精品解析：2026年河南平顶山市鲁山县第十二协作区二模数学试题

2026年中考学科适应性第二次调研考试数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 根据某市统计局公布的数据，2025年某市国民生产总值为亿元．将数据“”亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 5. 不等式组的最小整数解为（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 如图，在四边形中，，，，．的平分线交于点E，交于点O．若点O是的中点，则的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（ ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A. 日最高气温的波动大 B. 日最低气温的波动大 C. 一样大 D. 无法比较 8. 如图，点A是双曲线在第二象限分支上的任意一点，点B，C，D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形的面积是12，则k的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 9. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论： ①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ） A. ②④⑤⑥ B. ①③⑤⑥ C. ②③④⑥ D. ①③④⑤ 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__． 12. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 13. 观察下列一组数：，…按此规律，第n个数是____． 14. 如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若 ，则阴影部分的面积为_____． 15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程组： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图象上，纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，，请直接写出四边形的面积． 18. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 19. 如图，已知线段． （1）请用无刻度的直尺和圆规以为边作等边，并作的外接圆是⊙O的直径，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：四边形是菱形； （3）若点P在上，求的最小值． 20. 某校在商场购进两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球少花元． （1）求购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进两种品牌篮球共个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了，品牌篮球按第一次购买时售价的折出售，如果该校此次购买两种品牌篮球的总费用不超过元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？ 21. 鸡公山，位于河南省信阳市境内，是大别山的支脉，中国四大避暑胜地之一．其主峰巨石状如引颈高啼的雄鸡，故名“报晓峰”，海拔约米，是鸡公山的象征，素有“气压嵩衡”之美誉．这里奇峰怪石、云海霞光，风景秀丽．某校数学兴趣小组前往鸡公山进行实地测量实践活动，记录如下： 活动主题 测量“报晓峰”的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，小明想测山高和索道的长度，他在处仰望山顶，测得仰角，再往山的方向（水平方向）前进至索道口处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角 （小明的身高忽略不计）． 参考数据 备注 点，，在同一水平线上 根据以上信息，求“报晓峰”的高度． 22. 马年央视春晚上，一款表演机器人在舞台中央完成腾空跃起动作，其运动轨迹可近似看作抛物线．机器人从地面起跳点腾空，最高点距地面米，落地点与起跳点水平距离为米．如图，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）若舞台上一处灯光装置的坐标为，判断机器人在运动过程中是否会经过该灯光装置所在位置？ （3）若机器人在竖直高度不低于米的区域完成旋转表演，求机器人进行旋转表演的水平距离． 23. 问题情境：如图1，四边形是菱形，过点A作于点E，过点C作于点F． （1）猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由． （2）深入探究：将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点G，H． ①如图2，当线段经过点C时，所在直线分别与线段交于点M，N．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线分别与直线交于点M，N，直线与线段交于点Q．若，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科适应性第二次调研考试数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】易得这个几何体共有2层，由主视图和左视图可得第一层正方体的个数最多为6个，第二层只有1个，相加即可． 【详解】解：组成这个几何体的小正方体的个数最多为（个）． 3. 根据某市统计局公布的数据，2025年某市国民生产总值为亿元．将数据“”亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：∵ 亿 ， ∴亿用科学记数法表示为． 4. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根可得判别式大于0，联立不等式即可求解k的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得 综上，的取值范围是且． 5. 不等式组的最小整数解为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集内的最小整数解即可． 【详解】解： 解不等式，得 ； 解不等式 ，得 ； ∴不等式组的解集为， 该范围内的整数为，其中最小整数解为． 6. 如图，在四边形中，，，，．的平分线交于点E，交于点O．若点O是的中点，则的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先证明四边形是菱形，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵，即， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴． 7. 下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（ ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A. 日最高气温的波动大 B. 日最低气温的波动大 C. 一样大 D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是方差的计算与含义，比较两组数据的波动情况，需计算它们的方差或极差，根据方差越大，波动越大判断即可. 【详解】解：最高气温数据：12，6，10， 9， 8 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：，， ， ， ， ∴方差： ∵最低气温数据：1，，， 0，2 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：， ， ， ， ， ∴方差：， ∴最高气温方差为4，最低气温方差为2，因此日最高气温的波动更大，选项A正确； 故选：A 8. 如图，点A是双曲线在第二象限分支上的任意一点，点B，C，D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形的面积是12，则k的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断四边形是矩形，然后根据的几何意义求解即可. 【详解】解：∵点B，C，D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点 ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积是12， ∴， 解得． 又∵双曲线位于第二、四象限， ∴． ∴． 9. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论： ①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ） A. ②④⑤⑥ B. ①③⑤⑥ C. ②③④⑥ D. ①③④⑤ 【答案】D 【解析】 【详解】①∵AB是O的直径， ∴AD⊥BD； ②∵∠AOC是O的圆心角，∠AEC是O的圆内部的角， ∴∠AOC≠∠AEC； ③ ∴∠OCB=∠DBC， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠OBC， ∴∠OBC=∠DBC， ∴CB平分∠ABD； ④∵AB是O的直径， ∵点O为圆心， ∴AF=DF； ⑤由④有，AF=DF， ∵点O为AB中点， ∴OF是△ABD的中位线， ∴BD=2OF； ⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边， ∴△CEF与△BED不全等． 故选D． 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的坐标规律探索，根据速度和时间求出点运动的总路程，结合半圆的周长确定点运动到的位置是解题关键；先求出半圆的弧长，再求出点运动一个半圆所需的时间，进而得出点的坐标变化规律． 【详解】半圆的弧长为：， 点运动一个半圆所需时间为：（秒）， 所以第秒时，点运动的半圆个数为：（个）， 由于每个半圆在轴上的跨度为直径，且点刚好走完第个半圆， 所以点的横坐标为：，纵坐标为， 即点的坐标为． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 13. 观察下列一组数：，…按此规律，第n个数是____． 【答案】 【解析】 【分析】将给定数组拆分为整数部分和小数部分分别寻找规律，整数部分为连续的偶数，小数部分为个，据此推导第个数的表达式． 【详解】解：拆分已知数寻找规律： 第个数：， 第个数：， 第个数：， …… 按此规律，第个数的整数部分规律为，个组成的小数部分可表示为， ∴第个数为． 14. 如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若 ，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接、两点，过点作于点，根据平行四边形的面积与三角形的面积公式推出，由三角形的面积公式推出，，进一步推出，，根据、阴影部分的面积得出答案即可． 【详解】解：连接、两点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等，的边上的高与的边上的高相等， ∴，， ∴，即， ，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积． 15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________． 【答案】16或4##或16 【解析】 【分析】根据翻折的性质，可得BE的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案． 【详解】（1）当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°， 当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13． 由翻折的性质，得B′E=BE=13， ∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5， ∴B′G===12， ∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4， ∴DB′===； （2）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）； （3）当CB′=CD时， ∵EB=EB′，CB=CB′， ∴点E、C在BB′的垂直平分线上， ∴EC垂直平分BB′， 由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去． 综上所述，DB′的长为16或． 故答案为：16或． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程组： （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，算术平方根，再计算绝对值，最后进行实数的混合运算即可． （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：，得 ， 解得， 将代入②，得 ， ， ∴原方程组的解为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图象上，纵坐标为3． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接，，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，点B的坐标为 （2）17 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标； （2）点D在反比例函数的图象上，纵坐标为3，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解． 【小问1详解】 解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； 设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得： ， 解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，则， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为3， ∴， 解得：； 由题意知，， ∴ ． 18. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 【答案】（1）7.5，7， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： （分）， （分）， ， 故答案为：7.5，7，； 【小问2详解】 解：小祺的观点比较片面． 理由不唯一，例如： ①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率， ∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； ②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面． 19. 如图，已知线段． （1）请用无刻度的直尺和圆规以为边作等边，并作的外接圆是⊙O的直径，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：四边形是菱形； （3）若点P在上，求的最小值． 【答案】（1）解：如图所示的图形即为所求； （2）证明：如图 是等边三角形， ， ， 是的直径，， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）分别以点A，B为圆心，为半径作圆，交点即为点C，再分别用尺规作图-作出的垂直平分线，交点即为点O，再以点O为圆心，为半径作圆，即可解答； （2）先推导出，，得到，可推导出，继而证明，则四边形是菱形，即可解答； （3）把绕点C逆时针旋转，得到，连接，过点A作，交的延长线于点，推导出是等边三角形，，，得到，，继而推导出当且仅当A，，四点共线时，取得最小值，最小值为的长，推导出，得到，则的最小值为，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解∶如图，把绕点C逆时针旋转，得到，连接，过点A作，交的延长线于点， 由旋转得，，，， 是等边三角形，，， ， 当且仅当A，，四点共线时，取得最小值，最小值为的长，如图 ， ． ， ，， ， ， 的最小值为． 20. 某校在商场购进两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球少花元． （1）求购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进两种品牌篮球共个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了，品牌篮球按第一次购买时售价的折出售，如果该校此次购买两种品牌篮球的总费用不超过元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？ 【答案】（1）购买一个品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元 （2）个 【解析】 【分析】设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，根据题意列出方程解答即可求解； 设该校此次购买品牌篮球个，则购买品牌篮球个，根据题意列出不等式解答即可求解． 【小问1详解】 解：设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买一个品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元； 【小问2详解】 解：设该校此次购买品牌篮球个，则购买品牌篮球个， 由题意得，， 解得， 答：该校此次最多可购买个品牌篮球． 21. 鸡公山，位于河南省信阳市境内，是大别山的支脉，中国四大避暑胜地之一．其主峰巨石状如引颈高啼的雄鸡，故名“报晓峰”，海拔约米，是鸡公山的象征，素有“气压嵩衡”之美誉．这里奇峰怪石、云海霞光，风景秀丽．某校数学兴趣小组前往鸡公山进行实地测量实践活动，记录如下： 活动主题 测量“报晓峰”的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，小明想测山高和索道的长度，他在处仰望山顶，测得仰角，再往山的方向（水平方向）前进至索道口处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角 （小明的身高忽略不计）． 参考数据 备注 点，，在同一水平线上 根据以上信息，求“报晓峰”的高度． 【答案】米． 【解析】 【分析】过点作，垂足为，设高米，在中， ，所以，在中，，，所以，然后解方程并检验即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 设高米， 在中，，， ∴ ， ∴， 在中，，， ∴，解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：“报晓峰”的高度约为米． 22. 马年央视春晚上，一款表演机器人在舞台中央完成腾空跃起动作，其运动轨迹可近似看作抛物线．机器人从地面起跳点腾空，最高点距地面米，落地点与起跳点水平距离为米．如图，以起跳点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）若舞台上一处灯光装置的坐标为，判断机器人在运动过程中是否会经过该灯光装置所在位置？ （3）若机器人在竖直高度不低于米的区域完成旋转表演，求机器人进行旋转表演的水平距离． 【答案】（1）； （2）不会； （3）． 【解析】 【分析】由题意得抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上，设该抛物线的函数解析式为，然后把代入即可求解； 将代入抛物线解析式，然后比较即可； 令，则，解得，从而求出机器人进行旋转表演的水平距离． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且点在抛物线上， 设该抛物线的函数解析式为， 把点代入得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：不会， 将代入抛物线解析式，得， ∴机器人不会经过该灯光装置所在位置； 【小问3详解】 解：令，则，解得， ∴水平距离为（米）， ∴机器人进行旋转表演的水平距离为米． 23. 问题情境：如图1，四边形是菱形，过点A作于点E，过点C作于点F． （1）猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由． （2）深入探究：将图1中的绕点A逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点G，H． ①如图2，当线段经过点C时，所在直线分别与线段交于点M，N．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线分别与直线交于点M，N，直线与线段交于点Q．若，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）四边形为矩形，理由如下： ，， ，， ∵四边形为菱形， ， ， ， ∴四边形为矩形． （2）①，理由如下： ∵四边形为菱形， ，． 绕点A逆时针旋转得到， ，． ，． ， ， ， ， ． ②或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质以及矩形的判定证明即可； （2）①证明即可； ②分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②解：如图所示，当点N在线段上时，过点A作于P， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由旋转知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ； 当点N在线段延长线上时，在上，过点A作于K，连接，如图所示： 由旋转知：，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴ 四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形的面积是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $