河北省盐山中学2026届高三下学期考前模拟数学试题

**基本信息** 高三数学三模试卷，以文化情境（如“将军饮马”问题）与逻辑推理（如函数极值证明）为特色，覆盖空间几何、函数等核心知识，适配高考冲刺阶段能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直线关系、复数、概率统计|结合充要条件考查数学思维| |多选题|3/18|正方体线线位置关系|注重空间想象与分类讨论| |填空题|3/15|不等式解集、法向量、切线方程|基础与空间向量应用结合| |解答题|5/77|三角恒等式、立体几何、函数极值|逻辑推理与空间想象并重，如立体几何二面角求解、函数唯一极值点证明|

高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间中不过同一点的三条直线、、，则“、、在同一平面”是“、、两两相交”的(    ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 2.已知复数满足，则的虚部为(    ) A. B. C. D. 3.若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.下列说法错误的是． A. 若随机变量X~N(,),则P(X-)=P(X+) B. 若随机变量X~N(1,),Y~N(2,),则P(X1)< P(Y2) C. 样本相关系数的绝对值越接近1,则成对数据的线性相关程度越强 D. 样本相关系数的绝对值越接近0,则成对数据的线性相关程度越弱 5.已知是的内角，且若，则是(    ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形． 6.若等差数列的前项和为，前项和为，则它的前项和为(    ) A. B. C. D. 7.唐诗古从军行开头两句是：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为(    ) A. B. C. D. ． 8.与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线方程为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是(    ) A. 直线与是相交直线 B. 直线与是平行直线 C. 直线与是异面直线 D. 直线与是异面直线 10.已知定义在上的函数满足，则    ． A. B. C. D. 11.已知圆与圆，则(    ) A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.不等式的解集为          ． 13.设平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若直线与平面所成的角为，则正数          ． 14.曲线在点处的切线方程是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 证明下列恒等式： ． 16.本小题分 已知直线的方程为，其中 当变化时，求点到直线的距离的最大值 若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 17.本小题分 如图所示，已知是矩形所在平面外一点，平面，点在线段上，平面． 证明：平面 若，，求二面角的正切值． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是棱的中点，是棱上一点． 证明：．若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 19.本小题分 已知函数 证明： 设函数，证明：函数有唯一的极值点． 答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.  9. 10.  【解析】令，，，则恒成立，故在，上单调递增，故，即，故 B正确．，即，故 C正确． 11.  【解答】解：圆化为标准方程得，即圆的圆心，半径， 圆化为标准方程得 ，即圆的圆心，半径， 则两圆的圆心距为，故A正确 因为，所以两圆相交，公切线有两条，故B错误 将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，故C正确 点到直线的距离 ，则公共弦的长度为，故D错误．故选AC． 12.  13.  14.  15.证明： ． ． ．  16.将直线的方程变形， 得． 由可解得 则直线恒过定点． 所以，当变化时，点到直线的距 离的最大值为． 设直线的斜率为， 结合可知直线的方程为． 易知点的坐标为，点的坐标为． 因此，， 则的面积 由，可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 所以的面积最小值是， 此时直线的方程为，即． 17.因为平面， 所以， 因为平面， 所以，平面，平面，， 所以平面 设与交点为，连接． 因为平面， 所以，， 所以为二面角的平面角． 因为平面， 所以， 所以四边形为正方形，即， 在中，，， 所以， 所以二面角的平面角的正切值为   18.在正方形中，有，又底面，平面，所以． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． 因为，是棱的中点，所以． 又平面平面，所以平面． 又平面，所以． 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 所以，，，，设点， 所以，， 设平面的一个法向量为，则即令，可得， 所以直线与平面所成角的正弦值， 化简可得，即，所以或舍去． 故， 因为，所以点到平面的距离．   19.解：证明：因为，定义域为， 所以， 由于函数，在上均为单调递增函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 所以． 因为，的定义域为， 所以． 设，则， 当时，，所以单调递增， 所以， 所以，即，， 所以． 又，且在上单调递增， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，，单调递减当时，，所以单调递增， 所以函数有唯一的极值点．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $