2027届高三一轮复习课件 数学 第4章 第5节 三角函数的图象与性质

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数的图象与性质”专题，依据课标要求梳理了五点法作图、周期性、单调性等核心考点，通过近五年高考真题分析明确“单调性与最值”“周期性判断”等高频考向，归纳定义域求解、值域换元等常考题型，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+变式训练”，如以2024全国甲卷“sinx - √3cosx最值”为例，用辅助角公式转化为正弦型函数，培养数学思维中的推理能力。设“误区警示”和“规律方法库”，帮助学生掌握换元法、整体代换等技巧，教师可据此精准指导，提升学生解题效率与得分率。

第5节　三角函数的图象与性质 高考总复习 2027 课标解读　1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象.2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值等性质.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(-)上的性质. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版必修第一册习题5.4第12题改编)下列四个函数中,以π为最小正周期,且为奇函数的是(　　) A.y=|sin x| B.y=cos x C.y=tan x D.y=sin C 解析 选项A中函数为偶函数,不符合;选项B中函数为偶函数,不符合;选项C中函数符合;选项D中函数的最小正周期为4π,不符合.故选C. 2.(人教B版必修第三册7.3.4节练习B第3题改编)函数y=tan x,x∈[-]的最大值、最小值分别为(　　) A.1,- B.,-1 C.,0 D.,1 B 解析 因为y=tan x在区间[-]上单调递增,所以函数的最大值为tan,最小值为tan(-)=-1.故选B. 3.(多选题)(人教A版必修第一册5.4.1节练习第4题)函数y=1+cos x,x∈(,2π)的图象与直线y=t(t为常数)的交点可能有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 ABC 解析 画出函数y=1+cos x(x∈(,2π) )的图象,由图象可知,其与直线y=t的交点可能为0个或1个或2个. 知识梳理 1.五点法作正弦函数、余弦函数的图象 　五个关键点的横坐标是相应函数的零点和极值点(最值点) (1)正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,0),(,1),(π,0), (,-1),(2π,0). (2)余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,1),(,0),(π,-1), (,0),(2π,1). 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象       定义域 R R 　　 　　  值域 　　　　  　　　  R 周期性 2π 　　  　　  {x|x∈R,且x≠kπ+,k∈Z} 　[-1,1]　 [-1,1] 2π　 π　 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 奇偶性 　　　　  　　　　  奇函数 单调递增区间 [2kπ-,2kπ+](k∈Z) 　　　 　　  (kπ-,kπ+)(k∈Z) 单调递减区间 [2kπ+,2kπ+](k∈Z) 　　　　 　  — 对称中心 (kπ,0)(k∈Z) (kπ+,0)(k∈Z) (,0)(k∈Z) 对称轴方程 x=kπ+(k∈Z) x=kπ(k∈Z) — 奇函数 偶函数　 [2kπ-π,2kπ](k∈Z)　 　[2kπ,2kπ+π](k∈Z) 误区警示 1.判断三角函数的奇偶性,应首先判断函数的定义域是否关于原点对称. 2.求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意ω的符号,只有当ω>0时,才能把ωx+φ看作一个整体,代入y=sin t的相应单调区间求解,否则将出现错误. 3.写单调区间时,不要忘记k∈Z. 微思考 能否认为函数y=tan x在它的定义域内为增函数? 提示 不能,应该说函数y=tan x在每个区间(kπ-,kπ+) (k∈Z)内单调递增,这些区间是不连续的. 研考点•精准突破 考点一　三角函数的定义域、值域与最值 考向1　三角函数的定义域 例1　(2025·江苏镇江期中)函数f(x)=ln(2cos x-1)的定义域为　　　　　 　　　.  {x|2kπ-<x<2kπ+,k∈Z} 解析 由题可知,2cos x-1>0,即cos x>,因此2kπ-<x<2kπ+,k∈Z, 故函数f(x)的定义域为{x|2kπ-<x<2kπ+,k∈Z}. 规律方法　求三角函数定义域的方法 (1)求三角函数的定义域一般可归结为解不等式; (2)求三角函数的定义域经常借助三角函数的图象,有时也利用数轴; (3)对于较为复杂的求三角函数的定义域问题,应先列出不等式(组)分别求解,然后再求交集. [对点训练1](2025·安徽合肥期中)函数f(x)=3tan(2x-)的定义域为(　　) A.{x|x≠kπ+,k∈Z} B.{x|x≠,k∈Z} C.{x|x≠kπ+,k∈Z} D.{x|x≠,k∈Z} B 解析 由题可知,2x-≠kπ+,k∈Z,所以x≠,k∈Z,因此函数定义域为{x|x≠,k∈Z}.故选B. 考向2　三角函数的值域与最值 例2　(1)(2026·山东潍坊模拟)函数f(x)=sin2x-cos x的值域为(　　) A.(-∞,] B.[-1,] C.[-1,1] D.[0,] B 解析 由题可知,f(x)=sin2x-cos x=-cos2x-cos x+1=-(cos x+)2+. 由于-1≤cos x≤1,所以当cos x=-时,函数取最大值,当cos x=1时,函数取最小值-1,因此函数f(x)的值域为[-1,].故选B. (2)(2024·全国甲,文13)函数f(x)=sin x-cos x在区间[0,π]的最大值为　　　　　.  2 解析 由题可得,f(x)=sin x-cos x=2sin(x-). 因为0≤x≤π,则-≤x-,故x-,即x=时,f(x)取得最大值2. (3)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为　　 　　.  [-,1] 解析 设t=sin x-cos x,则-≤t≤,t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x, 则sin xcos x=, 所以y=-+t+=-(t-1)2+1,-≤t≤,当t=1时,ymax=1;当t=-时, ymin=-. 故函数的值域为[-,1]. 规律方法　求三角函数值域(最值)的几种类型及解法思路 [对点训练2](2025·山西临汾期末)若函数f(x)=tan(2x-)+m在区间[0,]上的最大值为3,则实数m=　　　　.  2 解析 当x∈[0,]时,2x-∈[-],而y=tan t在t∈[-]上单调递增,所以当2x-,即x=时,函数取得最大值tan+m.因为tan+m=3,所以m=2. 考点二　三角函数的性质 考向1　三角函数的周期性 例3　(1)(多选题)(2026·江西临川期中)下列函数中,最小正周期是π的为 (　　) A.y=sin(-2x) B.y=|cos x| C.y=sin|x| D.y=tan(x+) ABD 解析 对于A,最小正周期为T==π,故A正确;对于B,y=|cos x|的最小正周期是y=cos x最小正周期的一半,即最小正周期为π,故B正确;对于C,y=sin|x|不是周期函数,故C错误;对于D,最小正周期为T==π,故D正确.故选ABD. (2)(2025·广东深圳模拟)函数y=sin x-sin 2x的最小正周期为(　　) A. B.π C.2π D.3π C 解析 (方法1)由于y=sin x的最小正周期为2π,y=sin 2x的最小正周期为π,2π与π的最小公倍数是2π,所以函数f(x)的最小正周期为2π.故选C. (方法2)因为f(x)=sin x-sin 2x,所以f(x+)=sin(x+)-sin 2(x+)=cos x-sin 2x ≠f(x),因此最小正周期不是;f(x+π)=sin(x+π)-sin 2(x+π)=-sin x-sin 2x≠f(x),因此最小正周期不是π;而f(x+2π)=sin(x+2π)-sin 2(x+2π)=sin x-sin 2x=f(x),因此最小正周期是2π.故选C. (3)(2025·山东泰安期末)f(x)=的最小正周期是(　　) A. B.π C.2π D.3π A 解析 因为f(x+)= == =f(x),所以函数的最小正周期为.故选A. 规律方法　 [对点训练3](2025·江苏扬州模拟)若函数f(x)=2cos2(ωx-)+1(ω>0)的图象相邻两条对称轴的距离为2π,则ω的值为(　　) A.1 B. C. D. C 解析 由题可得,f(x)=2cos2(ωx-)+1=1+cos(2ωx-)+1=cos(2ωx-)+2.由于函数f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为2π,所以其最小正周期为4π,则4π=,解得ω=.故选C. 考向2　三角函数的奇偶性 例4　(1)(2025·山东泰安模拟)下列函数中,是奇函数的为(　　) A.f(x)=sin(x+) B.f(x)=tan x+2 C.f(x)=cos(x-) D.f(x)=sin x+cos x C 解析 对于A,f(x)=sin(x+)=cos x,满足f(-x)=f(x),是偶函数,故A错误;对于B,f(-x)=-tan x+2≠-f(x),所以函数不是奇函数,故B错误;对于C,f(x)=cos(x-) =-sin x,则f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x),函数是奇函数,故C正确;对于D,f(-x) =-sin x+cos x≠-f(x),函数不是奇函数.故选C. (2)(2026·湖南长沙期末)函数f(x)=sin(2x++φ)(0<φ<π)是R上的偶函数,则φ=(　　) A.0 B. C. D. B 解析 因为f(x)=sin(2x++φ) (0<φ<π)是R上的偶函数,所以其图象关于直线x=0对称,即f(0)=±1,因此sin(+φ)=±1,则+φ=(2k+1)(k∈Z),解得φ=kπ+(k∈Z).又因为0<φ<π,则φ=.故选B. 规律方法　三角函数奇偶性的判断及应用 (1)判断与三角函数有关的奇偶性,应先对函数解析式进行化简,然后根据奇偶函数的定义进行判断,注意定义域是否关于原点对称.三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式. (2)根据函数奇偶性求参数的值时,主要根据函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)是奇偶函数的充要条件进行求解. [对点训练4](2025·北京海淀期中)函数f(x)=cos2(x-)-sin2(x+)是(　　) A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为π的奇函数 D 解析 由题可得,f(x)=cos2(x-)-sin2(x+)= =-sin 2x.由于f(-x)=-sin(-2x)=sin 2x=-f(x),且定义域为R,所以f(x)是奇函数,且其最小正周期为=π.故选D. 考向3　三角函数的对称性 例5　(1)(2025·河南郑州月考)函数f(x)=3sin(2x-)图象的一条对称轴为直线(　　) A.x=- B.x= C.x= D.x= D 解析 (方法1)当x=-时,f(-)=3sin(-π)=0,不是最值,故A错误;当x=时, f()=3sin(-)=-,不是最值,故B错误;当x=时,f()=3sin()=,不是最值,故C错误;当x=时,f()=3sin()=3,是最值,故D正确.故选D. (方法2)由2x-=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z),所以函数的对称轴为直线x=(k∈Z).令k=0,得x=.故选D. (2)(2025·全国1,4)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x-)的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　) A. B. C. D. B 解析 由题意知,a-,k∈Z,所以a=,k∈Z.又a>0,所以当k=0时,a取最小值.故a的最小值为.故选B. 教考链接 (人教A版必修第一册习题5.4第19题)容易知道,正弦函数y=sin x是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗?如果有,那么对称中心的坐标是什么?另外,正弦曲线是轴对称图形吗?如果是,那么对称轴的方程是什么?你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗?对余弦函数和正切函数,讨论上述同样的问题. 解 除原点外,正弦曲线还有其他的对称中心,对称中心的坐标为(kπ,0)(k∈Z);正弦曲线也是轴对称图形,对称轴方程为x=kπ+(k∈Z);余弦函数y=cos x的图象的对称中心为(kπ+,0) (k∈Z),对称轴方程为x=kπ(k∈Z);正切函数y=tan x的图象只有对称中心,其坐标是(,0) (k∈Z),无对称轴. 规律方法　三角函数对称性应用技巧 (1)求三角函数图象的所有对称轴方程或对称中心坐标时,可利用整体换元方法进行求解,注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心横坐标的公式. (2)判断某一直线、某一点是否为对称轴、对称中心时,可根据对称轴一定经过三角函数图象的最高点或最低点,对称中心横坐标一定是函数的零点这一性质进行检验判断. [对点训练5]函数f(x)=tan(-x)图象的一个对称中心是(　　) A.(-,0) B.(-,0) C.(,0) D.(,0) B 解析 令-x=,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以函数图象的对称中心为 (-,0) (k∈Z).当k=1时,对应的对称中心为(-,0).故选B. 考向4　三角函数的单调性 例6　[一题多变](2026·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)=sin 2ωx+2cos2ωx (0<ω<2),且f(x)的图象关于直线x=对称,则f(x)的单调递增区间是　　　　　　　　　　　.  [-+kπ,+kπ](k∈Z) 解析 因为f(x)=sin 2ωx+2cos2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx+1=2sin(2ωx+)+1,而f(x)的图象关于直线x=对称, 所以2ω·=kπ+(k∈Z),即ω=3k+1(k∈Z). 又因为0<ω<2,所以当k=0时,ω=1,于是f(x)=2sin(2x+)+1. 令-+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 故f(x)的单调递增区间是[-+kπ,+kπ](k∈Z). AI变式 [变式1](研究函数在指定区间上的单调性)本例中,所有条件均不变,f(x)在区间[-]上的单调递减区间是　　　　　.  [] 解析 (方法1)已知f(x)=2sin(2x+)+1. 令+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z), 解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 故f(x)的单调递减区间是[+kπ,+kπ](k∈Z). 当k=0时,函数f(x)的单调递减区间为[]. 又由于x∈[-], 所以f(x)在区间[-]上的单调递减区间为[]. (方法2)当x∈[-]时,t=2x+∈[0,], 由于y=sin t在t∈[]上单调递减,所以y=2sin t+1在t∈[]上单调递减,此时x∈[], 故f(x)在区间[]上单调递减. [变式2](改变函数结构,引进参数逆向设问)本例中,所有条件不变,令g(x)=f()(ω>0),且g(x)在区间[]上单调递增,ω的取值范围为　　　.  (0,] 解析 由于f(x)=2sin(2x+)+1, 所以g(x)=f()=2sin(ωx+)+1. 当x∈[]时,由于ω>0, 所以ωx+∈[]. 因为f(x)在区间[]上单调递增, 所以[]⊆[2kπ-,2kπ+](k∈Z), 于是k∈Z,解得k∈Z,因此0<ω≤. 规律方法　三角函数单调性问题常见类型及求解策略 题型 解法 (1)已知三角函数式求单调区间 化简函数解析式为y=Asin(ωx+φ)(ω>0)或y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的形式,视“ωx+φ”为一个整体,根据y=sin x或y=cos x的单调区间列不等式求解 (2)已知函数解析式,讨论在给定区间上的单调性 方法1:先求出函数全部的单调区间,再给k取特定的整数值,得到在给定区间上的单调性; 方法2:从给定区间出发,得出ωx+φ的范围,对照y=sin x或y=cos x的单调区间,得到在给定区间上的单调性 题型 解法 (3)已知函数的单调区间求参数范围 方法1:求出函数的相应单调区间,令已知区间是所得单调区间的子集,列不等式(组)求解; 方法2:从给定区间出发,得出ωx+φ的范围,令该范围是函数y=sin x或y=cos x相应单调区间的子集,列不等式(组)求解 [对点训练6](多选题)(2025·福建漳州期中)下列不等式中成立的是(　　) A.sin 80°>sin 10° B.cos 40°>cos(-50°) C.sin 3>sin 2 D.tan 48°>tan(-22°)>tan 114° ABD 解析 对于选项A,因为y=sin x在0°~90°范围内单调递增,所以sin 80° >sin 10°,故A正确;对于选项B,cos(-50°)=cos 50°.又y=cos x在0°~90°范围内单调递减,所以cos 40°>cos 50°,即cos 40°>cos(-50°),故B正确;对于选项C,因为y=sin x在区间[,π]上单调递减,<2<3<π,所以sin 3<sin 2,故C错误;对于选项D,由于tan 114°=tan(-66°),而函数y=tan x在-90° ~90°范围内单调递增,且-66°<-22°<48°,所以tan(-66°)<tan(-22°) <tan 48°,即tan 48°>tan(-22°)>tan 114°,故D正确.故选ABD. $