精品解析：江苏宿迁市沭阳县部分校 2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

2025~2026学年度八年级第二学期第二次学情调研 数 学 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 在下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 了解八（1）班学生校服的尺码情况 B. 检测一批电灯泡的使用寿命 C. 调查《最强大脑》栏目的收视率 D. 了解全国中学生的视力情况 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 3. 要使分式有意义，需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 6. 如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　 ） A. B. C. D. 7. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 27 D. 54 8. 已知：，，，则的值为（ ） A. 0 B. 2003 C. 2002 D. 3 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 9. 小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是______． 10. 一个样本共有60个数据，这些数据分别落在5个组内，第1，2，3，4组数据的频率分为0.1，0.3，0.2，0.1，则第5组数据的频数为_________． 11. 把分式化为最简分式的结果是________． 12. 将分式化简得，则x应满足的条件是________． 13. 若，则的值是______． 14. 已知，则多项式的值是_______． 15. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法，请利用如图所示的图形分解因式__________． 16. 如图，点是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为_________． 17. 如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______． 18. 如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．） 19. 计算： （1） （2） 20. 因式分解： （1）； （2）． 21. 已知，，求代数式的值． 22. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图． 读书量 1本 2本 3本 4本 5本 人数 10人 25人 30人 a 15人 （1）本次调查共抽取学生多少人？ （2）表中a的值为 ，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为 ． （3）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数． 23. 如图，四边形中，对角线相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的周长． 24. 如图，已知． （1）尺规作图：分别在、、边上取点、、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求四边形的面积． 25. 如图，在梯形中，，延长到点E，使，． （1）试说明梯形是等腰梯形． （2）连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 26. 如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”． （1）28________“智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）说明16是一个“智慧数”； （3）设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 27. 阅读下列材料： 若，试求、的值．（其中、为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． （1）已知（其中、为常数）求、的值； （2）若对任意自然数都成立，则______，______． （3）计算：______． 28. 【定义】我们把有一组对角是直角的四边形叫做“美妙矩形”：连接它的两个非直角顶点的线段，叫做“美妙对角线”． 如图（1），在四边形中，若，则四边形是“美妙矩形”， 为“美妙对角线”． 【理解】 （1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“美妙矩形”的是 ． （2）如图（2），在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在网格格点中找到一点D，使得四边形为“美妙矩形”； 【应用】 （3）若四边形为“美妙矩形”， ，，，则 ； （4）已知“美妙矩形”中，为“美妙对角线”，点O为的中点，． ①如图（3），当四边形为菱形时，求“美妙矩形”的面积； ②在①的条件下，将沿着射线方向平移到，当四边形为矩形时， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度八年级第二学期第二次学情调研 数 学 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 在下列调查中，适宜采用普查的是（ ） A. 了解八（1）班学生校服的尺码情况 B. 检测一批电灯泡的使用寿命 C. 调查《最强大脑》栏目的收视率 D. 了解全国中学生的视力情况 【答案】A 【解析】 【分析】根据普查与抽样调查的适用范围判断即可，普查适用于范围较小，调查无破坏性，对结果精度要求高的情况． 【详解】解：调查对象为八(1)班全体学生，范围小，需要获取准确的尺码数据，A适宜采用普查； 检测电灯泡使用寿命具有破坏性，B适宜抽样调查； 调查栏目收视率，调查范围广，工作量大，C适宜抽样调查； 调查全国中学生视力情况，调查范围广，工作量大，D适宜抽样调查． 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 3. 要使分式有意义，需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解的定义为：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，变形是整式乘法，从整式乘积得到多项式，不符合因式分解定义． 选项B中，等式右边的不是整式，不符合因式分解要求． 选项C中，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义． 选项D中，等式右边是是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义． 5. 若把分式中的，都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变． a，b都扩大为原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 6. 如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：为的中位线， ， 在中，是的中点， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半、直角三角形的性质． 7. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 27 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解． 【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S△DFP＝S△PBE＝×3×8＝12， ∴S阴＝12＋12＝24， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD． 8. 已知：，，，则的值为（ ） A. 0 B. 2003 C. 2002 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先对代数式整体变形乘2再除以2，配方变形后则有，根据已知条件算出 ，，的值，最后代入分解后的算式中求解即可． 【详解】解： ， 根据已知条件可得： ，，， ∴ 原式． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 9. 小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵小明从3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”中随机选择1款查阅资料， ∴小明恰好选择“千问”的概率是． 10. 一个样本共有60个数据，这些数据分别落在5个组内，第1，2，3，4组数据的频率分为0.1，0.3，0.2，0.1，则第5组数据的频数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】用1减去其它四组的频率可得第5组数据的频率，再用总数乘以第5组数据的频率即可得到第5组数据的频数． 【详解】解：∵第5组数据的频率为， ∴第5组数据的频数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查频率、频数的关系，熟知频数等于总数乘以频率是解题的关键． 11. 把分式化为最简分式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了约分的定义及方法．约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 给分子、分母约去即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 将分式化简得，则x应满足的条件是________． 【答案】x≠0 【解析】 【详解】试题分析：分子、分母都除以x化简得，根据分式的基本性质可知x≠0， 故答案为x≠0． 点睛：本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，即可得出答案． 13. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先对已知等式通分整理，得到与的数量关系，再将所求分式变形，利用整体代入法求值． 【详解】解：由分式有意义的条件可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 14. 已知，则多项式的值是_______． 【答案】-20 【解析】 【分析】将因式分解，再将已知等式整体代入计算． 【详解】解：∵， ∴===-20， 故答案为：-20． 【点睛】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，解题的关键是将所求式子合理变形． 15. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法，请利用如图所示的图形分解因式__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形面积计算即可求解． 【详解】解：各个图形组合成长方形，其面积和为，长方形的面积为， ∴ ． 16. 如图，点是矩形内一点，连接、，．若，则的度数为_________． 【答案】40 【解析】 【分析】先根据矩形性质得到，，再根据等边对等角和三角形的内角和定理得到，，然后进行角度运算可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据菱形的性质得到，，，再根据勾股定理求出的长，最后利用菱形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵M，N 分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，根据勾股定理，得 ， ∴菱形的周长为． 18. 如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称中的最短路线问题，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，找出四边形周长取最小值时点E、F、G之间的位置关系是解题的关键． 由条件可证四边形为平行四边形，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时四边形周长取最小值，过点G作于点，由对称结合矩形的性质可知：，，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 如图，作点E关于的对称点，连接交于点F，此时取最小值，则四边形周长取最小值， 过点G作于点， 由对称可得，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】将分式通分进而利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 20. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解； （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 已知，，求代数式的值． 【答案】15 【解析】 【分析】先把所要求值的代数式用分组分解法分解因式，再整体代入即可求解． 【详解】解：原式， ∵，， ∴原式． 22. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图． 读书量 1本 2本 3本 4本 5本 人数 10人 25人 30人 a 15人 （1）本次调查共抽取学生多少人？ （2）表中a的值为 ，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为 ． （3）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数． 【答案】（1）100 （2）20；108° （3）1950人 【解析】 【分析】（1）由2本人数及其所占百分比可得总人数； （2）用总人数分别减去其它读书量人数即可得出a的值；用360°乘“3本”所占百分比即可得出扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数； （3）总人数乘以样本中“读书量”不少于3本的学生人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：抽样调查的学生总数为：25÷25%＝100（人）， 答：本次调查共抽取学生100人； 【小问2详解】 a＝100﹣10﹣25﹣30﹣15＝20； 扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为：360°×＝108°， 故答案为：20；108°； 【小问3详解】 3000×＝1950（人）， 答：估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数为1950人． 【点睛】本题考查了扇形统计图的综合运用以及用样本估计总体，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 23. 如图，四边形中，对角线相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）28 【解析】 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，根据三角形外角的性质和已知条件可证明，得到，则可证明，据此可证明结论； （2）根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴四边形的周长． 24. 如图，已知． （1）尺规作图：分别在、、边上取点、、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）120 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握尺规作角平分线和线段垂直平分线的方法是解题的关键． （1）作的角平分线，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、，设与交于点，利用线段垂直平分线的性质得到，，，结合角平分线的定义和等腰三角形的判定推出，再根据菱形的判定可知四边形即为所求； （2）设与交于点，利用菱形的性质得到，，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，最后利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作的角平分线，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、，设与交于点， 是的垂直平分线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形， 点、、的位置即为所求． 【小问2详解】 解：设与交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ． 四边形的面积为120． 25. 如图，在梯形中，，延长到点E，使，． （1）试说明梯形是等腰梯形． （2）连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． 【小问2详解】 解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 26. 如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”． （1）28________“智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）说明16是一个“智慧数”； （3）设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 【答案】（1）不是 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）设较小奇数为，根据“智慧数”的定义得，求出n的值判断是否符合“智慧数”的定义即可； （2）由可知16是一个“智慧数”； （3）利用平方差公式进行分解，判断分解后的结果是否是8的倍数即可． 【小问1详解】 解：设两个连续奇数的平方差为28，较小奇数为，则，   展开整理得，   解得， ∵不是奇数， ∴28不是“智慧数” 【小问2详解】 解：∵，且和是两个连续奇数， ∴16符合“智慧数”的定义， ∴16是一个“智慧数”； 【小问3详解】 解： ， ∵是8的倍数， ∴两个连续奇数为和构造的“智慧数”能被整除． 27. 阅读下列材料： 若，试求、的值．（其中、为常数） 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． （1）已知（其中、为常数）求、的值； （2）若对任意自然数都成立，则______，______． （3）计算：______． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求解； （3）将所求式子转化为，即可求解． 【小问1详解】 解： 等式右边通分得： ， ， 解得：； 【小问2详解】 等式右边通分得： ， ， 解得：， 故答案为：，； 【小问3详解】 ， 故答案为：． 28. 【定义】我们把有一组对角是直角的四边形叫做“美妙矩形”：连接它的两个非直角顶点的线段，叫做“美妙对角线”． 如图（1），在四边形中，若，则四边形是“美妙矩形”， 为“美妙对角线”． 【理解】 （1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“美妙矩形”的是 ． （2）如图（2），在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在网格格点中找到一点D，使得四边形为“美妙矩形”； 【应用】 （3）若四边形为“美妙矩形”， ，，，则 ； （4）已知“美妙矩形”中，为“美妙对角线”，点O为的中点，． ①如图（3），当四边形为菱形时，求“美妙矩形”的面积； ②在①的条件下，将沿着射线方向平移到，当四边形为矩形时， ． 【答案】（1）矩形 （2）见解析 （3）或 （4）①4；②2 【解析】 【分析】（1）根据“美妙矩形”的定义可得答案； （2）找两个小正方形对角线夹角即可得到，再找，即可得出点D的位置； （3）分，为直角或，为直角，分别利用勾股定理求出的长； （4）①首先证明为等边三角形，从而得出，的长； ②根据矩形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：由“美妙矩形”的定义可得： 在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“美妙矩形”的是矩形， 故答案为：矩形； 【小问2详解】 解：D点如图所示： 【小问3详解】 解：分以下两种情况： 若，为直角， 则， ； 若，为直角， 则， ， 故答案为：或； 【小问4详解】 解：①∵点O为斜边边上的中线， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理， ∴“美妙矩形”的面积； ②如图， 四边形为矩形时，则与O重合，与C重合， ∴． 第1页/共1页 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