精品解析：2026年江苏省淮安市清江浦区中考二模考试数学试题

九年级质量调研数学试卷（2） （考试时间：120分钟 全卷满分：150分） 提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项前的字母代号用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个选项中，有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个近年来热门的（人工智能）相关的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，其数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 C. 掷一枚骰子，向上的一面的点数为6 D. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 6. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在⊙O中，AB为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD等于（　　） A. 20° B. 40° C. 70° D. 80° 8. 如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（ ）． A. 该函数图象交轴于点 B. 该函数图象关于点对称 C. 该函数图象关于直线对称 D. 该函数图象上任取两点，若，则 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 分式方程的解为__________． 11. 若，则的值是_____． 12. 我国在无人机研发领域不断取得突破．某研发团队为了测试某种新型物流无人机的续航性能，随机抽取6架无人机进行飞行测试，测得的续航时间（单位：分）如下：70，65，67，70，78，75．这组数据的中位数是___________． 13. 一个扇形的半径为，圆心角为，此扇形的弧长为_____．（结果保留） 14. 如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝_____． 15. 幻方起源于中国，是我国古代数学杰作之一．在幻方的9个格子中，每个数互不相同且满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等．如图是一个已知部分信息的幻方，则________． 16. 如图，在中，，点在线段上（不与，重合），，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，若，（为常数），则_____．（用含的代数式表示）． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算、解不等式组： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 20. 2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类，B．语言类（小品、相声），C．魔术杂技类，D．互动类．调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为________，A类所对应的扇形圆心角的度数是________； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数． 21. 小李和小张是足球爱好者，某天他们相约一起去足球比赛现场为南通支云队加油，现场的观赛区分为A，B，C，D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）小李购买门票在A区观赛的概率为_________； （2）请用画树状图或列表法求小李和小张在同一区域观看比赛的概率． 22. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点、、、均在格点上． （1）在图①中，∶ ． （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点，使． ②如图③，在上找一点，使． 23. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 24. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 25. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为90千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）a的值为________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． （1）求：抛物线所对应的函数表达式． （2）当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． （3）当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 27. 【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． （1）【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． （2）【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． （3）【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级质量调研数学试卷（2） （考试时间：120分钟 全卷满分：150分） 提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的选项前的字母代号用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个选项中，有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数与无理数的定义判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A∶ 是负整数，属于有理数，故本选项符合题意； 选项B∶ 是无限不循环小数，属于无理数，故本选项不符合题意； 选项C∶ 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，故本选项不符合题意； 选项D∶ 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，故本选项不符合题意． 2. 下列四个近年来热门的（人工智能）相关的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3. 下列算式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算．根据同类项的合并规则、同底数幂乘法法则、幂的乘方法则逐一判断即可． 【详解】A选项：∵与不是同类项，不能合并，∴结果不是，故A选项不符合题意； B选项：根据同底数幂乘法法则，可得 = = ≠ ，∴故B选项不符合题意； C选项：根据幂的乘方法则，可得 = = ，∴故C选项符合题意； D选项：∵与不是同类项，不能合并，∴结果不是，故D选项不符合题意． 4. “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，其数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值即可求解． 【详解】解：用科学记数法表示为． 5. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 C. 掷一枚骰子，向上的一面的点数为6 D. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，具有不确定性，选项A、B、D都是确定性事件，只有选项C是随机事件． 【详解】选项A： 三角形内角和恒为，是必然事件，不属于随机事件； 选项B： 三边长度3cm， 2cm， 1cm，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，是不可能事件，不属于随机事件； 选项C： 掷骰子点数为6，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项D： 有一个锐角相等的两个直角三角形，由于直角三角形特性，必然相似，是必然事件，不属于随机事件； 故选：C． 6. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，根据角的和差关系，结合对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7. 如图，在⊙O中，AB为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD等于（　　） A. 20° B. 40° C. 70° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】连接OD，根据∠AOD=2∠ACD，求出∠AOD，利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】连接OD． ∵∠ACD=20°，∴∠AOD=2∠ACD=40°． ∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO=（180°﹣40°）=70°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 8. 如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（ ）． A. 该函数图象交轴于点 B. 该函数图象关于点对称 C. 该函数图象关于直线对称 D. 该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合反比例函数的图象与性质以及平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：将代入，得， ∴该函数的图象交轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 10. 分式方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验即可得到结果． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验，当时，， 所以是原分式方程的解． 11. 若，则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用中的整体思想，提公因式，出现两个整体、是关键，代入数据计算即可． 利用提公因式法，把原式中公因式提出，代入数据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：6． 12. 我国在无人机研发领域不断取得突破．某研发团队为了测试某种新型物流无人机的续航性能，随机抽取6架无人机进行飞行测试，测得的续航时间（单位：分）如下：70，65，67，70，78，75．这组数据的中位数是___________． 【答案】70 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解，先将数据按大小顺序排序，再根据数据个数为偶数，取中间两个数的平均数得到中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，． 这组数据共有个，个数为偶数， 中位数为从小到大（或从大到小）排列后中间两个数的平均数，即． 13. 一个扇形的半径为，圆心角为，此扇形的弧长为_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形弧长公式的应用，根据扇形弧长公式，代入对应数值计算即可． 【详解】解：根据题意可得 此扇形的弧长为. 14. 如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝_____． 【答案】132°##132度 【解析】 【详解】解：∵正五边形的内角=180°-360°÷5=108°， 正六边形的内角=180°-360°÷6=120°， ∴∠BAC=360°－108°－120°=132°． 故答案为132°． 15. 幻方起源于中国，是我国古代数学杰作之一．在幻方的9个格子中，每个数互不相同且满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等．如图是一个已知部分信息的幻方，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】设幻方的第二行第一列中的数为，第二行第三列中的数为，根据“每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等”，可确定的值，然后再建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设幻方的第二行第一列中的数为，第二行第三列中的数为， 根据题意，可得，， 整理并解得，， ， 解得． 16. 如图，在中，，点在线段上（不与，重合），，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点，若，（为常数），则_____．（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，得出，进而得出．作，交于点J，交于点K，根据求出，得出，再证明，得出，证明，得出，设，则，解方程求出结论即可． 【详解】解：， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ． 作，交于点J，交于点K， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 解得：（不合题意舍去）， 故． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 计算、解不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据的余弦值，绝对值的化简，以及正整数指数幂的运算求解即可； （2）根据一元一次不等式组的解法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得 解不等式②得， 则不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先进行括号内的运算，再利用分式的混合运算法则化简，最后代入计算得出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 19. 如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由∠1＝∠2可得∠AEC＝∠BED，进而由“”即可证得． 【详解】证明： ， ， ， 在与中， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 20. 2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类，B．语言类（小品、相声），C．魔术杂技类，D．互动类．调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为________，A类所对应的扇形圆心角的度数是________； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数． 【答案】（1）100， （2）见解析 （3）280人 【解析】 【分析】（1）将B类的人数除以其百分比，即可求出样本容量．用乘以A类所占的比例，即可求出对应的扇形圆心角． （2）将样本容量减去A、B、C类的人数，得到D类的人数，即可补全条形统计图； （3）将学生总数800乘以样本中最喜爱“互动类”节目的比例，即可解答． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为， A类所对应的扇形圆心角的度数是． 【小问2详解】 解：D类的人数为， 补全条形图为： 【小问3详解】 解：（人） 估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数为280人． 21. 小李和小张是足球爱好者，某天他们相约一起去足球比赛现场为南通支云队加油，现场的观赛区分为A，B，C，D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域． （1）小李购买门票在A区观赛的概率为_________； （2）请用画树状图或列表法求小李和小张在同一区域观看比赛的概率． 【答案】（1） （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键； （1）直接根据概率公式可进行求解； （2）根据树状图可求解概率． 【小问1详解】 解：由题意得：小李购买门票在A区观赛的概率为； 故答案为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果， 其中小李和小张在同一区域观看比赛（记为事件A）的结果有4种， ∴小李和小张在同一区域观看比赛的概率为． 22. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点、、、均在格点上． （1）在图①中，∶ ． （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点，使． ②如图③，在上找一点，使． 【答案】（1） （2）①如图所示，点即为所求： ②如图所示，点即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据网格特点证明，结合相似三角形性质求解，即可解题； （2）①连接交于点，证明，再利用相似三角形性质求解即可； ②作点关于对称的点为，连接，交于点，再结合轴对称性质以及对顶角性质分析求解即可． 【小问1详解】 解：由网格特点可知，， ， ； 【小问2详解】 解：①，， ， ， ，， ； ②由轴对称性质可知， ， ． 23. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴EF与相切； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． （1）求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； （2）求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）过作于，在中，根据余弦定义求出即可； （2）过作于，在中，根据余弦定义求出，根据矩形的判定与性质可得米，（米），而，知米，故，计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于， 在中， （米）， 即遮阳棚边缘点A到墙体的距离米； 【小问2详解】 解：过作于， 在中， （米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 阴影的长约为米． 25. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为90千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）a的值为________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】（1） （2） （3）该辆汽车减速前超速了，见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为90千米/时行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：，解得：． 故答案为：； 【小问2详解】 解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：（千米时）， ∵， ∴该辆汽车减速前超速了． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． （1）求：抛物线所对应的函数表达式． （2）当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． （3）当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或2 （3），， 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与几何、解一元二次方程，理解题意，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当时，求得、，利用待定系数法求得直线的解析式，根据矩形被x轴分成面积相等的两部分，可得点D和点C关于x轴对称，再根据当时，，当时，，进行分类计算即可； （3）求特殊情况m的值，利用图象法判断即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴； 【小问2详解】 解：当时，，，， ∴，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称， ∴， ∵，， ①当时，， ∴， 解得：，（舍去）， ②当时，， ∴， 解得，（舍去）； 【小问3详解】 解：(4) 由（2）知，， ， ①当在抛物线上，，如图： ， 解得或（舍去）， 由图可知此时满足，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小； ②当在抛物线上，，如图： 在中，令得， ，而， ， 解得（舍去）或， 而与重合时：， 解得或， 又， 结合图形可得，或时，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小． 综上所述，在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值随自变量的增大而减小，的范围是或或． 27. 【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． （1）【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． （2）【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． （3）【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 【答案】（1），； （2） （3）图见解析，或 【解析】 【分析】（）根据“璧合四边形”和正切的定义解答即可求解； （）证明，可得，进而即可求解； （）过点作于点，可得，四边形为正方形，再分点的对应点在的上方和下方两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵“璧合四边形”中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 由（）知，， ， ， ∴， ∴， ， 同理（）可得，， ， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， 如图，连接，当点的对应点在的上方时，则，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； 如图，当点的对应点在的下方时， 同理可得：，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $