专题08 统计与概率（3大考点）（山西专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦统计与概率三大考点，精选2026年山西各地二模试题，以居民消费支出、校园体育活动、中医药种植等真实情境为载体，突出数据收集分析与概率应用，强化数学建模与决策能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|统计图选择、数据特征判断、概率计算|结合山西文旅（华夏之根线路）、非遗书签等文化素材，考查基础概念| |填空题|8题|方差比较、众数中位数计算、概率值|以新能源汽车续航、麻雀栖息地等科学情境，检测数据分析能力| |解答题|18题|数据图表补全、样本估计总体、统计决策|设计“双减”作业调查、校园艺术节投票等综合问题，融合数据解释与建议提出，贴合中考命题趋势|

专题08 统计与概率 数据的收集与整理 考点01 1．B 2．B 3．A 4．(1)， (2)估计该校九年级学生中垫球数量为“优秀”的学生总人数为276名 (3)小佳的说法不合理 5．(1)500，501 (2)B (3)240 (4) ①B型号包装机包装翠绿茶的情况较好；②A型号包装机包装翠绿茶的情况较好 (5) 6．(1)7，3 (2)估计株高达到A级和B级的“柴胡”共有824株 (3)在月份需要减少灌溉频率，注意防寒保温． 7．(1)100； (2)估计投票给“手工作品展（D）”的人数约有36人； (3)建议下一届校园艺术节可以增加舞蹈展示的场次或丰富舞蹈展示的形式，同时也可以适当宣传科技展、手工作品展等活动，提升它们的参与度． 8．(1)③，24，108 (2)估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的学生有360人 (3)评价：该校仍有部分九年级学生完成书面作业时间超过90分钟，未达到文件要求；①建议学校适当减少作业量；②建议学生做作业遇到疑难时，及时向他人请教，高效解决问题 9．(1)；；补全数据 (2)主要使用“私家车”出行的大约有人 (3)原因：由扇形统计图可知电动自行车和私家车出行占比＋，容易造成早高峰拥堵，建议在条件允许的情况下选用交通工具出行或时段市民选择早半小时出行 10．(1)①C；③D；④88.8 (2) (3)312名 (4)①学校“阳光体育运动”采取的措施成果显著，超过一半的学生平均每天体育运动的时间为90分钟；②仍然有学生每天平均体育运动的时间不足一小时，学校还需提供更多的体育运动机会． 数据分析 考点02 1．B 2．A 3．A 4．D 5．丙 6． 7．温带森林 8．乙 9．(1)85；86；80 (2)选择乙小组参加比较合适 10．(1)17.8，17.8 (2)270 (3)小王的分析不合理；理由：因为40名学生阅读素养测评得分的中位数为分，前一半的学生进行表彰，则被表彰的学生分数至少为分；年级测评得分的平均数为分，虽然小王的成绩比年级平均分高，但是不确定是否达到分，所以小王的分析不合理． 11．(1)7.6，8 (2)5，8， (3)A校区的学生成绩更好 12．(1)，164，，A (2)平均数不变；方差发生变化，且方差变小 13．(1) ， (2)人 (3)学校可以适当增加科技专题培训次数，丰富科技专题培训类型． 14．(1)3.5，3.5； (2)优化措施： 针对评分为3分的成员，增加“训练内容个性化调整”环节．（如根据成员体能/技术短板设计专属训练小任务） 设计依据： 篮球队的众数是3分，说明中等分值成员人数较多，提升他们的评分能直接改善整体训练情况，且大多数人分数在3~5分，说明整体训练框架合理，无需大规模调整，仅需针对“中等评分群体”做个性化优化即可． 15．(1)①93，91，②， (2)全校最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生约为782人 (3)不合理 概率 考点03 1．C 2．A 3．A 4．D 5．C 6．D 7．D 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．(1)400，240 (2) (3) 15．(1)从平均数看，七年级的平均成绩9.54分<八年级的平均成绩9.61分，所以八年级成绩更高；从中位数看，七年级的中位数9.5分<八年级的中位数9.55分，所以八年级成绩相对高一些；从众数看，七年级的众数9.4分<八年级的众数9.5分，所以八年级的成绩相对高些； (2)七年级能被选中，八年级不能被选中 (3) 2/3 3/3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 统计与概率 3大考点概览 考点01数据的收集与整理 考点02数据分析 考点03概率 数据的收集与整理 考点01 1．（2026·山西吕梁·二模）2025年我国居民人均消费支出构成情况如下表所示．若要表示各构成项目支出占总支出的百分比，则最适合的统计图是（    ） 构成项目 医疗 教育 生活 其他 合计 支出（元） 2573 3489 22735 859 29656 A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图 【答案】B 【分析】根据题目需求，结合各类统计图的作用即可选出正确答案 【详解】解：∵不同统计图作用不同，条形图适合表示具体数量的多少，折线图适合反映数据的变化趋势，扇形图适合表示各部分占总体的百分比，直方图适合表示数据的频数分布， 本题要求表示各构成项目支出占总支出的百分比，符合扇形图的应用场景， ∴最适合的统计图是扇形图． 2．（2026·山西晋城·二模）如图，转盘分为灰、白两种扇形。山山进行多次重复转盘试验后，记录到指针指向灰色区域的频率稳定在左右，由此估算白色扇形区域的圆心角度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出白色区域的频率，再运用频率即可求解． 【详解】解：∵指针指向灰色区域的频率稳定在左右， ∴指针指向白色区域的频率稳定在左右， ∴指针指向白色区域的概率在左右， ∴估算白色扇形区域的圆心角度数是：． 3．（2026·山西阳泉·二模）山西省文化和旅游厅为精准分析2023年全省旅游市场的季度分布特征，助力后续旺季资源调配、服务优化与营销规划，对全年各季度接待游客人次进行了汇总统计．能直观呈现2025年每个季度到山西旅游的人次分别占全年旅游总人次的百分比的统计图是（   ） A．扇形统计图 B．折线统计图 C．条形统计图 D．统计表 【答案】A 【分析】本题考查不同统计图的特征，结合题干需求，根据各类统计图的用途即可选出正确答案． 【详解】扇形统计图的特点是清晰反映各部分数量占总体的百分比，条形统计图侧重体现各部分的具体数量，折线统计图侧重反映数据的变化趋势，统计表无法直观呈现占比关系， ∵题干要求直观呈现每个季度旅游人次占全年旅游总人次的百分比， ∴符合要求的统计图是扇形统计图． 4．（2026·山西吕梁·二模）太原市2025年中考全面实行中考改革，体育考试中新增了足球、篮球、排球的选考项目．某校为了解学生排球垫球水平，以便于更有针对性地进行练习，在九年级随机抽取了两个班的学生，人数均为40人，进行了一分钟垫球数量测试，通过收集、整理、描述和分析，得到如图所示的信息： 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)在扇形统计图中，“良好”所在扇形圆心角度数为________，并补全条形统计图； (2)若该校九年级共有920名学生，请通过两个班的测试成绩来估计该校九年级学生中垫球数量为“优秀”的学生总人数； (3)小佳认为在这次垫球测试中，可以根据优秀率确定哪个班的测试成绩更好一点，小佳的说法是否合理？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)估计该校九年级学生中垫球数量为“优秀”的学生总人数为276名 (3)小佳的说法不合理，理由见解析 【分析】（1）用360度乘以扇形统计图中，“良好”的人数占比可得第一空的答案；求出条形统计图中“合格”的人数，再补全统计图即可； （2）用920乘以样本中两个班级的优秀的学生人数的占比即可得到答案； （3）言之合理即可． 【详解】（1）解：， ∴在扇形统计图中，“良好”所在扇形圆心角度数为； 在条形统计图中，“合格”的人数为名， 补全统计图如下： （2）解：名， 答：估计该校九年级学生中垫球数量为“优秀”的学生总人数为276名； （3）解：小佳的说法不合理，理由如下： 第一个班的优秀率低于第二个班的优秀率，但是第一个班的良好人数和合格人数都高于第二个班的良好人数和合格人数，且第一个班的不合格人数也低于第二个班的不合格人数， ∴从优秀率确定哪个班的测试成绩更好一点是不合理的． 5．（2026·山西晋城·二模）晋城翠绿茶是一种品质优良的绿茶，以其色泽翠绿、香气清雅、味道爽口等特点著称．某翠绿茶加工厂为提高分装效率，计划增购一台包装机，现有A，B两台不同型号的包装机可供选择．试用时，从A，B两台包装机已包装好的产品中各随机抽取10袋测得每袋的实际质量（单位：），设定每袋的标准质量为，将所得数据进行收集整理，部分信息如下： 信息一：A，B两台包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量折线统计图 信息二：A，B两台包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量统计表 统计量 平均数 中位数 众数 A包装机 500.1 a 502 B包装机 500.4 500.5 b 请根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中________，________； (2)由统计图可知，________包装机包装的翠绿茶每袋的质量比较稳定（填“A”或“B”）； (3)若B包装机试用时共包装了600袋翠绿茶，估计其中质量为标准质量的有________袋； (4)综合以上信息，你认为哪台包装机包装翠绿茶的情况较好？请说明理由． 【答案】(1)500，501 (2)B (3)240 (4)①B型号包装机包装翠绿茶的情况较好，理由见解析；②A型号包装机包装翠绿茶的情况较好，理由见解析；（答案不唯一） 【分析】（1）将A型号中的数据排列，然后即可求出中位数，B型号中的数据出现了5次且最多，即可求出众数； （2）由统计图可知，B型号包装机包装的翠绿茶每袋的质量比较稳定； （3）答案不唯一，视角不同，结果不同，从稳定角度看，B种更好，从平均数角度看，A型号更好． 【详解】（1）解：A型号中的数据排列为：498，498，499，499，500，500，501，502，502，502， 故中位数； B型号中的数据出现了5次且最多，故众数； （2）解：从折线统计图的波动来看：A包装机的质量数据波动幅度更大，偏离标准质量的情况更多；B 包装机的质量数据波动幅度更小，整体更集中在附近．因此，B包装机包装的翠绿茶每袋的质量比较稳定． （3）解：由折线统计图可知，B型包装机抽取的10袋样品中，质量为标准质量的共有4袋． ∴600袋中质量为标准质量的袋数为：（袋） 答：估计其中质量为标准质量的有240袋． （4）①B型号包装机包装翠绿茶的情况较好，理由如下： 从折线统计图可以看出，B型号包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量波动小于A型号包装机，则B型号包装机包装的翠绿茶每袋的质量更稳定， ∴B型号包装机包装的翠绿茶的情况较好； ②A型号包装机包装翠绿茶的情况较好，理由如下： 从平均数来看，A型号包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量的平均数为，B型号包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量的平均数为， ∵设定每袋的标准质量为， ∴A型号包装机包装的翠绿茶平均每袋的质量更接近标准质量， ∴A型号包装机包装翠绿茶的情况较好． 6．（2026·山西临汾·二模）山西是中医药文化的重要发祥地之一．为弘扬中医药文化，某中学在学校的种植实验基地开展了主题为“校园百草园”的种植实践活动．从2025年1月1日起，某项目小组在“柴胡”种植区随机选取100株“柴胡”对其生长高度进行定期测量与记录，并将调查结果绘制成如下统计图． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)“柴胡”株高的月平均增长量在______月最高，株高月平均增长量的中位数是______cm； (2)若该校“柴胡”种植区共有1000株“柴胡”，全年均正常生长，请估计2025年12月底，株高达到A级和B级的“柴胡”共有多少株？ (3)该项目小组通过查阅资料得知：当“柴胡”株高的月增长量不高于2cm时属于“缓慢生长期”，这时应减少灌溉频率，并注意防寒保温；当“柴胡”株高的月增长量高于4cm时属于“快速生长期”，这时应及时进行耕除杂草和追施氮肥，促进幼苗健壮生长.请结合统计图①，为“柴胡”的下一年度新苗种植提出一条合理的管理建议． 【答案】(1)7，3 (2)估计株高达到A级和B级的“柴胡”共有824株 (3)见解析 【分析】（1）根据图①可得株高的月平均增长量在月最高，根据中位数的定义进行计算即可； （2）根据样本估计总体进行计算即可； （3）观察统计图，结合题意写出一条建议即可． 【详解】（1）解：月份的纵坐标最大，为， 故株高的月平均增长量在月最高， 将个数据从小到大的顺序排列：， 中间两个数据为第个和第个数据， 故中位数为：； （2）解：A级和B级所占的百分比之和为：， 株高达到A级和B级的“柴胡”共有株； （3）解：在月份需要减少灌溉频率，注意防寒保温． 7．（2026·山西晋中·二模）为丰富校园文化生活，提升学生审美与创造力，增强集体凝聚力，某校在“校园艺术节”开展了多项活动，活动后校方对本次最受欢迎的活动进行了投票统计，以便于下一届活动更好地开展．已知投票的活动包含A．歌唱展示，B．舞蹈展示，C．科技展，D．手工作品展，投票方式为线上和线下两种方式（线下和线上只能选择一个），得到投票结果后，随机抽取部分九年级学生的投票数据绘制成如下所示的统计图． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)本次所抽取九年级投票的学生人数为_______人，并补全条形统计图； (2)若九年级共有600名学生，请估计投票给“手工作品展（D）”的人数； (3)根据上述分析结果，请你为该校下一届“校园艺术节”的顺利开展给出一条合理性建议． 【答案】(1)100；图见解析 (2)估计投票给“手工作品展（D）”的人数约有36人； (3)见解析 【分析】（1）利用C组人数和占比可求得所抽取九年级投票的学生人数，再求得B组线下投票的学生人数即可补全条形统计图； （2）利用样本估计总体即可求解； （3）说法合理即可． 【详解】（1）解：由题意C组人数为人，占比为， 人， 人， 补全条形统计图如图： ； （2）解：人， 答：估计投票给“手工作品展（D）”的人数约有36人； （3）解：从投票结果来看，舞蹈展示(B)的人气最高，占比， 建议下一届校园艺术节可以增加舞蹈展示的场次或丰富舞蹈展示的形式，同时也可以适当宣传科技展、手工作品展等活动，提升它们的参与度． 8．（2026·山西晋中·二模）中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，某校为了解九年级学生的作业完成情况，随机抽取了200名九年级学生开展问卷调查，并形成了如下调查报告（不完整）． XX中学九年级学生每天完成书面作业的情况调查报告 调查主题 XX中学九年级学生每天完成书面作业的情况 调查方式 抽样调查 调查对象 XX中学九年级学生 数据的收集、整理与描述 问题一：本周你平均每天完成书面作业所用时长大约为_____________分钟． 本周平均每天完成书面作业所用时长频数分布直方图 注：平均每天所用时长x（分钟）分为5组：①；②；③；④；⑤． 数据的收集、整理与描述 若你平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟，请回答问题二． 问题二：你完成书面作业所用时间过长的原因是（   ）（单选） A．作业量太大 B．遇到疑难时未及时向他人请教 C．用电子设备查阅资料导致分心 D．其他 完成书面作业所用时间过长的原因扇形统计图 调查结论 … 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)本次调查中，平均每天完成书面作业所用时长的中位数落在第_____________（填序号）组，因“遇到疑难时未及时向他人请教”导致所用时长超过90分钟的学生有_____________人，扇形统计图中“A．作业量太大”所在扇形的圆心角度数为_____________°； (2)若该中学九年级共有1200人，估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的人数； (3)请根据以上调查报告，对该中学学生完成课后作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议． 【答案】(1)③，24，108 (2)估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的学生有360人 (3)评价：该校仍有部分九年级学生完成书面作业时间超过90分钟，未达到文件要求；①建议学校适当减少作业量；②建议学生做作业遇到疑难时，及时向他人请教，高效解决问题 【分析】（1）根据中位数的定义求第一个空，根据条形统计图数据求第二个空，用360度乘以“A．作业量太大”所占百分数，可得第三个空； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）合理即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：∵本次共抽取了200名九年级学生， ∴将这些学生所用时长按从小到大的顺序排列，其中第100和第101个数据的平均数即为中位数， ∵第100和第101个数据均在第③组， ∴中位数落在第③组； 由频数分布直方图可知，所用时长超过90分钟的学生有（人）， ∴因“遇到疑难时未及时向他人请教”导致所用时长超过90分钟的学生有（人）； 扇形统计图中“A．作业量太大”所在扇形的圆心角度数为． （2）解：（人），                         答：估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的学生有360人； （3）解：评价：该校仍有部分九年级学生完成书面作业时间超过90分钟，未达到文件要求；                 建议：①建议学校适当减少作业量；②建议学生做作业遇到疑难时，及时向他人请教，高效解决问题．（答案不唯一，合理即可） 9．（2026·山西太原·二模）随着城市发展和出行方式的多元化，市区部分路段在高峰时段交通压力增大．为研究市民出行习惯，市交通规划部门于年月在某区域随机对名市民进行了问卷调查（所有问卷有效回收），主要内容为常用出行方式及出行时段．调查结果已整理为扇形统计图和条形统计图（不完整），请根据信息回答下列问题： 市民日常出行情况调查问卷 尊敬的市民： 您好！为改善城市交通环境，诚邀您参与本次匿名调查．（以下均为单选题） 1．您最常用的出行方式是（     ） A．步行                      B．自行车/共享单车 C．电动自行车                D．私家车 E．公共交通（公交、地铁等） 2．您通常出行的高峰时段是（     ） A．7:30-8:00                           B．8:00-8:30 C．8:30-9:00                            D．其他时段 (1)扇形统计图中“电动自行车”所在扇形的圆心角为 °；本次调查中，使用“公共交通”出行的市民共有 人，并请补全条形统计图中对应数据． (2)若该区域常住人口中约有5万人在该高峰时段出行，请根据调查数据估算其中主要使用“私家车”出行的大约有多少人． (3)请结合统计图反映的出行方式分布，分析造成早高峰交通拥堵的一个可能原因，并从市民或城市规划角度提出一条改善建议． 【答案】(1)；；补全数据 (2)主要使用“私家车”出行的大约有人 (3)原因：由扇形统计图可知电动自行车和私家车出行占比＋，容易造成早高峰拥堵，建议在条件允许的情况下选用交通工具出行或时段市民选择早半小时出行 【分析】（1）根据圆心角度数等于；根据频数等于样本容量乘以所占百分比，根据频数之和等于样本容量计算解答即可． （2）利用样本估计总体的思想求解即可． （3）根据所占比角度去思考解答即可． 【详解】（1）解：扇形统计图中“电动自行车”所在扇形的圆心角为； 本次调查中，使用“公共交通”出行的市民共有人， “私家车”人数为：人， 故B时段的人数为：人 故条形统计图中对应数据为40人； （2）解：（人） 答：主要使用“私家车”出行的大约有人． （3）略 10．（2026·山西吕梁·二模）为落实“阳光体育运动”政策，满足学生课后延时服务需求，某校在课后服务中全面开展内容丰富、形式多样的体育活动，切实减轻学生学习负担，促进学生健康成长．为了了解该校学生体育活动情况，实施锻炼时间目标管理，该校数学兴趣小组用调查问卷随机调查了该校部分学生平均每天参与体育运动的时间． 调查目的 1．了解本校初中生平均每天在校体育运动情况 2．给学校提出更合理的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 体育运动时间调查问卷你平均每天在校参与体育运动的时间为：（每组时间含最小值，不含最大值；请根据实际情况在方框内打上“√”） □A：0-30分钟           □B：30-60分钟           □C：60-90分钟 □D：90-120分钟         □E：120分钟及以上 调查过程 【数据收集】 ①兴趣小组计划抽取该校七年级50名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是________． A．从该校七年级1班中随机抽取50名学生的调查问卷 B．从该校七年级女生中随机抽取50名学生的调查问卷 C．从该校七年级学生中随机抽取男、女各25名学生的调查问卷 【数据整理】 ②通过问卷调查，兴趣小组获得了被抽查学生平均每天在校参与体育运动的时间，进行整理统计，并绘制了如下条形统计图和扇形统计图（不完整）． 【数据分析】 ③本次调查学生平均每天参与体育运动的时间的众数落在________中（A，B，C，D，E中选择填写）； ④若A组数据均近似地看作15分钟，B组数据均近似地看作45分钟，C组数据均近似地看作75分钟，D组数据均近似地看作105分钟，E组数据均近似地看作150分钟，则被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为________分钟． 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： (1)请将调查报告补充完整； ①________；③________；④________； (2)请将【数据整理】中的条形统计图补充完整； (3)如果学校将管理目标确定为每天不少于90分钟，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？请说明理由． (4)请你结合上面的统计结果，对该校“阳光体育运动”采取的措施写出一条合理的建议． 【答案】(1)①C；③D；④88.8 (2)见解析 (3)312名 (4)见解析 【分析】（1）①根据抽样调查的样本代表性原则，判断三个抽取方法中能全面反映七年级学生整体情况的选项；③对比各组的人数，人数最多的组即为众数所在组；④利用加权平均数公式，将每组的组中值乘以对应人数求和后除以总人数，得到平均时间； （2）先通过扇形统计图的各部分占比和已知的抽样总人数，计算出B组、C组的人数，补全条形统计图； （3）先统计出运动时间不少于分钟的人数占抽查总人数的比例，再乘以全校总人数得到估计的达标人数，结合达标比例判断目标合理性； （4）根据统计结果反映的学生运动时间分布情况，提出针对性的活动调整建议． 【详解】（1）解：（1）①随机抽样需要具有代表性，因此随机抽取男、女各25名学生更合理，故选C； ③条形统计图可得，调查的总人数为（人）， ∴C组人数为（人），B组人数为（人）， ∴D组人数最多，故众数落在D组中； ④被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为（分钟）． （2）解：补充完整的统计图，如图所示： （3）解：（名）． 答：估计有312名学生能完成目标，目标合理，因为，过半的学生都能完成这个目标，所以这个目标合理． （4）解：①学校“阳光体育运动”采取的措施成果显著，超过一半的学生平均每天体育运动的时间为90分钟；②仍然有学生每天平均体育运动的时间不足一小时，学校还需提供更多的体育运动机会．（合理即可） 数据分析 考点02 1．（2026·山西阳泉·二模）某校九年级期中考试后，未公布全校排名，但公布了全校九年级学生期中考试成绩的部分统计量．若该校九年级的学生小明想知道自己的成绩是否超过全校九年级一半的学生，则他最应该关注的统计量为（） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据各统计量的含义即可选出正确答案． 【详解】解：∵中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数，一组数据中有一半数据不大于中位数，一半数据不小于中位数；平均数反映数据的平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数值，方差反映数据的波动程度，这三个统计量都无法直接判断成绩是否超过全校一半学生； ∴小明需要判断自己的成绩是否超过全校一半学生，只需将自己成绩与中位数比较即可， ∴他最应该关注的统计量是中位数． 2．（2026·山西运城·二模）在“探究重力与质量的关系”的实验中，小明和小亮使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：），记录数据如下：小明：；小亮：，关于小明和小亮测量数据的波动程度，下列说法正确的是（    ） A．小明的测量数据波动更大 B．小亮的测量数据波动更大 C．两人的测量数据波动一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】数据的波动程度由方差判断，方差越大，数据波动越大，据此计算两组数据的方差，再比较大小即可得到结论． 【详解】解：∵ 小明测量数据为 ， ∴ 小明数据的平均数 ， 小明数据的方差 ， ∵ 小亮测量数据为 ， ∴ 小亮数据的平均数 ， 小亮数据的方差 ， ∵ ， ∴ 小明的测量数据波动更大． 3．（2026·山西临汾·二模）我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成了完整且竞争力强的产业链，涌现了一批具有国际竞争力的企业.某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了甲、乙、丙、丁四种车型在满电状态下的平均续航里程（单位：）与续航里程的方差，根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择（   ） 车型 甲 乙 丙 丁 平均续航里程 420 420 410 400 续航里程的方差 0.03 0.06 0.03 0.05 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查平均数和方差的实际意义，平均数越大代表平均续航里程越长，方差越小代表续航表现越稳定，结合两个要求筛选即可得到答案． 【详解】解：∵ 四款车型中，平均续航里程最大的是甲和乙，均为 ， ∴甲和乙满足平均续航里程长的要求， 又∵ 方差越小续航表现越稳定，甲的方差为，小于乙的方差， ∴ 甲满足平均续航里程长且续航表现稳定的要求，因此选A． 4．（2026·山西太原·二模）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办，极大地提升了国民对运动的热情．某高校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一位，参加射击比赛，下表记录了四位同学平时成绩的平均数（单位：环）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参加比赛，则应选择是（    ）． 甲 乙 丙 丁 平均数 9.1 8.6 7.9 9.1 方差 2.02 0.85 0.85 0.96 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了平均数，方差，根据平均数和方差的意义来选择，平均数越高成绩越好，方差越小状态越稳定，先通过平均数筛选出成绩好的同学，再比较方差选出状态稳定的同学即可． 【详解】解：由表格数据可知，甲和丁的平均数最大，为9.1；在平均数相同的甲和丁中，丁的方差0.96小于甲的方差2.02，说明丁的成绩更稳定，故应选择丁， 故选：D． 5．（2026·山西太原·二模）如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是_______同学． 【答案】丙 【分析】根据平均数越高的成绩越好，方差越小发挥越稳定，故选择平均数高的且方差小的同学去参加比赛即可． 【详解】解：∵， ∴丙同学和丁同学抛实心球10次训练成绩的平均数高， ∵， ∴丙同学和丁同学抛实心球10次训练成绩的方差相比，丙同学的方差较小，发挥稳定， ∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，应该选择丙． 6．（2026·山西阳泉·二模）某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元．如图是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为____元． 【答案】 【分析】利用扇形统计图中各简餐价格对应的销售占比作为权重，代入加权平均数公式求解即可． 【详解】解：根据加权平均数的计算公式： 平均数． 7．（2026·山西晋中·二模）为了解不同栖息地对麻雀体重的影响，生物学家对干旱草原和温带森林中的麻雀进行了研究，分别从两地随机捕捉数量相同的麻雀，测量并统计其体重的平均数与方差，已知体重越稳定，越适宜生存，数据如下表，则麻雀更适宜在_______（填“干旱草原”或“温带森林”）栖息地生存． 平均数 方差 干旱草原的麻雀 20 87.5 温带森林的麻雀 20 5.8 【答案】温带森林 【详解】解：由表格可得，干旱草原和温带森林的麻雀体重平均数相同，说明平均体重没有差异； 而温带森林的麻雀体重的方差小于干旱草原的麻雀的体重的方差，说明温带森林的麻雀体重波动小，体重差异小，代表麻雀在该栖息地的生存状态更稳定， 因此麻雀更适宜在温带森林栖息地生存． 8．（2026·山西吕梁·二模）某篮球队甲、乙两队队员进行投篮训练，每人投篮20次的命中数统计如下表，则成绩好的队伍是________队． 队伍 参加人数 平均命中数 中位数 方差 甲队 30 12 11 6.5 乙队 30 12 13 4.2 【答案】乙 【分析】根据平均数相等，比较两队的中位数和方差即可得结论． 【详解】解：∵两队的平均数相等，乙队的中位数大于甲队的中位数，乙队的方差小于甲队的方差， ∴成绩好的队伍是乙队． 9．（2026·山西吕梁·二模）2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日．为进一步加强安全教育工作，提升中小学生的安全防范意识和自我保护能力，某校开展安全知识竞赛，各班级以小组为单位组织初赛．九（1）班对本班甲，乙两组同学（每组8人）的初赛成绩进行分析． 数据整理：将甲，乙两组同学的初赛成绩整理成如下的统计图． 数据分析：对这两组同学的初赛成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 乙组 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)九（1）班计划从甲，乙两组中选取一个小组去参加校级安全知识竞赛，你认为选取哪个小组参加比较合适？请结合上表中的两个统计量说明理由． 【答案】(1)85；86；80 (2)选择乙小组参加比较合适，理由见解析 【分析】（1）根据平均数，中位数， 众数的定义，即可求解； （2）答案不唯一，从四个统计量中，任选两个角度说明理由即可． 【详解】（1）解：甲组的平均数为：, 乙组数据从小到大排列为：，，，，，，， 则乙组的中位数为：，乙组的众数为： ∴；；； （2）选择乙小组参加比较合适． 答案不唯一，从以下四个角度中任选两个角度说明理由即可． 理由如下：①从平均数来看，甲组初赛成绩的平均数为分，乙组初赛成绩的平均数为分，两组初赛成绩的平均数相等． ②从中位数来看，甲组初赛成绩的中位数为分，乙组初赛成绩的中位数为分，乙组初赛成绩的中位数大于甲组初赛成绩的中位数． ③从众数来看，甲组初赛成绩的众数为分，乙组初赛成绩的众数为分，乙组初赛成绩的众数大于甲组初赛成绩的众数． ④从方差来看，甲组初赛成绩的方差为，乙组初赛成绩的方差为，乙组初赛成绩的方差小于甲组初赛成绩的方差，所以乙组初赛成绩更稳定． 10．（2026·山西太原·二模）为深入贯彻习近平总书记关于“爱读书、读好书、善读书”的重要指示精神，教育部于2026年4月发布《中国青少年阅读素养框架》教育行业标准．依据这一框架，某校从七年级学生中随机抽取40名进行阅读素养测评（满分20分），将测评成绩分为5组（每组成绩含最小值不含最大值）进行整理，绘制成如下的频数直方图： 【数据整理】 说明：①在组内的10个数据为：；；；；；；；；； ②其他各组内的数据均无重复． 【数据分析】 40名同学阅读素养测评成绩分析数据统计表 平均数/（分） 众数/（分） 中位数/（分） 【问题解决】 (1)表中________，________； (2)若将阅读素养测评得分不低于17分划定为“良好”，由此可估计该校七年级共400名学生中，阅读素养达到“良好”等级的约有________人； (3)学校对数据进行分析后，最终决定将对本次阅读素养测评成绩在前一半的学生进行表彰．学生小王说：“我的测评成绩比年级平均分高，所以我一定能受到表彰！”他的分析合理吗？请你进行判断，并说明理由． 【答案】(1)17.8，17.8 (2)270 (3)小王的分析不合理；理由：因为40名学生阅读素养测评得分的中位数为分，前一半的学生进行表彰，则被表彰的学生分数至少为分；年级测评得分的平均数为分，虽然小王的成绩比年级平均分高，但是不确定是否达到分，所以小王的分析不合理． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）利用“样本估计总体”进行求解即可； （3）利用中位数和平均数进行判断即可． 【详解】（1）解：40个数据的中位数是第20个和第21个数据的平均数，由直方图可知， 和两组人数为：， 说明第20、21个数据都在组内， 在组内的10个数据从小到大排列为： ；；；；；；； ； ； 则中位数为； 由于其他各组内的数据均无重复，在组内，出现3次， 则众数为； （2）解：人 则该校七年级共400名学生中，阅读素养达到“良好”等级的约有270人； （3）略 11．（2026·山西大同·二模）为传承中华优秀传统文化，引导学生理解中华文化的独特性与延续性，树立“何以中国”的文化自觉，某校开展了中华知识国学大赛，从A，B两个校区各随机抽取30名学生参赛，并对学生的成绩（满分10分）进行整理分析，得到如下所示的统计图与统计表（不完整）． 两校区被抽取的学生成绩条形统计图 两校区被抽取的学生成绩统计表 校区 平均数 中位数 众数 A 8 B 7.2 7.5 8 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____； (2)B校区所抽取的学生中，成绩为7分的有_____人，8分的有_____人，并补全如图所示的条形统计图； (3)根据以上数据分析，你认为哪个校区的学生成绩更好？请说明理由（写出两条即可）． 【答案】(1)7.6，8 (2)5，8，图见解析 (3)A校区的学生成绩更好，理由见解析 【分析】（1）根据A校区的数据即可求出A校区的平均数和众数； （2）由B校区所抽取的30名学生成绩的中位数为7.5分，可得这30名学生的成绩按从大到小排列，第15，16位的成绩分别为8分，7分，而成绩为10分和9分的共有人，据此即可求出B校区成绩为7分的人数和8分的人数； （3）A校区的学生成绩更好，从平均数和中位数的角度说出两个理由即可． 【详解】（1）解： 平均数， 由条形统计图可知，A校区成绩为分有人，人数最多， ∴A校区所抽取的30名学生成绩的众数为8． （2）解：成绩为10分和9分的共有（人），B校区所抽取的30名学生成绩的中位数为7.5分， 这30名学生的成绩按从大到小排列，第15，16位的成绩之和为（分）， 第15，16位的成绩分别为8分，7分， ∴成绩为8分的有（人），成绩为7分的有（人）． 补全条形统计图，如图所示： （3）解：A校区的学生成绩更好 理由：A校区学生成绩的平均分为7.6分，高于B校区的7.2分，故A校区学生整体成绩更好一点，A校区学生成绩的中位数为8分，B校区学生成绩的中位数为7.5分，故A校区学生高分段的人数更多． 综上所述，A校区的学生成绩更好．（理由不唯一，合理即可） 12．（2026·山西阳泉·二模）为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队．指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）：165  166  165  163  168  169  167  165 B组同学的身高（）：166  172  164  168  164  160  164  170 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 a 165 m B组 166 165 b 13 根据上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____，_____，两组同学中身高更整齐的是_____组（填“A”或“B”）； (2)在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 【答案】(1)，164，，A (2)平均数不变；方差发生变化，且方差变小 【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义解答即可； （2）求出人数增加后A组所有同学身高的平均数和方差，即可求解． 【详解】（1）解：把表示A组同学的身高的数据从小到大排列为163，165，165，165，166，167，168，169，位于正中间的两个数为165，166， ∴中位数； 表示B组同学的身高的数据中164出现的次数最多， ∴众数， ∵两组同学中身高的平均数相同，且A组同学中身高的方差小于B组同学中身高的方差， ∴两组同学中身高更整齐的是A组； （2）解：人数增加后A组所有同学身高的平均数为， 所以人数增加后A组所有同学身高的平均数不变； 人数增加后A组所有同学身高的方差为， 所以人数增加后A组所有同学身高的方差发生变化，且方差变小． 13．（2026·山西阳泉·二模）为强化中小学科学实践教育，提升学生科学素养与创新能力，推动科学知识普及与实践技能提升．某校积极响应号召，在全校范围内开展科技普及专题培训，并在普及前和普及后进行科技知识测试（满分分，测试成绩均为整数）．数据整理：该校综合与实践小组的同学随机抽取名学生的测试成绩绘制成如下条形统计图： 普及前和普及后科技知识测试成绩条形统计图 数据分析：该校综合与实践小组的同学对名学生测试成绩的数据进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 普及前 普及后 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________． (2)若该校共有名学生，请你估计普及后成绩不低于分的学生人数． (3)请你根据上述统计图中的信息，评价本次科技普及专题培训的效果，并提出合理化建议．（写出一条即可） 【答案】(1) ， (2)人 (3)答案不唯一，见解析 【分析】（）根据加权平均数和众数的定义解答即可求解； （）利用样本估计总体的方法解答即可求解； （）根据数据给出评价和合理化建议即可； 本题考查了条形统计图，平均数和众数，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【详解】（1）解：由条形统计图可得，普及前平均数， 普及后分出现的次数最多， ∴众数， 故答案为： ，； （2）解：， 答：估计普及后成绩不低于分的学生人数为； （3）解：答案不唯一，合理即可，如： 效果：本次科技普及专题培训效果不错，普及后测试成绩的平均数高于普及前； 建议：学校可以适当增加科技专题培训次数，丰富科技专题培训类型． 14．（2026·山西阳泉·二模）开学已过半，临近年级体育联赛预热阶段，某校体育组在复盘近期篮球队、足球队的训练情况时，发现当前的训练反馈仅以“任务完成/未完成”的勾选方式记录呈现．为提升训练质量，体育组对校篮球队、校足球队的成员开展了更详细的训练评分调查，训练评分以分数呈现．（从低到高为1分、2分、3分、4分、5分，共5档） 数据整理： 数据分析： 校篮球队、校足球队评分分数统计表 评分分数平均数 评分分数中位数 评分分数众数 校篮球队 3.5 3 校足球队 4 4 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)填空：______；______； (2)结合统计数据（平均数、中位数、众数等），为篮球队设计1条针对性的训练优化措施，并说明该措施的设计依据． 【答案】(1)3.5，3.5； (2)见解析 【分析】（）中位数是一组数从小到大排列中间的数就是中位数（偶数个数则为中间两个数的平均数），平均数是一组数据的和个数即可求得； （）结合中位数众数平均数等情况给出个性化的建议即可． 【详解】（1）解：篮球队的总人数为（人），从小到大排列，中位数为第 10、11 个数的平均数，，，所以第10位的分数为3，第11位的分数为4，所以； 足球队的总人数为， ∴； （2）解：优化措施： 针对评分为3分的成员，增加“训练内容个性化调整”环节．（如根据成员体能/技术短板设计专属训练小任务） 设计依据： 篮球队的众数是3分，说明中等分值成员人数较多，提升他们的评分能直接改善整体训练情况，且大多数人分数在3~5分，说明整体训练框架合理，无需大规模调整，仅需针对“中等评分群体”做个性化优化即可． 15．（2026·山西运城·二模）安全教育无小事．某校在春季学期开学之初，开展了多场“消防安全”专题讲座并组织每班的安全标兵参加了“消防安全”知识竞赛．信息一：在“消防安全”讲座结束后，校方对学生最感兴趣的内容进行了问卷调查（调查问卷如图所示）．所有问卷全部收回且有效，并对调查结果进行抽样汇总，得到了下面的统计图．信息二：七、八年级各11名安全标兵参加“消防安全”知识竞赛的成绩（单位：分，满分100分）如下：七年级安全标兵竞赛成绩：86，88，93，79，93，87，93，90，93，99，100．八年级安全标兵竞赛成绩：87，95，91，90，92，90，94，91，91，89，91．请根据信息回答问题． “消防安全”讲座 最感兴趣的内容调查问卷在讲座中，你最感兴趣的内容是（    ）（单选） A．相关法律法规 B．灭火方法和逃生技巧 C．生活中的安全隐患及预防办法 D．其他 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 91 93 八年级 91 91 (1)①__________，__________． ②在扇形统计图中，“A”所对应的扇形圆心角的度数为__________，并补全条形统计图． (2)估计全校1700名学生中最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生人数． (3)小吴认为七年级和八年级竞赛成绩的平均数相同，因此两个年级的成绩一样好．你认为小吴的说法是否合理，请结合上表中的数据说明理由（写出一条即可）． 【答案】(1)①93，91，②，补全条形统计图见解析 (2)全校最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生约为782人 (3)不合理．理由见解析 【分析】（1）①利用中位数和众数的定义求解； ②求出总数，然后根据占比求出圆心角度数，求出选项B的人数补全条形统计图即可； （2）根据样本频数估计总体频数； （3）通过中位数和众数作出决策即可． 【详解】（1）解：①七年级的中位数为排序后的第6位数，即； 八年级中91出现的次数最多， ∴众数； ②总数为（人）， “A”所对应的扇形圆心角的度数为； 选项B的人数为（人）， 补全条形统计图如答图所示． （2）解：（人）， 答：全校最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生约为782人； （3）解：不合理．理由如下： 答案不唯一，例如：①从中位数的角度看，七年级竞赛成绩的中位数为93分，高于八年级竞赛成绩的中位数91分，因此七年级的成绩更好． ②从众数的角度看，七年级竞赛成绩的众数为93分，高于八年级竞赛成绩的众数91分，因此七年级的成绩更好． 概率 考点03 1．（2026·山西阳泉·二模）2026年4月15日，山西五大文脉旅游线路发布，分别是：华夏之根、土木华章、晋魂春秋、雄关万里、表里山河．某自媒体创作者计划从这五条线路中随机选择一条进行实地探访，则他选中“华夏之根”线路的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只需找出所有等可能的总情况数和符合题意的情况数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从5条线路中随机选1条，共有5种等可能的结果，选中“华夏之根”的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，选中“华夏之根”线路的概率为． 2．（2026·山西吕梁·二模）楷书的代表人物主要是“楷书四大家”——欧阳询、颜真卿、柳公权和赵孟頫书法课上，小元和小丽制作了4张材质、规格完全相同的卡片，将“楷书四大家”的名字分别写在不同的卡片上，将这些卡片背面朝上洗匀，小元先抽（不放回）一张，然后小丽抽一张，则他们抽取的卡片是欧阳询和柳公权的概率是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算所有等可能的结果总数，再找出满足要求的结果数，代入公式计算概率. 【详解】解：记欧阳询、颜真卿、柳公权、赵孟頫分别为、、、， 画树状图如下： 所有等可能结果总数为种， 满足“抽到欧阳询和柳公权”条件的结果有和，共种， ∴由概率公式得，所求概率． 3．（2026·山西晋中·二模）化学实验课上李老师在给学生做演示实验时从能和浓硫酸发生化学反应的镁、锌、锰、碳、磷五种物质中随机选择两种物质进行化学实验，其中与镁、锌、锰的反应在常温下进行，与碳、磷的反应需要加热，则李老师选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：分别用A、B、C、m、n表示镁、锌、锰、碳、磷，列表如下： 由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的结果数有6种（镁、锌、锰的反应在常温下进行）， ∴选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的概率为. 4．（2026·山西大同·二模）如图为一款跳方格游戏的路线图，游戏规则规定：按照路线图所示线路，每次只能随机跳一格至相邻的方格（可返回上一个方格，但不能原地跳），则小宇从方格出发，连续跳两次后回到方格的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中连续跳两次后回到方格的结果有4种， （连续跳两次后回到方格）． 5．（2026·山西晋中·二模）2026年央视春晚舞台上共有4个融入机器人表演的节目，分别是武术《武BOT》、小品《奶奶的最爱》、歌曲《智造未来》和贺岁微电影《我最难忘的今宵》．为让学生感受科技与文艺的融合之美，某校将开展科技普及讲座，并计划从春晚这4个节目中随机选取2个节目片段用于校内宣传，则抽取的两个节目恰好是《武》和《智造未来》的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先列表，然后根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：将《武》、《奶奶的最爱》、《智造未来》、《我最难忘的今宵》分别用A，B，C，D表示，列表如下： 第一个 第二个 A B C D A - B - C - D - 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两个节目恰好是《武》和《智造未来》的结果有2种， （抽取的两个节目恰好是《武》和《智造未来》）． 6．（2026·山西太原·二模）已知某一事件发生的概率是，下列说法正确的是（     ） A．做100次重复试验，该事件一定会发生50次 B．第一次试验该事件没有发生，第二次试验该事件一定会发生 C．两次重复试验中，该事件必定会发生一次 D．重复多次试验，该事件发生的频率稳定在左右 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，概率反映随机事件发生的可能性大小，大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在概率附近，概率不代表试验中必然得到确定的结果． 【详解】根据概率的定义，概率是描述随机事件发生可能性大小的量，不是确定的必然结果。 选项A，概率为仅表示发生可能性，做次重复试验，该事件不一定恰好发生次，故选项A错误； 选项B，每次试验都是独立的随机事件，第一次试验该事件没发生，第二次试验不一定发生，故选项B错误； 选项C，两次重复试验中，该事件可能发生0次，1次或2次，不是必定发生一次，故选项C错误； 选项D，重复多次试验时，该事件发生的频率稳定在概率左右，符合概率的基本意义，故选项D正确． 7．（2026·山西吕梁·二模）在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出所有等可能的摸球结果，找出颜色相同的结果数，计算出对应概率，多次试验的频率会稳定在概率附近，据此即可得到答案． 【详解】解：记两个红球分别为，白球为，黄球为． ∵从中一次摸出两个球，所有等可能结果为： ， ， ， ， ， ，共种等可能的结果， 其中摸到两个球颜色相同的结果只有种，即 ， ∴摸到两个颜色相同的球的概率为 ． 根据频率估计概率，多次重复试验后，频率会稳定在概率附近，因此频率最可能接近． 【点睛】 8．（2026·山西阳泉·二模）不透明袋子中装有9个球，其中有3个白球、5个黑球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率为______． 【答案】 【分析】根据白球的概率白球的个数球的总数，代入球的数量直接计算即可． 【详解】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有3个白球， ∴白球的概率为． 9．（2026·山西吕梁·二模）“经史子集”是中国古代典籍分类体系，分别对应儒家经典、史书、诸子百家著作及文集诗词．现将“经”“史”“子”“集”四张书签背面朝上放在桌面上（书签背面完全相同），从中随机抽取一张，放回并混在一起，再从中随机抽取一张，则抽取的两张书签恰好是“经”和“史”的概率是________． 【答案】 【详解】解：设“经”“史”“子”“集”分别记为：，，，，列表如下， 共有种等可能结果，其中抽取的两张书签恰好是“经”和“史”的有种， ∴抽取的两张书签恰好是“经”和“史”的概率为：． 10．（2026·山西阳泉·二模）《自叙帖》被誉为“天下第一草书”，依据《自叙帖》制作成如图所示的A，B，C，D四张卡片，它们除正面图案外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片是A和D的概率为__________． 【答案】 【分析】运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图所示，把所有等可能结果表示如下， ∴共有12种等可能结果，其中选择A和D的结果有2种， ∴两次抽取的卡片是A和D的概率， 故答案为： ． 11.（2026·山西太原·二模）某非遗工坊推出“山西印象”主题书签，包含平遥古城、五台山、乔家大院、云冈石窟种书签，小晋从中随机抽取张（不放回），再从中随机抽取一张，两次恰好抽到平遥古城和云冈石窟书签的概率是______． 【答案】 【分析】画出树状图，再根据树状图解答即可求解． 【详解】解：将平遥古城、五台山、乔家大院、云冈石窟书签分别记为，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中两次恰好抽到平遥古城和云冈石窟书签的结果有种， ∴两次恰好抽到平遥古城和云冈石窟书签的概率是． 12．（2026·山西运城·二模）为践行绿色低碳理念，增强环保意识，美化生态家园，某校在植树节组织学生前往劳动实践基地参加植树活动．所有学生被随机分配到A，B，C，D四个小组，则小明和小亮在同一小组的概率为__________． 【答案】 【详解】解：由题意，列表如下： 小亮小明 A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 由列表可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小亮在同一小组的结果为4种， ∴小明和小亮在同一小组的概率． 13．（2026·山西临汾·二模）周末，小辰、小苏、小彦、小夏四人准备开车出去游玩，四人中只有小夏不会开车，车辆座位如图所示，则小夏和小彦坐在同一排的概率为______． 【答案】 【分析】利用树状图法求解即可． 找到同一排的所有情况，再除以总的情况数即可求解． 【详解】解：画出树状图，如图： 总的情况数为9，二人在同一排的情况数为3， 故小夏和小彦坐在同一排的概率为：． 14．（2026·山西吕梁·二模）为贯彻落实山西省教育厅《关于加强中小学生体质健康管理的实施意见》，某中学在九年级开展了“阳光体育”大课间活动，并组织全年级全体学生进行了“1分钟跳绳”体能测试．测试成绩根据《国家学生体质健康标准》划分为四个等级：把1分钟跳绳完成个数用表示，，，，D：．该校将此次“1分钟跳绳”体能测试的成绩整理成如下两幅尚不完整的统计图． 请根据上述信息，解决下列问题： (1)该校九年级共有 名学生，B等级对应的人数为 人； (2)扇形统计图中，D等级所对应扇形的圆心角度数为 ； (3)已知此次测试中成绩前五名的同学（记为A，B，C，D，E），其中A和D是女生，另外3人是男生．老师从5人中随机邀请2人给其他同学做示范，请用列表或画树状图的方法，求邀请的2位同学恰好都是男生的概率． 【答案】(1)400，240 (2) (3) 【分析】本题考查了频数分布直方图、用扇形统计图，列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）利用A的人数除以所占的比例可求得九年级有多少名学生，再用总人数减去A，C，D 等级的人数即可求出B等级的人数； （2）求得D等级人数点总人数的百分数，扇形的圆心角度数是360度乘以对应的百分数即可求解； （3）用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出选中的这两人都是男生的概率． 【详解】（1）解：九年级学生人数为：（人） B等级的人数为（人）， 故答案为：400；240； （2）解：， 故答案为：； （3）解：列表如下： A B C D E A B C D E 由列表可知，总共有20种结果，每种结果出现的可能性都相同．其中邀请的2位同学恰好都是男生的结果有6种． 所以（邀请的2位同学恰好都是男生）． 15．（2026·山西临汾·二模）为了丰富学生的课余生活，努力营造互帮互助、和谐健康的校园文化氛围，树立学生意气风发、积极向上的精神风貌，促进德育工作深入发展，借助“五四”青年节来临之际，临汾某校对七、八年级各十个班级举行了“请党放心，强国有我”为主题的唱红歌歌咏比赛活动，并对他们的成绩给出以下评分：（单位：分） 七年级成绩 9.3 9.5 9.4 9.6 9.4 9.7 9.5 9.8 9.4 9.8 八年级成绩 9.7 9.5 9.4 9.6 9.5 9.8 9.5 9.9 9.8 9.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)请你对七，八年级的成绩进行评价；（从“平均数”、“中位数”或“众数”中的一方面评价即可） (2)七年级（2）班和八年级（1）班的成锁都是9.7分，学校校委会决定从每个年级各选出成绩最好的三个班级给初三学子进行解压助威表演，请你分别判断这两个班级能否被选中？（只需写出判断结果） (3)要举行歌咏比赛，少不了主持人，学校准备从小明，小亮，小刚三名男生和小红，小青两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任主持人，请用列表或画树状图的方法，求出小明和小红恰好被选中的概率． 【答案】(1)见解析 (2)七年级能被选中，八年级不能被选中 (3) 【分析】此题考查了用列表法求概率，中位数、众数、平均数等统计量，准确求解各量是关键． （1）分别求出平均数、中位数、众数进行比较即可； （2）根据成绩的排名情况进行判断即可； （3）列表法进行解答即可． 【详解】（1）解：七年级成绩从小到大排列如下： 9.3，9.4，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，9.7，9.8，9.8， 八年级成绩从小到大排列如下： 9.4，9.4，9.5，9.5，9.5，9.6，9.7，9.8，9.8，9.9， 七年级成绩的平均数为：（分） 中位数为：（分） 众数为9.4分； 八年级成绩的平均数为：（分） 中位数为：（分） 众数为9.5分； 从平均数看，七年级的平均成绩9.54分<八年级的平均成绩9.61分，所以八年级成绩更高；从中位数看，七年级的中位数9.5分<八年级的中位数9.55分，所以八年级成绩相对高一些；从众数看，七年级的众数9.4分<八年级的众数9.5分，所以八年级的成绩相对高些；（选择一方面评价，合理即可） （2）从（1）可知，9.7在七年级成绩中从高到低是排第三名，故能被选中，从（1）可知，9.7在八年级成绩中从高到低是排第四名，故不能被选中， 综上可知，：七年级能被选中，八年级不能被选中； （3）依题意，列出表格： 小红 小青 小明 （小明，小红） （小明，小青） 小亮 （小亮，小红） （小亮，小青） 小刚 （小刚，小红） （小刚，小青） 共有6种等可能的结果，其中选中小明和小红的结果只有1种， 所以小明和小红恰好被选中的概率为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 统计与概率 3大考点概览 考点01数据的收集与整理 考点02数据分析 考点03概率 数据的收集与整理 考点01 1．（2026·山西吕梁·二模）2025年我国居民人均消费支出构成情况如下表所示．若要表示各构成项目支出占总支出的百分比，则最适合的统计图是（    ） 构成项目 医疗 教育 生活 其他 合计 支出（元） 2573 3489 22735 859 29656 A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图 2．（2026·山西晋城·二模）如图，转盘分为灰、白两种扇形。山山进行多次重复转盘试验后，记录到指针指向灰色区域的频率稳定在左右，由此估算白色扇形区域的圆心角度数是（   ）． A． B． C． D． 3．（2026·山西阳泉·二模）山西省文化和旅游厅为精准分析2023年全省旅游市场的季度分布特征，助力后续旺季资源调配、服务优化与营销规划，对全年各季度接待游客人次进行了汇总统计．能直观呈现2025年每个季度到山西旅游的人次分别占全年旅游总人次的百分比的统计图是（   ） A．扇形统计图 B．折线统计图 C．条形统计图 D．统计表 4．（2026·山西吕梁·二模）太原市2025年中考全面实行中考改革，体育考试中新增了足球、篮球、排球的选考项目．某校为了解学生排球垫球水平，以便于更有针对性地进行练习，在九年级随机抽取了两个班的学生，人数均为40人，进行了一分钟垫球数量测试，通过收集、整理、描述和分析，得到如图所示的信息： 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)在扇形统计图中，“良好”所在扇形圆心角度数为________，并补全条形统计图； (2)若该校九年级共有920名学生，请通过两个班的测试成绩来估计该校九年级学生中垫球数量为“优秀”的学生总人数； (3)小佳认为在这次垫球测试中，可以根据优秀率确定哪个班的测试成绩更好一点，小佳的说法是否合理？请说明理由． 5．（2026·山西晋城·二模）晋城翠绿茶是一种品质优良的绿茶，以其色泽翠绿、香气清雅、味道爽口等特点著称．某翠绿茶加工厂为提高分装效率，计划增购一台包装机，现有A，B两台不同型号的包装机可供选择．试用时，从A，B两台包装机已包装好的产品中各随机抽取10袋测得每袋的实际质量（单位：），设定每袋的标准质量为，将所得数据进行收集整理，部分信息如下： 信息一：A，B两台包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量折线统计图 信息二：A，B两台包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量统计表 统计量 平均数 中位数 众数 A包装机 500.1 a 502 B包装机 500.4 500.5 b 请根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中________，________； (2)由统计图可知，________包装机包装的翠绿茶每袋的质量比较稳定（填“A”或“B”）； (3)若B包装机试用时共包装了600袋翠绿茶，估计其中质量为标准质量的有________袋； (4)综合以上信息，你认为哪台包装机包装翠绿茶的情况较好？请说明理由． 6．（2026·山西临汾·二模）山西是中医药文化的重要发祥地之一．为弘扬中医药文化，某中学在学校的种植实验基地开展了主题为“校园百草园”的种植实践活动．从2025年1月1日起，某项目小组在“柴胡”种植区随机选取100株“柴胡”对其生长高度进行定期测量与记录，并将调查结果绘制成如下统计图． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)“柴胡”株高的月平均增长量在______月最高，株高月平均增长量的中位数是______cm； (2)若该校“柴胡”种植区共有1000株“柴胡”，全年均正常生长，请估计2025年12月底，株高达到A级和B级的“柴胡”共有多少株？ (3)该项目小组通过查阅资料得知：当“柴胡”株高的月增长量不高于2cm时属于“缓慢生长期”，这时应减少灌溉频率，并注意防寒保温；当“柴胡”株高的月增长量高于4cm时属于“快速生长期”，这时应及时进行耕除杂草和追施氮肥，促进幼苗健壮生长.请结合统计图①，为“柴胡”的下一年度新苗种植提出一条合理的管理建议． 7．（2026·山西晋中·二模）为丰富校园文化生活，提升学生审美与创造力，增强集体凝聚力，某校在“校园艺术节”开展了多项活动，活动后校方对本次最受欢迎的活动进行了投票统计，以便于下一届活动更好地开展．已知投票的活动包含A．歌唱展示，B．舞蹈展示，C．科技展，D．手工作品展，投票方式为线上和线下两种方式（线下和线上只能选择一个），得到投票结果后，随机抽取部分九年级学生的投票数据绘制成如下所示的统计图． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)本次所抽取九年级投票的学生人数为_______人，并补全条形统计图； (2)若九年级共有600名学生，请估计投票给“手工作品展（D）”的人数； (3)根据上述分析结果，请你为该校下一届“校园艺术节”的顺利开展给出一条合理性建议． 8．（2026·山西晋中·二模）中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，某校为了解九年级学生的作业完成情况，随机抽取了200名九年级学生开展问卷调查，并形成了如下调查报告（不完整）． XX中学九年级学生每天完成书面作业的情况调查报告 调查主题 XX中学九年级学生每天完成书面作业的情况 调查方式 抽样调查 调查对象 XX中学九年级学生 数据的收集、整理与描述 问题一：本周你平均每天完成书面作业所用时长大约为_____________分钟． 本周平均每天完成书面作业所用时长频数分布直方图 注：平均每天所用时长x（分钟）分为5组：①；②；③；④；⑤． 数据的收集、整理与描述 若你平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟，请回答问题二． 问题二：你完成书面作业所用时间过长的原因是（   ）（单选） A．作业量太大 B．遇到疑难时未及时向他人请教 C．用电子设备查阅资料导致分心 D．其他 完成书面作业所用时间过长的原因扇形统计图 调查结论 … 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)本次调查中，平均每天完成书面作业所用时长的中位数落在第_____________（填序号）组，因“遇到疑难时未及时向他人请教”导致所用时长超过90分钟的学生有_____________人，扇形统计图中“A．作业量太大”所在扇形的圆心角度数为_____________°； (2)若该中学九年级共有1200人，估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的人数； (3)请根据以上调查报告，对该中学学生完成课后作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议． 9．（2026·山西太原·二模）随着城市发展和出行方式的多元化，市区部分路段在高峰时段交通压力增大．为研究市民出行习惯，市交通规划部门于年月在某区域随机对名市民进行了问卷调查（所有问卷有效回收），主要内容为常用出行方式及出行时段．调查结果已整理为扇形统计图和条形统计图（不完整），请根据信息回答下列问题： 市民日常出行情况调查问卷 尊敬的市民： 您好！为改善城市交通环境，诚邀您参与本次匿名调查．（以下均为单选题） 1．您最常用的出行方式是（     ） A．步行                      B．自行车/共享单车 C．电动自行车                D．私家车 E．公共交通（公交、地铁等） 2．您通常出行的高峰时段是（     ） A．7:30-8:00                           B．8:00-8:30 C．8:30-9:00                            D．其他时段 (1)扇形统计图中“电动自行车”所在扇形的圆心角为 °；本次调查中，使用“公共交通”出行的市民共有 人，并请补全条形统计图中对应数据． (2)若该区域常住人口中约有5万人在该高峰时段出行，请根据调查数据估算其中主要使用“私家车”出行的大约有多少人． (3)请结合统计图反映的出行方式分布，分析造成早高峰交通拥堵的一个可能原因，并从市民或城市规划角度提出一条改善建议． 10．（2026·山西吕梁·二模）为落实“阳光体育运动”政策，满足学生课后延时服务需求，某校在课后服务中全面开展内容丰富、形式多样的体育活动，切实减轻学生学习负担，促进学生健康成长．为了了解该校学生体育活动情况，实施锻炼时间目标管理，该校数学兴趣小组用调查问卷随机调查了该校部分学生平均每天参与体育运动的时间． 调查目的 1．了解本校初中生平均每天在校体育运动情况 2．给学校提出更合理的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 体育运动时间调查问卷你平均每天在校参与体育运动的时间为：（每组时间含最小值，不含最大值；请根据实际情况在方框内打上“√”） □A：0-30分钟           □B：30-60分钟           □C：60-90分钟 □D：90-120分钟         □E：120分钟及以上 调查过程 【数据收集】 ①兴趣小组计划抽取该校七年级50名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是________． A．从该校七年级1班中随机抽取50名学生的调查问卷 B．从该校七年级女生中随机抽取50名学生的调查问卷 C．从该校七年级学生中随机抽取男、女各25名学生的调查问卷 【数据整理】 ②通过问卷调查，兴趣小组获得了被抽查学生平均每天在校参与体育运动的时间，进行整理统计，并绘制了如下条形统计图和扇形统计图（不完整）． 【数据分析】 ③本次调查学生平均每天参与体育运动的时间的众数落在________中（A，B，C，D，E中选择填写）； ④若A组数据均近似地看作15分钟，B组数据均近似地看作45分钟，C组数据均近似地看作75分钟，D组数据均近似地看作105分钟，E组数据均近似地看作150分钟，则被抽查的50名学生平均每天在校体育活动时间为________分钟． 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： (1)请将调查报告补充完整； ①________；③________；④________； (2)请将【数据整理】中的条形统计图补充完整； (3)如果学校将管理目标确定为每天不少于90分钟，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？请说明理由． (4)请你结合上面的统计结果，对该校“阳光体育运动”采取的措施写出一条合理的建议． 数据分析 考点02 1．（2026·山西阳泉·二模）某校九年级期中考试后，未公布全校排名，但公布了全校九年级学生期中考试成绩的部分统计量．若该校九年级的学生小明想知道自己的成绩是否超过全校九年级一半的学生，则他最应该关注的统计量为（） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．（2026·山西运城·二模）在“探究重力与质量的关系”的实验中，小明和小亮使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：），记录数据如下：小明：；小亮：，关于小明和小亮测量数据的波动程度，下列说法正确的是（    ） A．小明的测量数据波动更大 B．小亮的测量数据波动更大 C．两人的测量数据波动一样 D．无法确定 3．（2026·山西临汾·二模）我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成了完整且竞争力强的产业链，涌现了一批具有国际竞争力的企业.某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了甲、乙、丙、丁四种车型在满电状态下的平均续航里程（单位：）与续航里程的方差，根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择（   ） 车型 甲 乙 丙 丁 平均续航里程 420 420 410 400 续航里程的方差 0.03 0.06 0.03 0.05 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（2026·山西太原·二模）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办，极大地提升了国民对运动的热情．某高校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一位，参加射击比赛，下表记录了四位同学平时成绩的平均数（单位：环）及方差，若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参加比赛，则应选择是（    ）． 甲 乙 丙 丁 平均数 9.1 8.6 7.9 9.1 方差 2.02 0.85 0.85 0.96 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（2026·山西太原·二模）如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是_______同学． 6．（2026·山西阳泉·二模）某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元．如图是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为____元． 7．（2026·山西晋中·二模）为了解不同栖息地对麻雀体重的影响，生物学家对干旱草原和温带森林中的麻雀进行了研究，分别从两地随机捕捉数量相同的麻雀，测量并统计其体重的平均数与方差，已知体重越稳定，越适宜生存，数据如下表，则麻雀更适宜在_______（填“干旱草原”或“温带森林”）栖息地生存． 平均数 方差 干旱草原的麻雀 20 87.5 温带森林的麻雀 20 5.8 8．（2026·山西吕梁·二模）某篮球队甲、乙两队队员进行投篮训练，每人投篮20次的命中数统计如下表，则成绩好的队伍是________队． 队伍 参加人数 平均命中数 中位数 方差 甲队 30 12 11 6.5 乙队 30 12 13 4.2 9．（2026·山西吕梁·二模）2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日．为进一步加强安全教育工作，提升中小学生的安全防范意识和自我保护能力，某校开展安全知识竞赛，各班级以小组为单位组织初赛．九（1）班对本班甲，乙两组同学（每组8人）的初赛成绩进行分析． 数据整理：将甲，乙两组同学的初赛成绩整理成如下的统计图． 数据分析：对这两组同学的初赛成绩进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 乙组 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)九（1）班计划从甲，乙两组中选取一个小组去参加校级安全知识竞赛，你认为选取哪个小组参加比较合适？请结合上表中的两个统计量说明理由． 10．（2026·山西太原·二模）为深入贯彻习近平总书记关于“爱读书、读好书、善读书”的重要指示精神，教育部于2026年4月发布《中国青少年阅读素养框架》教育行业标准．依据这一框架，某校从七年级学生中随机抽取40名进行阅读素养测评（满分20分），将测评成绩分为5组（每组成绩含最小值不含最大值）进行整理，绘制成如下的频数直方图： 【数据整理】 说明：①在组内的10个数据为：；；；；；；；；； ②其他各组内的数据均无重复． 【数据分析】 40名同学阅读素养测评成绩分析数据统计表 平均数/（分） 众数/（分） 中位数/（分） 【问题解决】 (1)表中________，________； (2)若将阅读素养测评得分不低于17分划定为“良好”，由此可估计该校七年级共400名学生中，阅读素养达到“良好”等级的约有________人； (3)学校对数据进行分析后，最终决定将对本次阅读素养测评成绩在前一半的学生进行表彰．学生小王说：“我的测评成绩比年级平均分高，所以我一定能受到表彰！”他的分析合理吗？请你进行判断，并说明理由． 11．（2026·山西大同·二模）为传承中华优秀传统文化，引导学生理解中华文化的独特性与延续性，树立“何以中国”的文化自觉，某校开展了中华知识国学大赛，从A，B两个校区各随机抽取30名学生参赛，并对学生的成绩（满分10分）进行整理分析，得到如下所示的统计图与统计表（不完整）． 两校区被抽取的学生成绩条形统计图 两校区被抽取的学生成绩统计表 校区 平均数 中位数 众数 A 8 B 7.2 7.5 8 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____； (2)B校区所抽取的学生中，成绩为7分的有_____人，8分的有_____人，并补全如图所示的条形统计图； (3)根据以上数据分析，你认为哪个校区的学生成绩更好？请说明理由（写出两条即可）． 12．（2026·山西阳泉·二模）为迎接校园文化艺术节，学生会计划组建一支礼仪队．指导教师将通过初选的16位同学按照报名顺序分成两组，并对他们的身高进行统计． 数据收集： A组同学的身高（）：165  166  165  163  168  169  167  165 B组同学的身高（）：166  172  164  168  164  160  164  170 数据整理： 组别 平均数 中位数 众数 方差 A组 166 a 165 m B组 166 165 b 13 根据上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____，_____，两组同学中身高更整齐的是_____组（填“A”或“B”）； (2)在给A，B两组安排艺术节开幕式迎宾任务时，指导教师发现A组人手不够．于是从其余报名同学中又选了两人补充到A组，他们的身高分别是，．你认为人数增加后A组所有同学身高的平均数、方差与原来相比是否有变化？若有变化，请指出是变大还是变小． 13．（2026·山西阳泉·二模）为强化中小学科学实践教育，提升学生科学素养与创新能力，推动科学知识普及与实践技能提升．某校积极响应号召，在全校范围内开展科技普及专题培训，并在普及前和普及后进行科技知识测试（满分分，测试成绩均为整数）．数据整理：该校综合与实践小组的同学随机抽取名学生的测试成绩绘制成如下条形统计图： 普及前和普及后科技知识测试成绩条形统计图 数据分析：该校综合与实践小组的同学对名学生测试成绩的数据进行了如下分析： 平均数/分 中位数/分 众数/分 普及前 普及后 请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________． (2)若该校共有名学生，请你估计普及后成绩不低于分的学生人数． (3)请你根据上述统计图中的信息，评价本次科技普及专题培训的效果，并提出合理化建议．（写出一条即可） 14．（2026·山西阳泉·二模）开学已过半，临近年级体育联赛预热阶段，某校体育组在复盘近期篮球队、足球队的训练情况时，发现当前的训练反馈仅以“任务完成/未完成”的勾选方式记录呈现．为提升训练质量，体育组对校篮球队、校足球队的成员开展了更详细的训练评分调查，训练评分以分数呈现．（从低到高为1分、2分、3分、4分、5分，共5档） 数据整理： 数据分析： 校篮球队、校足球队评分分数统计表 评分分数平均数 评分分数中位数 评分分数众数 校篮球队 3.5 3 校足球队 4 4 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)填空：______；______； (2)结合统计数据（平均数、中位数、众数等），为篮球队设计1条针对性的训练优化措施，并说明该措施的设计依据． 15．（2026·山西运城·二模）安全教育无小事．某校在春季学期开学之初，开展了多场“消防安全”专题讲座并组织每班的安全标兵参加了“消防安全”知识竞赛．信息一：在“消防安全”讲座结束后，校方对学生最感兴趣的内容进行了问卷调查（调查问卷如图所示）．所有问卷全部收回且有效，并对调查结果进行抽样汇总，得到了下面的统计图．信息二：七、八年级各11名安全标兵参加“消防安全”知识竞赛的成绩（单位：分，满分100分）如下：七年级安全标兵竞赛成绩：86，88，93，79，93，87，93，90，93，99，100．八年级安全标兵竞赛成绩：87，95，91，90，92，90，94，91，91，89，91．请根据信息回答问题． “消防安全”讲座 最感兴趣的内容调查问卷在讲座中，你最感兴趣的内容是（    ）（单选） A．相关法律法规 B．灭火方法和逃生技巧 C．生活中的安全隐患及预防办法 D．其他 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 91 93 八年级 91 91 (1)①__________，__________． ②在扇形统计图中，“A”所对应的扇形圆心角的度数为__________，并补全条形统计图． (2)估计全校1700名学生中最感兴趣的内容是“灭火方法和逃生技巧”的学生人数． (3)小吴认为七年级和八年级竞赛成绩的平均数相同，因此两个年级的成绩一样好．你认为小吴的说法是否合理，请结合上表中的数据说明理由（写出一条即可）． 概率 考点03 1．（2026·山西阳泉·二模）2026年4月15日，山西五大文脉旅游线路发布，分别是：华夏之根、土木华章、晋魂春秋、雄关万里、表里山河．某自媒体创作者计划从这五条线路中随机选择一条进行实地探访，则他选中“华夏之根”线路的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西吕梁·二模）楷书的代表人物主要是“楷书四大家”——欧阳询、颜真卿、柳公权和赵孟頫书法课上，小元和小丽制作了4张材质、规格完全相同的卡片，将“楷书四大家”的名字分别写在不同的卡片上，将这些卡片背面朝上洗匀，小元先抽（不放回）一张，然后小丽抽一张，则他们抽取的卡片是欧阳询和柳公权的概率是（） A． B． C． D． 3．（2026·山西晋中·二模）化学实验课上李老师在给学生做演示实验时从能和浓硫酸发生化学反应的镁、锌、锰、碳、磷五种物质中随机选择两种物质进行化学实验，其中与镁、锌、锰的反应在常温下进行，与碳、磷的反应需要加热，则李老师选取的两种物质恰好与浓硫酸都是在常温下反应的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西大同·二模）如图为一款跳方格游戏的路线图，游戏规则规定：按照路线图所示线路，每次只能随机跳一格至相邻的方格（可返回上一个方格，但不能原地跳），则小宇从方格出发，连续跳两次后回到方格的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山西晋中·二模）2026年央视春晚舞台上共有4个融入机器人表演的节目，分别是武术《武BOT》、小品《奶奶的最爱》、歌曲《智造未来》和贺岁微电影《我最难忘的今宵》．为让学生感受科技与文艺的融合之美，某校将开展科技普及讲座，并计划从春晚这4个节目中随机选取2个节目片段用于校内宣传，则抽取的两个节目恰好是《武》和《智造未来》的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西太原·二模）已知某一事件发生的概率是，下列说法正确的是（     ） A．做100次重复试验，该事件一定会发生50次 B．第一次试验该事件没有发生，第二次试验该事件一定会发生 C．两次重复试验中，该事件必定会发生一次 D．重复多次试验，该事件发生的频率稳定在左右 7．（2026·山西吕梁·二模）在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西阳泉·二模）不透明袋子中装有9个球，其中有3个白球、5个黑球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是白球的概率为______． 9．（2026·山西吕梁·二模）“经史子集”是中国古代典籍分类体系，分别对应儒家经典、史书、诸子百家著作及文集诗词．现将“经”“史”“子”“集”四张书签背面朝上放在桌面上（书签背面完全相同），从中随机抽取一张，放回并混在一起，再从中随机抽取一张，则抽取的两张书签恰好是“经”和“史”的概率是________． 10．（2026·山西阳泉·二模）《自叙帖》被誉为“天下第一草书”，依据《自叙帖》制作成如图所示的A，B，C，D四张卡片，它们除正面图案外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片是A和D的概率为__________． 11．（2026·山西太原·二模）某非遗工坊推出“山西印象”主题书签，包含平遥古城、五台山、乔家大院、云冈石窟种书签，小晋从中随机抽取张（不放回），再从中随机抽取一张，两次恰好抽到平遥古城和云冈石窟书签的概率是______． 12．（2026·山西运城·二模）为践行绿色低碳理念，增强环保意识，美化生态家园，某校在植树节组织学生前往劳动实践基地参加植树活动．所有学生被随机分配到A，B，C，D四个小组，则小明和小亮在同一小组的概率为__________． 13．（2026·山西临汾·二模）周末，小辰、小苏、小彦、小夏四人准备开车出去游玩，四人中只有小夏不会开车，车辆座位如图所示，则小夏和小彦坐在同一排的概率为______． 14．（2026·山西吕梁·二模）为贯彻落实山西省教育厅《关于加强中小学生体质健康管理的实施意见》，某中学在九年级开展了“阳光体育”大课间活动，并组织全年级全体学生进行了“1分钟跳绳”体能测试．测试成绩根据《国家学生体质健康标准》划分为四个等级：把1分钟跳绳完成个数用表示，，，，D：．该校将此次“1分钟跳绳”体能测试的成绩整理成如下两幅尚不完整的统计图． 请根据上述信息，解决下列问题： (1)该校九年级共有 名学生，B等级对应的人数为 人； (2)扇形统计图中，D等级所对应扇形的圆心角度数为 ； (3)已知此次测试中成绩前五名的同学（记为A，B，C，D，E），其中A和D是女生，另外3人是男生．老师从5人中随机邀请2人给其他同学做示范，请用列表或画树状图的方法，求邀请的2位同学恰好都是男生的概率． 15．（2026·山西临汾·二模）为了丰富学生的课余生活，努力营造互帮互助、和谐健康的校园文化氛围，树立学生意气风发、积极向上的精神风貌，促进德育工作深入发展，借助“五四”青年节来临之际，临汾某校对七、八年级各十个班级举行了“请党放心，强国有我”为主题的唱红歌歌咏比赛活动，并对他们的成绩给出以下评分：（单位：分） 七年级成绩 9.3 9.5 9.4 9.6 9.4 9.7 9.5 9.8 9.4 9.8 八年级成绩 9.7 9.5 9.4 9.6 9.5 9.8 9.5 9.9 9.8 9.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)请你对七，八年级的成绩进行评价；（从“平均数”、“中位数”或“众数”中的一方面评价即可） (2)七年级（2）班和八年级（1）班的成锁都是9.7分，学校校委会决定从每个年级各选出成绩最好的三个班级给初三学子进行解压助威表演，请你分别判断这两个班级能否被选中？（只需写出判断结果） (3)要举行歌咏比赛，少不了主持人，学校准备从小明，小亮，小刚三名男生和小红，小青两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任主持人，请用列表或画树状图的方法，求出小明和小红恰好被选中的概率． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $