第8章 第5节 椭圆课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“椭圆”专题，依据考试要求系统梳理了定义、标准方程、几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）及焦点三角形等核心考点，通过知识梳理与例题解析对接高考评价体系，明确定义应用、方程求解、离心率计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于真题导向训练与素养提升，如用数学思维推导焦点三角形面积公式，数学语言构建标准方程待定系数法模型，典型题例如离心率计算（例3）、最值问题（例4）。特设易错点警示（课前自测）和方法小结，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此高效指导复习。

第五节 椭　圆 第八章 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.了解椭圆的简单应用. 考试要求 2 知识梳理识 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 注意：(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 常数 焦点 焦距 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 __________________ __________________ 顶点 _________________________________________ __________________________________________ 2.椭圆的简单几何性质 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a A1(-a，0)，A2(a，0)， B1(0，-b)，B2(0，b) A1(0，-a)，A2(0，a)， B1(-b，0)，B2(b，0) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 轴长 短轴长为 ，长轴长为___ 焦点 ___________________ ___________________ 焦距 |F1F2|=____ 对称性 对称轴： ，对称中心：_____ 离心率 ___________ a，b，c的关系 _________ 2b 2a F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 2c x轴和y轴 原点 e=(0<e<1) a2=b2+c2 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.(　　) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(　　) (3)+=1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆.(　　) (4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　) × × × √ 课前自测 2.已知A(-1，0)，B(1，0)，对曲线C上的任意一点P恒有|PA|+|PB|=4，则C的离心率e为 A. B. C. D.2 √ 解析　由于|PA|+|PB|=4>|AB|=2，故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 依题意，2a=4，2c=2，故a=2，c=1，则离心率为e==. 3.已知椭圆+=1(k>0)的一个焦点为F(0，1)，则k等于 A. B. C.5 D.3 √ 解析　由题意可知k2-2=12，又k>0，所以k=. 4.若椭圆C：+=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为 A.3 B.2+ C.2 D.+1 √ 解析　由题意知a=2，b=，所以c=1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c=3. 椭圆中常见结论： 如图，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2=θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0. (2)|PF1|max=a+c，|PF1|min=a-c. (3)|PF1|·|PF2|≤=a2. (4)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a+c). 微点提醒 例题讲解 例1　(1)若F1，F2分别为椭圆C：+=1的左、右焦点，A，B为C上两动点，且A，B，F1三点共线，则△ABF2的周长为 A.4 B.8 C.10 D.20 √ 题型一　椭圆的定义及其应用 解析　∵椭圆方程为+=1，∴a=5， ∵F1，F2分别为椭圆的左、右焦点， A，B为椭圆C上两动点， ∴|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10， 又∵A，B，F1三点共线， ∴△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=20. (2)已知P是椭圆+=1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是　　　　. 解析　在椭圆+=1中，a=2，b=，c=1， 由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4，|F1F2|=2， 在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，由余弦定理， 得4=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60° =(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|=16-3|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|=4，因此=|PF1|·|PF2|sin 60°=×4×=. 小结 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等. (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题. 跟踪训练1　(1)(2026·青岛检测)已知圆M的方程为(x+1)2+y2=16，定点N(1，0)，P为圆M上任意一点，线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q，则点Q的轨迹方程为 A.+y2=1 B.+=1 C.-y2=1 D.x2-=1 √ 解析　因为圆M的圆心为M(-1，0)，半径r=4，由题意知|QN|=|QP|，又|QP|+|QM|=r=4，则|QN|+|QM|=4>|MN|=2，所以点Q在以M(-1，0)，N(1，0)为焦点，2a=4的椭圆上，由a=2，c=1，得b2=a2-c2=3， 所以点Q的轨迹方程为+=1. (2)已知椭圆C：+=1的左焦点为F，Q为椭圆C上任意一点，若点 H(1，1)，则|QH|+|QF|的最大值为 A.4 B.3 C.6 D.5 √ 解析　因为椭圆C：+=1，所以a=2，b=，c=1， F(-1，0)，则椭圆的右焦点为F'(1，0)，由椭圆的定义得 |QH|+|QF|=|QH|+2a-|QF'|≤|HF'|+2a=5， 当且仅当点Q在HF'的延长线上，即点Q在点Q'处时，取等号， 所以|QH|+|QF|的最大值为5. 例2　(1)中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2∶1，焦距为4的椭圆方程为 A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.x2+=1 √ 题型二　椭圆的标准方程 解析　由题意设椭圆方程为+=1(a>b>0)，则a∶b=2∶1，即a=2b， 又2c=4，即c=2， 联立并代入a2=b2+c2可得4b2=b2+12， 解得b2=4，则a2=16， 所以椭圆方程为+=1. (2)已知四点A，B(1，1)，C(0，1)，D中恰有三点在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为　　　　　. +y2=1 解析　因为要求椭圆E的标准方程，所以其图象关于坐标轴对称， 点A与点D关于y轴对称，又恰有三点在椭圆上， 可知A，D两点必在椭圆上， 设椭圆E的标准方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)， 若点B(1，1)在椭圆上， 解析　则方程组无解， 故点B不在椭圆E上， 因此在椭圆E上的三点为A，C，D， 则解得 所以椭圆E的标准方程为+y2=1. 小结 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为+ =1(a>b>0，m>-b2)；与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为+=λ或+=λ(a>b>0，λ>0). 跟踪训练2　(1)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若∠F1MF2=，且△F1MF2的面积为，则椭圆C的标准方程为 A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 √ 解析　方法一　由题设=|MF1|·|MF2|sin∠F1MF2=|MF1|·|MF2|sin=， 可得|MF1|·|MF2|=4，又M为上顶点， 则|MF1|=|MF2|=a=2， 故|F1F2|==2， 所以c=，则b2=a2-c2=1， 故椭圆C的标准方程为+y2=1. 解析　方法二　由题意得解得 故椭圆C的标准方程为+y2=1. 解析　方法一　∵椭圆方程为+=1， ∴=8，=4，=-=4， ∵椭圆的焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)， 由两椭圆焦点相同，得c2==4， ∴解得 ∴所求椭圆的标准方程为+=1. (2)过点A(-，3)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 　　　　. +=1 解析　方法二　由题意可设所求椭圆的标准方程为+=1(m>-4)， 代入点A(-，3)得+=1， 即m2+m-20=0，解得m=4或m=-5(舍去)， 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 例3　已知m为实数，椭圆+=1的离心率为，则m等于 A.6 B.5 C.4 D.3 命题点1　离心率 √ 解析　因为该方程为椭圆方程， 所以m+1>0且m-2>0，解得m>2， 又m+1>m-2，所以a2=m+1，b2=m-2， 则c2=a2-b2=3，所以c=， 由题意得=，解得m=3. 题型三　椭圆的几何性质 小结 求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e=求解. (2)由a与b的关系，利用变形公式e=求解. (3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 例4　(多选)已知椭圆+=1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则 A.的最大值为4 B.|PF1|的取值范围是[4-2，4+2] C.不存在点P使PF1⊥PF2 D.|PB|的最大值为2 命题点2　与椭圆有关的范围(最值) √ √ 解析　对于A，依题意知a=4，b=2，c=2，当P为短轴端点时，()max=×2c×b=4，故A正确； 对于B，由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a-c，a+c]，即[4-2，4+2]，故B正确； 对于C，sin∠F2BO==(O为坐标原点)，所以∠F2BO=，所以∠F1BF2= ，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误； 解析　对于D，设P(x0，y0)， 所以|PB|=， 又+=1，所以=16-4， 所以|PB|= ==， 又-2≤y0≤2，故当y0=-时，|PB|max==，故D错误. 小结 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质. (2)利用函数，尤其是二次函数. (3)利用不等式，尤其是基本不等式. 跟踪训练3　(1)(多选)已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则下列说法正确的是 A.椭圆C的离心率为 B.△PF1F2的面积可能为2 C.|PF1|·|PF2|的最大值为4 D.·的最小值为-2 √ √ √ 解析　选项A，由题意得a2=4，b2=1， 所以c2=a2-b2=3，则a=2，b=1，c=，所以离心率e==，故A正确； 选项B，当P位于短轴端点时，不妨取上端点， 则P(0，1)，此时△PF1F2的面积最大，且为×|F1F2|×1=×2×1=， 所以△PF1F2的面积最大为，不可能为2，故B错误； 选项C，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=4， 所以|PF1|·|PF2|≤=4， 当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取等号，所以|PF1|·|PF2|的最大值为4，故C正确； 解析　选项D，设P(x0，y0)，由题意得F1(-，0)，F2(，0)， 所以=(--x0，-y0)，=(-x0，-y0)， 所以·=+-3， 因为P在椭圆上，所以+=1，且x0∈[-2，2]， 所以·=+-3=-2， 所以当x0=0时，·=-2的最小值为-2，故D正确. (2)已知椭圆C：+=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C上一动点，则的取值范围是　　　　. 解析　设椭圆C的半焦距为c(c>0)，则c==a， ==-1，因为|AF2|∈[a-c，a+c]，即|AF2|∈， 所以-1∈， 即的取值范围是. 本课结束 THANKS $