三数学下学期阶段测试卷 （考查内容：人教A版一轮复习—— 统计、计数原理、二项式定理、概率、随机变量及其分布） 命题人：广西玉林市玉州区 玉林市第十中学 林已莹 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（   ） x 2 4 6 8 y 6 m 3 2 A． 变量之间呈现负相关关系 B． 变量之间的相关系数 C． m的值等于5 D． 由表格数据知，该回归直线必过点 2．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地．为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“排骨茶”，为了解每壶“排骨茶”中所放茶叶克数x与食客的满意率y的关系，调查研究发现，可选择函数模型来拟合y与x的关系，根据以下统计数据： 茶叶克数x 1 2 3 4 5 4.34 4.36 4.44 4.45 4.51 可求得y关于x的非线性经验回归方程为（    ） A． B． C． D． 3．某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 4．若的展开式中的系数为20，则（    ） A． B． C． D． 5．关于下列问题，正确的有（    ） ①4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有64种；②用这5个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为60；③（为正整数且；④满足方程的值可能为或；⑤从含有2件次品和98件正品的100件产品中任取2件，则至少取到1件次品的取法有•种；⑥将10个“三好生”名额分给4个班级，每班至少1个名额，共有84种分法 ；⑦将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，共有150种放法. A.1个 B.3个 C.5个 D.7个 6．已知一组样本数据，下列说法不正确的是（    ） A．该样本数据的60%分位数不一定为 B．剔除某个数据：后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差 C．若的平均数为2，方差为1，的平均数为6，方差为2，则的方差为5 D．若记录样本数据时，错把一个数据68写成88，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为1 7．某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图，下列说法正确的是（    ） A．图中的值为 B．估计样本数据的分位数为85 C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为500 D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为80.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 8．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：    用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（    ） A．54周岁以上参保人数最少 B．18～29周岁人群参保总费用最少 C． 戊险种更受参保人青睐 D． 30周岁以上的人群约占参保人群20% 二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．对于二项式（1﹣2x）9，下列说法正确的是（　　） A．展开式中各项的二项式系数之和为512 ，各项系数之和为-1 B．展开式中第3项与第8项的二项式系数相等 ，二项式系数最大的项是第5和第6项 C．常数项为1，有理项共10项 D．若，则a1+a3+a5+a7+a9＝9842 10. 4个男生与3个女生并排站成一排，下列说法正确的是（　　） A．若3个女生必须相邻，则不同的排法有144种 B．若3个女生中有且只有2个女生相邻，则不同的排法有2880种 C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，则不同的排法共有3720种 D．若3个女生按从左到右的顺序排列，则不同的排法有840种 11．下列命题中正确的为（    ） A．随机变量X服从二项分布，若，，则； B．将一组数据中的每个数据都扩大为原来的2倍后，则方差也随之扩大为2倍； C．随机变量服从正态分布，若，则； D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大． 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知，，，则 ． 13．小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数，并将记录结果整理成了如下的统计表： 步数/万步 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 天数 3 7 5 12 3 在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 ． 14.某中学为了更好地弘扬优秀传统文化，举办了一个诗词擂台赛活动:活动形式为两人进行擂台比拼，采用三局两胜制，每局通过抽签决定答题者，若答对则获得1分并继续答题，若答错则对方获得1分并由对方回答下一道题，每局3题，且得分多者获胜，现有甲乙两人参加擂台对抗赛，根据以往比赛经验，甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，则甲在这场比赛中获胜的概率为 . 4、 解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(本小题满分 13 分) 甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件：甲、乙两人出的都是剪刀；事件：甲、乙两人出的相同；事件：甲、乙两人至少有1人出的是布.则： （1）判断事件与事件是否互斥？事件与事件是否互为对立事件？事件M与事件N是否独立？ （2）求证：. 16．(本小题满分 15 分) 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品． (1)求自动检测判断零件为次品的概率． (2)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率． (3)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率． 17．(本小题满分 15 分) 有人搜集了某城市近10年居民年收入x亿元（所有居民在一年内收入的总和）与A商品销售额y万元的数据，并计算得（x﹣）2＝152，（y1﹣）2＝252，xi＝380，yi＝390，建立商品销售额关于居民年收入一元线性回归模型，由公式计算得y与x的经验回归方程为＝1.56x+． （1）求a和相关系数r的值，并根据r的值判断城市居民年收入与A商品销售额的相关性强弱（0.75≤|r|≤1则认为y与x相关性很强，否则不强） （2）2022年从该城市随机抽取1000户进行调查，家庭收入情况和购买A商品户数数据统计如下表 收入情况 中等及以下收入 高收入 居民户数 800 200 购买A商品居民户数 400 150 以抽取的1000户中不同层次收入的家庭购买A商品的频率估计相应收入家庭购买A商品的概率，且各户居民是否购买A商品互不影响，在该1000户中按家庭收入分层，用分层随机抽样方法从这1000户中抽取5户，这5户居民中有z户居民购买A商品，求z的分布列及期望． 参考公式：相关系数， 回归直线方程为，其中： 18．(本小题满分 17 分) 攀枝花属于亚热带季风气候区，水果种类丰富．其中，“红格脐橙”已经“中华人民共和国农业部2010年第1364号公告”予以登记，自2010年12月15日起依法对“红格脐橙”实施农产品地理标志保护．某果园种植“红格脐橙”多年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“红格脐橙”的果径（最大横切面直径，单位：mm）在正常环境下服从正态分布N（68，36）． （1）一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，求会买到果径小于56mm的概率； （2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2013年至2022年，该果园每年的投资金额x（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图： 该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型； 模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y＝blnx+a的附近．对投资金额x做交换，令t＝lnx，则y＝b•t+a，且有，，，． （ⅰ）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程； （ⅱ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 102.28 36.19 附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9974；样本（ti，yi）（i＝1，2，⋯，n）的最小二乘估计公式为，；相关指数． 参考数据：0.977210≈0.7940，0.998710≈0.9871，ln2≈0.6931，ln5≈1.6094． 19．(本小题满分 17 分) 2018年6月19日凌晨某公司公布的年中促销全天交易数据显示，天猫年中促销当天全天下单金额为1592亿元.为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了6月18日100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表，已知网购金额在2000元以上(不含2000元)的频率为0.4. (Ⅰ)先求出的值，再将图中所示的频率分布直方图绘制完整； (Ⅱ)对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下(含2000元)的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？ 网龄3年以上 网龄不足3年 总计 购物金额在2000元以上 35 购物金额在2000元以下 20 总计 100 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：其中. （Ⅲ）从这100名网购者中根据购物金额分层抽出20人给予返券奖励，为进一步激发购物热情，在和两组所抽中的8人中再随机抽取2人各奖励1000元现金，求组获得现金奖的数学期望. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $