黑龙江绥化市第七中学2025-2026学年高二第二学期期中数学试题

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦概率统计与排列组合，通过基础题与综合应用题的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配期中阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列（报名方法）、条件概率（路口红灯）、贝叶斯公式（货车修理）|基础概念辨析，情境贴近生活| |多选题|4/20|二项式系数（展开式系数和）、有理项判断|多角度考查知识综合运用| |填空题|4/20|区域着色（排列组合）、教师题型分派（分组排列）|实际问题转化，数学抽象| |解答题|5/70|二项式定理（系数等差）、排队问题（捆绑插空）、次品概率（全概率公式）|综合应用，逻辑推理与模型构建|

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 绝密★启用前 绥化市第七中学2025-2026学年度第二学期期中考试卷 高二数学 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 2.从，，，，，，，，中不放回地依次取个数，事件为“第一次取到的是奇数”，为“第二次取到的是的整数倍”，则(    ) A. B. C. D. 3.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为：，货车中途停车修理的概率为，客车为今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为(    ) A. B. C. D. 4.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(    ) A. B. C. D. 5.在的二项展开式中与第项二项式系数相同的项是(    ) A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 6.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则(    ) A. B. C. D. 7.甲上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是(    ) A. B. C. D. 8.设，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在的展开式中，则(    ) A. 所有项的系数和为 B. 二项式系数最大的项为第项和第项 C. 所有项的二项式系数和为 D. 常数项为 10.若，则的值为(    ) A. B. C. D. 11.若，则(    ) A. B. C. D. 12.在的展开式中(    ) A. 常数项为 B. 项的系数为 C. 系数最大项为第项 D. 有理项共有项 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知展开式的二项式系数之和为，则展开式的第项的系数是        ． 14.现有种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法有          种 15.展开式中含项的系数为___________． 16.为了提高命题质量，命题组指派名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这种题型进行改编，每人只改造一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为__________种． 四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 在二项的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． 求展开式中二项式系数最大的项； 求展开式中各项的系数和． 18.本小题2分) 设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)求a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； 19.本小题6分 已知名男生，名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数． 选名同学排成一排； 全体站成一排，甲、乙不在两端； 全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； 全体站成一排，男生彼此不相邻； 20.本小题分) 设某批产品中，编号为1,2,3的三个厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂产品的次品率分别为2%、3%、5%.现从中任取一件，(1)求取到的是次品的概率；(2)经检验发现取到的为次品，问该次品来自哪个厂的可能性最大． 21.本小题6) 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题则可通过；若至少能答对其中5道题则获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率． 答案和解析 1.  【解析】解：因为每位同学都有两种选择，所以共有种不同的报名方法． 2.  【解析】解：由题意，， ． 3.  【解析】解：设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车， 则，， 设表示汽车中途停车修理， 则，， 今有一辆汽车中途停车修理，则由贝叶斯公式得该汽车是货车的概率为： ． 故选：． 4. 解：用捆绑法将两女生捆绑在一起看作一个人排列，有种排法， 再所有的个人全排列有：种排法， 利用古典概型求概率原理得：； 故选：． 5. 解： 第项二项式系数为 ， 因为，  ， 与第项二项式系数相同的是第项． 故选：． 6. 解：由  可知  ， 又  可得  ， 又  可得  ， 所以  ， 7.  解：设“第一个路口遇到红灯”为事件，“第二个路口遇到红灯”为事件，则，， 则． 故选C． 8.  解：根据二项式展开式：，， 故当时，展开式中的系数为， 故． 故选：． 9.  【解析】解：对于：设，所有项的系数为，，，， 所以，故A错误； 对于：所有项的二项式系数为，最大的为和， 对应的是第项和第项，故B正确； 对于：所有项的系数之和为，所以C错误． 对于：二项式展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项为，故D正确． 故选：． 10.  【解析】解：由题意可得或， 故解得或， 且，，所以或均符合要求． 故选：． 11.  解：令，得到， 令，得到， 故选AC． 12.  解：的展开式的通项为： ，，， 令，解得， 所以展开式中常数项为，故A错误； 令，解得， 所以项的系数为，故B正确； 要使系数 最大，则为偶数， 经过检验，当时，系数最大， 即系数最大项为第项，故C正确； 要使项为有理项，则为整数， 则的值为，，，，，所以有理项共有项，故D正确． 故选BCD． 13.  【解析】解：由二项式系数和公式可得，解得， 则展开式的第项为， 所以第项的系数为， 故答案为：． 14.  解：由题意，先涂处，有种涂法，再涂处有种涂法，第三步涂处，若处与处同，则处有四种涂法，若处与处不同，则处有三种涂法，由此得不同的着色方法有种， 故答案为：． 15.  解： 展开式中含的系数为的含的系数加上其含的系数加上其含项的系数 展开式的通项为 令，，分别得展开式含，，项的系数为，， 故展开式中含的系数为 故答案为． 16.  解：根据题意，分步进行分析， ，将人分成组， 若分为、、的三组，有种分组方法， 若分为、、的三组，种分组方法， 则有种分组方法， ，将分好的三组全排列，对应选择题、填空题和解答题种题型，有种情况， 则有种分派方法， 故答案为． 17.解：在二项的展开式中，第一、二、三项系数的绝对值分别为，，， 前三项系数的绝对值成等差数列， ， 整理得：， 解得或舍． ， 的展开式中二项式系数最大的为第项，； 在的展开式中，令，则有展开式中各项的系数和为．  18 19.解：无条件的排列问题，排法有种． 先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余个人在剩余五个位置全排列， 所以有种． 相邻问题，利用捆绑法，共有种． 即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在个空中安插，共有种排法， 所以共有种． 20.  . 21. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $