精品解析：江苏省南京师范大学附属中学树人学校2025-2026学年七年级下学期阶段测试数学试卷（5月份）

2025-2026学年江苏省南京师范大学附属中学树人学校七年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母写在相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别运用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：选项A. ， A错误，不符合题意； 选项B. ， B错误，不符合题意； 选项C. ， C正确，符合题意； 选项D. ， D错误，不符合题意． 3. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项，找出结论不一定成立的选项即可． 【详解】A. 不等式两边同时减1，不等号方向不变， ∵， ∴，结论一定成立，故此选项不符合题意； B. 不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得，两边同时加3，不等号方向不变，得，结论一定成立，故此选项不符合题意； C. 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ∵， ∴，结论一定成立，故此选项不符合题意； D. 举例：当，时，满足，但，，此时， 因此结论不一定成立，故此选项符合题意． 4. 不等式的非负整数解有（　　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集中找出符合要求的非负整数，统计个数即可． 【详解】解：不等式两边同时除以，得， 移项得， ∴不等式的解集为 ， 则不等式的非负整数解有，共个． 5. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②若，则的逆命题是若，则，是真命题； ③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题； ④相等的角是对顶角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题； 它们的逆命题是真命题的个数是3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了逆命题的判定，平行线的性质，绝对值的意义，直角和对顶角的概念，理解相关性质是关键． 6. 当时，、、的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：∵，令，那么，，∴．故选C． 考点：实数大小比较． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上） 7. 计算：_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查零次幂、负整数指数幂的运算，掌握计算法则是正确计算的前提．根据零次幂、负整数指数幂的计算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：5． 8. 某个小微粒的直径为，用科学记数法表示这个数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】边本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 9. 若实数m，n满足，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查同底数幂除法和负整数指数幂的意义，利用法则把原式变形为，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 的乘积中不含的二次项，则的值_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式的乘法法则展开，再合并同类项，由乘积中不含的二次项，则的系数为0，由此求解即可． 【详解】解： ， 乘积中不含的二次项， ， 即， 故答案为：． 11. 如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质得出即可得到结论． 【详解】解：∵将沿平移个单位长度得到， ∴， ， ∵， ∴ ∵ ∴. 12. 若，则代数式的值_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】先将因式分解后，再把整体代入求值，即可解题． 【详解】解：， ． 13. 如图，，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 14. 如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴. 15. 如果不等式组的所有整数解之和为12，那么m的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解问题，正确求出不等式组的解集是解题的关键．根据题意，解不等式组得到，结合不等式组的所有整数解之和为12，分①整数解为5，4，3；②整数解为5，4，3，2，1，0，，两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解之和为12，， 中含有的整数解为5，4，3或5，4，3，2，1，0，，， 当中含有的整数解为5，4，3，则； 当中含有的整数解为5，4，3，2，1，0，，，则； 综上所述，m的取值范围是或． 故答案为：或． 16. 定义一种运算：，其中k是正整数，且，例如，．若，则的值为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，通过计算前若干项的值，归纳出数列的循环规律，再利用规律计算的值. 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 同理可得， 数列从开始，每个数为一个循环，依次为， ，即是的整数倍， ． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请认真作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握单项式乘以多项式，幂的运算是解题的关键； （1）利用单项式乘以多项式的运算法则求解即可； （2）根据零指数幂，有理数的乘方以及负整数指数幂进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 解不等式组，并求出所有正整数解的和． 【答案】，和为6 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为正整数解为1，2，3； 其和为：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，25 【解析】 【分析】此题考查了整式的化简求值．先利用乘法公式和单项式乘以多项式计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式 时， 原式 20. 如图，已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点A作MNBC．利用平行线的性质得出∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC．根据平角等于180度，即可得出结论． 【详解】证明：过点A作MNBC． ∵MNBC， ∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC． ∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，作平行线，将三角形内角和转化成一个平角是解题的关键． 21. 观察下列等式：①；②；③；…… （1）从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的形式表示你发现的规律：__________； （2）证明（1）中你发现的规律． 【答案】（1）（为正整数） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查的是数字的变化规律，难度不大，解决问题的关键是找出规律，奇数的表示方法为． （1）设是自然数，且，则相邻的两个奇数为和，两个连续奇数的平方差等于倍； （2）利用乘法公式展开，证明左边等于右边即可. 【小问1详解】 解：设是自然数，且，则相邻的两个奇数为和， 规律可以表示为：（为正整数）； 【小问2详解】 证明：左边右边 故结论得证． 22. 定义，的新运算：(，为常数)．已知，． （1）求的值； （2）若满足，求整数的值． 【答案】（1） （2）整数的值为， 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，根据新运算的定义得出关于、的二元一次方程组是解题的关键． （1）根据新运算的定义结合，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据新运算的定义代入数据即可得出结论； （2）根据新运算得出不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴解得： ∴， ∴. 【小问2详解】 由题意得， 解得：. ∴整数的值为，. 23. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少? 【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；（3）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元． 【解析】 【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，然后根据题意可得，进而求解即可； （2）由（1）及题意可得购进乙种农机具为（10-m）件，则可列不等式组为，然后求解即可； （3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得，然后结合一次函数的性质及（2）可直接进行求解． 【详解】解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，由题意得： ， 解得：， 答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元． （2）由题意得：购进乙种农机具为（10-m）件， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴m的值为5、6、7， ∴共有三种购买方案： 购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；． （3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得， ∵1＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=5时，w的值最小，最小值为w=5+5=10， 答：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元． 【点睛】本题主要考查一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，熟练掌握一次函数、二元一次方程组及一元一次不等式组的应用是解题的关键． 24. 解决以下问题 （1）从“数”的角度证明：当时，； （2）从“形”的角度证明：当时，． 【答案】（1） 证明：∵， 又∵， ∴， ∴ ∴； （2） 证明：当时，构造图形如下，为正方形， 长方形的面积为，长方形的面积为， 由图可得长方形的面积大于长方形的面积， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用完全平方的非负性进行证明即可； （2）根据题意，构造图形，根据图形面积的关系，进行证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，已知，点P为直线外一点，在直线上求作点C，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先在直线上任取一点D，然后根据作一个角等于已知角的方法，作，从而得到过点P的直线，根据内错角相等两直线平行，可知，然后在直线的下方作，交于点C，即可根据两直线平行内错角相等，得到． 【详解】解：在直线上任取一点D，连接，在的右侧作，再作所在的直线，在直线的下方作，交于点C， 则点C即为所求： 26. 如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】存在，t的取值范围为或 【解析】 【分析】当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别根据的面积大于的面积的一半，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：存在，理由如下： 当点P在上，点Q在上，时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 当点P在上，点Q在上，当点P到达终点时，所需的时间为，即当时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 综上所述，当或时，的面积大于的面积的一半． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京师范大学附属中学树人学校七年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母写在相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的非负整数解有（　　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 5. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③直角都相等；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 当时，、、的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上） 7. 计算：_____． 8. 某个小微粒的直径为，用科学记数法表示这个数为_________． 9. 若实数m，n满足，则______． 10. 的乘积中不含的二次项，则的值_____． 11. 如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是________． 12. 若，则代数式的值_____ ． 13. 如图，，，，则的度数为_____ ． 14. 如图，三角形纸片中，，将纸片的角折叠，使点C落在内，，则的度数是_____ ． 15. 如果不等式组的所有整数解之和为12，那么m的取值范围是__________． 16. 定义一种运算：，其中k是正整数，且，例如，．若，则的值为_____ ． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请认真作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）． （2） 18. 解不等式组，并求出所有正整数解的和． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 21. 观察下列等式：①；②；③；…… （1）从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的形式表示你发现的规律：__________； （2）证明（1）中你发现的规律． 22. 定义，的新运算：(，为常数)．已知，． （1）求的值； （2）若满足，求整数的值． 23. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少? 24. 解决以下问题 （1）从“数”的角度证明：当时，； （2）从“形”的角度证明：当时，． 25. 如图，已知，点P为直线外一点，在直线上求作点C，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 26. 如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $