第2章 第5节 幂函数、二次函数-2027年高三数学 一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“幂函数、二次函数”核心考点，依据新课标要求明确理解幂函数变化规律、二次函数图象与性质及应用的考查要求。通过知识梳理构建概念性质体系，课前自测对接教材改编题，考点突破归纳幂函数图象判断、二次函数解析式求法等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法归纳+素养提升”，如以湖北武汉模拟题解析幂函数图象区域划分法，用二次函数最值“三点一轴”策略培养数学思维。通过三种解析式求法实例指导应试技巧，帮助学生提升运算能力与模型观念，教师可据此系统开展复习，助力学生高效冲刺高考。

第二章 第5节　幂函数、二次函数 2027 高考总复习 目录索引 课表解读 课前自测 知识梳理 考点突破 课标解读　1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.理解二次函数的图象与性质.3.能够利用二次函数的图象与性质解决相关问题. 课前自测 1.(人教A版必修第一册3.3节练习第1题改编)已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= C 解析 依题意设f(x)=xα,由于图象过点(2,),所以2α=,解得α=,因此f(x)的解析式为f(x)=.故选C. 2.(人教A版必修第一册习题3.2第7题改编)函数f(x)=-2x2+4x,x∈[-1,2]的值域为(　　) A.[-6,2] B.[-6,1] C.[0,2] D.[0,1] A 解析 函数f(x)=-2x2+4x的图象的对称轴为直线x=1,则f(x)在区间[-1,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(-1)=-2-4=-6, 即f(x)的值域为[-6,2]. 3.(人教A版必修第一册习题3.3第3题改编)已知函数f(x)=x-2,那么下列结论中正确的是(　　) A.f(x)的图象关于原点对称 B.f(x)的单调递增区间是(-∞,0] C.若f(m)>f(n),则m<n D.若f(m)>f(n),则|m|<|n| D 解析 容易判断f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,故选项A错误;f(x)的单调递增区间应该是(-∞,0),故选项B错误;因为f(x)是偶函数,且f(m)>f(n),所以f(|m|)>f(|n|).又f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以|m|<|n|.故选D. 4.(人教B版必修第一册第三章复习题B组第4题改编)已知 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　 .  (-∞,-3] 解析 依题意有-(a-1)≥4,解得a≤-3. 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的概念　　　　 注意幂函数与指数函数的区别 一般地,函数　　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.  微点拨 幂函数解析式的特征:(1)自变量x处在幂的底数位置,幂指数α是常数;(2)xα的系数为1;(3)只有一项. y=xα (2)常用5个简单幂函数的图象与性质 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R {x|x≥0} 　 　　  值域 R {y|y≥0} R 　 　　  {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 　 　　  单调性 在R上单调递增 在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增 在R上单 调递增 在[0,+∞)内单调递增 在(-∞,0)和(0,+∞)内单调递减 {x|x≠0} {y|y≥0} 奇函数 图象   过定点 (1,1) 微思考 幂函数的图象可以经过第四象限吗? 微点拨 幂函数图象的特征 (1)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越接近x轴. (2)在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. 提示 不可以.因为当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图象一定经过第一象限,不经过第四象限. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:若顶点为(m,n),则f(x)=　 　　　　　.  (3)零点式:若两个零点为x1,x2,则f(x)=　　　　　 　.  a(x-m)2+n(a≠0) a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 3.二次函数的图象与性质 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) a>0 a<0 图象     定义域 R 值域 [,+∞) (-∞,] 单调性 在(-∞,-)内单调递减, 在(-,+∞)内单调递增 在(-∞,-)内单调递增, 在(-,+∞)内单调递减 图象特点 ①对称轴:直线x=-;②顶点:(-) 微思考 如何求解二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[m,n]上的最值? 提示 (1)当-≤m时,最小值为f(m),最大值为f(n); (2)当m<-时,最小值为f(-),最大值为f(n); (3)当<-≤n时,最小值为f(-),最大值为f(m); (4)当->n时,最小值为f(n),最大值为f(m). 考点突破 考点一　幂函数的概念、图象与性质 例1　(1)(2025·湖北武汉模拟)图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xα在第一象限内的图象,则指数α的值依次可以是(　　) A.,3,-1 B.-1,3, C.,-1,3 D.-1,,3 D 解析 由图可知,C1:在第一象限内单调递减,则指数α的值满足α<0;C2:在第一象限内单调递增,且图象呈现上凸趋势,则指数α的值满足0<α<1;C3:在第一象限内单调递增,且图象呈现下凸趋势,则指数α的值满足α>1.故选D. (2)(2026·河南南阳模拟)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)在区间(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为(　　) A.-2 B.-1 C.2 D.-1或2 B 解析 因为函数f(x)为幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时, m2-2m-=4-4-=-,f(x)=在区间(0,+∞)上单调递减;当m=-1时,m2-2m- =1+2-,f(x)=在区间(0,+∞)上单调递增.故选B. 规律方法　1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较. [对点训练1](1)(2025·山东烟台模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点(8,4),则函数f(x)的图象大致为(　　) A 解析 设幂函数f(x)=xa,则8a=4,即23a=22,解得a=,即f(x)=,所以f(x)的定义域是R,f(-x)=(-x=[(-x)2=(x2=f(x),因此函数f(x)为偶函数,由0<<1,则f(x)在区间[0,+∞)上单调递增且越来越慢.故选A. (2)(2025·湖北宜昌期末)已知幂函数f(x)=(2k-1)(m∈N*)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,则满足(2a+1)-m<(3-2a)-m的实数a的取值范围是　　 　　.  (-∞,-)∪() 解析 因为f(x)=(2k-1)为幂函数,则2k-1=1,解得k=1.由f(x)=(m∈N*)在区间(0,+∞)上单调递减,得m2-2m-3<0,解得 -1<m<3,而m∈N*,故m=1或m=2.当m=1时,f(x)=x-4,定义域为{x|x≠0},且f(x)为偶函数,符合题意;当m=2时,f(x)=x-3,定义域为{x|x≠0},函数为奇函数,不符合题意,故m=1.不等式(2a+1)-m<(3-2a)-m即为(2a+1)-1<(3-2a)-1,即,因此2a+1>3-2a>0,或0>2a+1>3-2a,或2a+1<0<3-2a,解得<a<,或⌀,或a<-,故实数a的取值范围为(-∞,-)∪(). 考点二　二次函数的解析式 例2　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. 解 (方法1　利用“一般式”解题)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. (方法2　利用“顶点式”解题)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). 因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为x=,所以m=. 又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,所以f(x)=a(x-)2+8,且a<0. 因为f(2)=-1,所以a(2-)2+8=-1,解得a=-4,所以f(x)=-4·(x-)2+8=-4x2+4x+7. (方法3　利用“零点式”解题)由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值8,即=8,解得a=-4.故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 规律方法　求二次函数解析式的方法 求二次函数解析式,一般运用待定系数法,选择规律如下: [对点训练2]已知二次函数f(x)的两个零点分别是-2和1,且在区间[1,3]上的最小值为-20,则函数f(x)的解析式为　　 　　　　 .  f(x)=-2x2-2x+4 解析 依题意设f(x)=a(x+2)(x-1)(a≠0),其图象的对称轴为直线x=-,又因为f(x)在区间[1,3]上的最小值为-20,且f(1)=0,因此f(x)在区间[1,3]上单调递减,于是f(3)=10a=-20,解得a=-2,因此f(x)=-2(x+2)(x-1),即f(x)=-2x2-2x+4. 考点三　二次函数的图象与性质 考向1　二次函数的图象 例3　(多选题)(2025·湖北宜昌模拟)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0<x1<1.下列四个结论正确的有(　　) A.abc>0 B.a+b+c<0 C.2a-c>0 D.<-4 BCD 解析 由图可知,抛物线开口向上,且交于y轴正半轴,则a>0,c>0,因为该函数图象的对称轴在y轴右侧,则->0,所以b<0,所以abc<0,故A错误;当x=1时, a+b+c<0,故B正确;当x=2时,4a+2b+c=0,则2b=-4a-c,因为a+b+c<0,则2a+2b+2c<0,所以2a-c>0,故C正确;因为a>0,b<0,则≤-2=-4,当且仅当2a=-b时,等号成立,但二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0<x1<1,则该函数图象的对称轴为x=->1, 则-b>2a,等号无法取到,故<-4,故D正确. 故选BCD. 规律方法　二次函数图象的应用技巧 [对点训练3](多选题)(2024·江苏扬州模拟)设abc<0,则函数y=ax2+bx+c的图象可能是(　　) ABD 解析 函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=-,设与x轴的交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),则x1+x2=-,x1x2=,选项A中,a<0,-<0,-<0,>0,则a<0,b<0,c<0,所以abc<0,符合题意;选项B中,a<0,->0,->0,<0,则a<0,b>0,c>0,所以abc<0,符合题意;选项C中,a>0,-<0,-<0,>0,则a>0,b>0,c>0,所以abc>0,不符合题意;选项D中,a>0,->0,->0,>0,则a>0,b<0,c>0,所以abc<0,符合题意. 故选ABD. 考向2　二次函数的单调性 例4　[一题多变]已知函数f(x)=(m+1)x2-mx-1(m∈R)在区间[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是　　　　　.  [-1,0] 解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在区间[0,+∞)上单调递增,符合题意;若m≠-1,依题意应有 解得-1<m≤0. 综上所述,实数m的取值范围是[-1,0]. AI变式 [变式1](改单调递增为增区间)本例条件下,若函数f(x)的单调递增区间为[0,+∞),则实数m的值为　　　　　.  0 解析 因为函数f(x)的单调递增区间为[0,+∞),所以m+1≠0,且f(x)图象的对称轴x==0,解得m=0. [变式2](改单调递增为单调递减)本例条件下,若函数在区间[0,+∞)上单调递减,则实数m是否存在? 解 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在区间[0,+∞)上单调递增,不符合题意;若m≠-1,依题意应有所以无解.所以满足条件的实数m不存在. [变式3](改单调区间为两端闭区间)本例中,函数解析式不变,若函数在区间[1,2]上单调递减,则实数m的取值范围是　　　　　.  (-∞,-2] 解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,在区间[1,2]上单调递增,不符合题意; 若m+1>0,即m>-1时,依题意应有解得无解; 若m+1<0,即m<-1时,依题意应有解得解得m≤-2.综上所述,实数m的取值范围是(-∞,-2]. [变式4](将单调问题变为不单调)本例中,函数解析式不变,若函数在区间 [-3,-2]上不单调,则实数m的取值范围是　　　　　.  (-,-) 解析 若m+1=0,则m=-1,此时f(x)=x-1,f(x)在区间[-3,-2]上单调递增,不符合题意;若m+1≠0,则应有-3<<-2,解得-<m<-,因此实数m的取值范围是(-,-). 规律方法　二次函数单调性的求解策略 (1)二次函数的单调性与对应图象的开口方向和对称轴的位置有关,应将二者结合起来分析对称轴与所给区间端点的大小关系,从而建立不等式求解; (2)若二次项系数含有参数,应注意讨论二次项系数为零时是否符合题意; (3)若二次函数在某一个区间上不单调,则说明图象的对称轴位于该区间之内,可由此建立不等关系求解. [对点训练4](2026·河南信阳模拟)已知f(x)=4x2-kx-8在区间[5,20]上不单调,则k的取值范围是(　　) A.(-∞,40] B.[160,+∞) C.(40,160) D.[40,160] C 解析 由已知,函数f(x)=4x2-kx-8的图象的对称轴为直线x=,因为函数f(x)在区间[5,20]上不单调,则必有5<<20,即40<k<160. 考向3　二次函数的最值 例5　(2024·安徽安庆模拟)已知函数y=ax2-2ax+1+b(a>0). (1)若a=b=1,求y在区间[t,t+1]上的最大值; (2)若函数在区间[2,4]上的最大值为9,最小值为1,求实数a,b的值. 解 (1)当a=b=1时,函数化为y=x2-2x+2,其图象的对称轴为直线x=1,而=t+. ①当t+≤1,即t≤时,函数在x=t处取得最大值t2-2t+2; ②当t+>1,即t>时,函数在x=t+1处取得最大值(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1. 综上,当t≤时,最大值为t2-2t+2;当t>时,最大值为t2+1. (2)因为函数的图象开口向上,且对称轴为x=1∉[2,4],所以函数在[2,4]上单调递增,所以当x=2时,y取得最小值b+1;当x=4时,y取得最大值 16a-8a+1+b=8a+1+b. 由题意,可得解得 规律方法　二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型:①函数图象对称轴、区间都是固定的;②函数图象对称轴变动、区间固定;③函数图象对称轴固定、区间变动. (2)解决这类问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. [对点训练5](2026·河南洛阳模拟)已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为(　　) A.-2 B.2 C.-1 D.1 D 解析 由二次函数f(x)=-x2+4x+a易得f(x)在x∈[0,1]上单调递增,所以f(x)在x∈[0,1]上的最小值为f(0)=a=-2,故a=-2,所以f(x)=-x2+4x-2,故f(x)在x∈[0,1]上的最大值为f(1)=-12+4-2=1. 思维进阶　一次分式函数 1.一次分式函数的定义:形如y=(a≠0,ad≠bc)的函数称为一次分式函数. 2.一次分式函数的图象和性质 定义域与值域 定义域{x|x≠-};值域{y|y≠} 对称中心 (-) 渐近线 x=-和y= 单调性 当ad>bc时,函数在(-∞,-)和(-,+∞)内分别单调递减;当ad<bc时,函数在(-∞,-)和(-,+∞)内分别单调递增 图象   典例已知函数f(x)=的定义域是{x|x∈R,x≠-3}. (1)求函数f(x)的值域; (2)若f(x)在区间(-∞,b)上单调递增,求实数b的取值范围; (3)求f(2 025)+f(2 026)+f(-2 031)+f(-2 032)的值; (4)若g(x)=f(sin x),求函数g(x)的值域. 解 依题意知,不等式x+a≠0即x≠-a的解集为{x|x∈R,x≠-3}, 所以a=3. (1)因为f(x)==2+,由于≠0,所以2+≠2,因此函数的值域为{y|y∈R,y≠2}. (2)因为f(x)=2+,所以函数的单调递增区间是(-∞,-3)和(-3,+∞). 又因为f(x)在区间(-∞,b)上单调递增,所以b≤-3,所以实数b的取值范围是 (-∞,-3]. (3)由于f(x)==2+,所以函数f(x)的图象关于点(-3,2)对称, 因此f(x)+f(-6-x)=4, 于是f(2 025)+f(-2 031)=f(2 026)+f(-2 032)=4,故f(2 025)+f(2 026)+f(-2 031) +f(-2 032)=8. (4)由于g(x)=f(sin x)=2+,且-1≤sin x≤1,所以2≤sin x+3≤4, 因此,于是-≤-,所以-≤2+,即g(x)∈[-], 故函数g(x)的值域为[-]. 规律方法　一次分式函数的应用技巧 (1)熟练掌握一次分式函数分离参数的方法与技巧; (2)善于运用换元的方法将相关函数转化为一次分式函数从而解决问题; (3)熟练掌握不等式的性质,能够利用不等式的性质准确地求代数式的取值范围. [对点训练](2025·安徽亳州模拟)已知函数f(x)=,其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点(-1,)中心对称时,求实数a的值; (2)若函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围. 解 (1)因为f(x)==a+,所以f(x)图象的对称中心为点(-1,a),所以a=. (2)因为函数f(x)==a+,函数f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增, 所以2-2a<0,解得a>1, 所以实数a的取值范围是(1,+∞). A B C D A B C D $