暑假作业04 重难专题02：“奔驰定理”遇上了“三角形四心的向量表示”（巩固培优,7知识6题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 以奔驰定理为统领，系统整合三角形四心向量表示，构建"概念-定理-应用"三阶逻辑体系，强化几何与向量的转化思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |四心概念与向量表示|7个知识点|四心向量表达式（重心：++=0等）|从定义（交点性质）到向量表示，通过奔驰定理统一推导| |奔驰定理及应用|6类题型（含选择、填空、解答）|面积比转化、轨迹判定、综合证明|以奔驰定理为核心，贯通四心向量关系，实现知识迁移|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 重难专题02:“奔驰定理”遇上了“三角形四心的向量表示” 【知识点1 三角形“四心”的概念】 1.重心：中线的交点，重心将中线长度分成 . 2.内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到 相等. 3.外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形 的距离相等. 4.垂心：高线的交点，高线与对应边 . 【知识点2 重心的向量表示】 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论： 1.＋＋＝0. 2.＝ 3.若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的 . 4.若＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的 . 【知识点3 内心的向量表示】 设P是△ABC的内心，则有以下结论： 1.｜｜＋｜｜＋｜｜＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长. 2.＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的 . 【知识点4 外心的向量表示】 设O是△ABC的外心，则有以下结论： 1.｜｜＝｜｜＝｜｜⇔＝＝. 2.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝ 3.动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的 . 【知识点5 垂心的向量表示】 设O是△ABC的垂心，则有以下结论： 1.·＝·＝·. 2.｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2. 3.若动点P满足＝λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的 . 【知识点6 奔驰定理】 1. 奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有 . 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 1. 奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 1. 奔驰定理的推论 推论1：是内的一点,且,则 （1） （2）. 【知识点7奔驰定理与“四心”联系（“四心”在三角形内部）】 奔驰定理是三角形“四心”向量式的完美统一，借助奔驰定理可以推导及证明三角形“四心”与向量的关系. (1)是的重心 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 (2)是的内心 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得. (3)是的外心 ； 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 （4）是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 . 【题型1 重心的向量表示】 1．（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 2．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知D是的重心，，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 4．（2025高三·全国·专题练习）为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（    ）一定属于集合. A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 5．（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）已知为的重心，，则__________. 6．（25-26高一下·福建宁德·期中）在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 7．（25-26高一下·天津红桥·阶段检测）点是的重心，用和表示，则__________． 【题型2 内心的向量表示】 1.（25-26高一下·上海·期末）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，角的对边分别为，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．（25-26高三下·广西崇左·期中）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 4．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______. 【题型3 外心的向量表示】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 2．（2026·浙江·三模）已知为的外心，且满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江绍兴·期末）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 4．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知为的外心，，，则 __________． 5．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）在中，已知，点为三角形的外心，则______． 【题型4 垂心的向量表示】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2.（25-26高三下·甘肃·期末）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 3．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【题型5 “四心“的综合问题】 1（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 2．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若O为的外心，且，则 B．若O为的内心，，则 C．若O为的重心，，则角 D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则 3．（多选）（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的重心，则 B．若点为的外心，则 C．若点为的垂心，则 D．若点为的内心，则 4．（多选）（25-26高一下·安徽芜湖·期中）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则动点的轨迹一定通过的重心 B．若，，分别表示，的面积，则 C．若，则点是的内心 D．若点满足，，，则 5．（24-25高三上·宁夏银川·阶段检测）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值________________ 【题型6 奔驰定理的应用】 1．（多选）（25-26高三下·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 2.已知点O为△ABC内一点，且，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于 . 3.已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______． 4．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为________ 5.已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为_____ 6.已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为______ 1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）设的外心为，若，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知为的垂心，且，，，，则（    ） A． B． C． D．1 4．（多选）（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）在中，的角平分线BD交AC于点D，，O为的外心，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（     ） A． B．若点是的重心，则的面积为 C．的最小值为 D．若点是的外心，且，，则 6．（多选）（25-26高一下·安徽淮南·期中）已知中，角所对的边分别为点I、O、G、H分别为该三角形的内心、外心、重心和垂心，则下列结论正确的是（ ） A． B．若且，则 C．，使得 D．若，则 7.(多选)（25-26高一下·辽宁大连·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．平面向量和 满足， 在上的投影向量为，则在上的投影向量为 C．若 是的外心，且，，则 D．平面向量，， 满足，且，则为等腰三角形 8.（25-26高一下·云南红河·阶段检测）已知的内心为，且，则______． 9．（25-26高一下·上海·期中）已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为_____． 10．（25-26高一下·湖北荆州·期中）如图，已知为等边三角形，点是内一点．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，，且，． (1)若，求； (2)若点是的重心，设的周长为，的周长为． （i）求的值； （ii）设，记，求的值域． 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·河北张家口·一模）在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(多选)（25-26高三下·福建福州·期中）在Rt中，在以为圆心，1为半径的圆周上运动，为的重心，为的外心，下列说法正确的是（   ） A． B．存在点，使得的面积为 C．当为直角三角形时， D．的最大值为 4．（多选）（25-26高三下·山东·阶段检测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点在内，且是的垂心，若，则____． 6．（25-26高三上·湖北武汉·期中）定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”. (1)若函数为向量的“伴生函数”，求： (2)已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围； (3)已知为函数的“源向量”，若在中，角，，所对的边分别为，，，，，点为该的外心，则是否存在最小值，如果有，求出最小值，并求此时的大小；如果没有，请说明理由. 7.（25-26高三下·江苏南通·期中）某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. (1)求； (2)若点T为劣弧上一动点，求的最小值； (3)若，求的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 重难专题02:“奔驰定理”遇上了“三角形四心的向量表示” 【知识点1 三角形“四心”的概念】 1.重心：中线的交点，重心将中线长度分成2∶1. 2.内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等. 3.外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等. 4.垂心：高线的交点，高线与对应边垂直. 【知识点2 重心的向量表示】 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论： 1.＋＋＝0. 2.＝＋＋). 3.若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心. 4.若＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心. 【知识点3 内心的向量表示】 设P是△ABC的内心，则有以下结论： 1.｜｜＋｜｜＋｜｜＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长. 2.＝λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的内心. 【知识点4 外心的向量表示】 设O是△ABC的外心，则有以下结论： 1.｜｜＝｜｜＝｜｜⇔＝＝. 2.(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 3.动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的外心. 【知识点5 垂心的向量表示】 设O是△ABC的垂心，则有以下结论： 1.·＝·＝·. 2.｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2. 3.若动点P满足＝λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的垂心. 【知识点6 奔驰定理】 1. 奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 1. 奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 1. 奔驰定理的推论 推论1：是内的一点,且,则 （1）； （2）. 【知识点7奔驰定理与“四心”联系（“四心”在三角形内部）】 奔驰定理是三角形“四心”向量式的完美统一，借助奔驰定理可以推导及证明三角形“四心”与向量的关系. (1)是的重心 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 (2)是的内心 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得. (3)是的外心 ； 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 （4）是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 . 【题型1 重心的向量表示】 1．（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【解析】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 2．（25-26高一下·江西赣州·期中）已知D是的重心，，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为D是的重心，所以， 又，，，所以， 则在上的投影向量为． 3．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【解析】与向量共线，故， 即，解得， 将代入，得到， 即，所以， 取的中点，则有， 故，所以动点的轨迹必经过的重心. 故选：D. 4．（2025高三·全国·专题练习）为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（    ）一定属于集合. A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】A 【解析】   中，根据正弦定理， ，即. 设，， 所以， ， ， 设D为中点，则，故， 所以共线， 点的轨迹为射线（不含端点）. 的重心一定属于集合. 故选：A. 5．（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）已知为的重心，，则__________. 【答案】 【解析】如图，延长交于点，则为的中点， . 6．（25-26高一下·福建宁德·期中）在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 【答案】3 【解析】因为三角形重心是三条中线的交点，所以有， 又因为，，所以，. 于是可得， 又因为三点共线，所以有，得. 7．（25-26高一下·天津红桥·阶段检测）点是的重心，用和表示，则__________． 【答案】 【解析】 如图，是的三条中线，则， 因为是重心，所以， 所以． 【题型2 内心的向量表示】 1.（25-26高一下·上海·期末）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【解析】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，角的对边分别为，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 3．（25-26高三下·广西崇左·期中）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【解析】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 4．（2025高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______. 【答案】 【解析】插入分点，得， 即， 又，从而有，得， 所以， 故答案为：. 【题型3 外心的向量表示】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【解析】因为，则， 所以是的外心. 2．（2026·浙江·三模）已知为的外心，且满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为外心，（外心为三角形各边垂直平分线的交点，所以外心在各边的投影为各边中点）， 即在上的投影为，在上的投影为， 所以 ，， 又， 两边点乘得： ， 即， 整理得：，（1） 两边点乘得： , 即， 整理得：，（2） 联立（1）（2），消去得： ， 化简得： ，即. 3．（25-26高一下·浙江绍兴·期末）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】， ， ， ，即，即， 在边的垂直平分线上， 由三角形外心的定义知，点的轨迹过的外心. 4．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知为的外心，，，则 __________． 【答案】-10 【解析】 ， 取中点，则，在方向上的投影为， 因此， 同理可得：， 所以 . 5．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）在中，已知，点为三角形的外心，则______． 【答案】/ 【解析】中，，由余弦定理可得： ，. 因为点为三角形的外心，所以在上的投影为. . 【题型4 垂心的向量表示】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解析】由，所以， 则，同理可证， 所以为三角形的垂心. 故选：D. 2.（25-26高三下·甘肃·期末）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 3．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据已知结合数量积运算律计算数量积为0即可判断选项. 【解析】，， 由正弦定理得，则 令， 因为， 所以 所以， 等式两边点乘得， 所以点的轨迹一定过的垂心， 故选：D． 4．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【解析】由 ， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：B 【题型5 “四心“的综合问题】 1（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【解析】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 2．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（    ） A．若O为的外心，且，则 B．若O为的内心，，则 C．若O为的重心，，则角 D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则 【答案】AB 【解析】对于A，设外接圆半径为，因为， 所以，则， 也即，所以，则，故选项A正确； 对于B，取的中点，连接，作，垂足为， 因为，所以为的角平分线，所以， 又，，所以，则； 因为的周长，面积， 所以内切圆半径，所以， 又，所以， 因为，所以， 则，，所以，故选项B正确； 对于C，因为点为的重心，所以， 又因为，令，则， 在中，由余弦定理可得，， 因为，则，故选项C错误； 对于D，设外接圆半径为， 因为，， 所以，从而得到， 同理可得， 所以，故选项D错误. 3．（多选）（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的重心，则 B．若点为的外心，则 C．若点为的垂心，则 D．若点为的内心，则 【答案】ABD 【解析】设BC边的中点为D，则， 因为，所以，且的重心、外心、垂心、内心均在线段AD上， 选项A：因为点为的重心，所以， 则，所以，故A正确； 选项B：若点为的外心，且， 则，故B正确； 选项C：若点为的垂心，则，即， 在，由余弦定理得， 设，则， 所以 ， 解得，则，所以，故C错误； 选项D：若点为的内心，则DP为内切圆的半径，且设为r， 则， 又， 所以，解得， 所以，即 则，即，所以，故D正确. 4．（多选）（25-26高一下·安徽芜湖·期中）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则动点的轨迹一定通过的重心 B．若，，分别表示，的面积，则 C．若，则点是的内心 D．若点满足，，，则 【答案】ACD 【解析】A选项，过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，A正确； B选项，如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，B错误； C选项，分别表示方向上的单位向量（如下图所示）， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，C正确. D选项，设的中点为，若点满足，则点为外心， 于是有，又，， 则 ，D正确. 5．（24-25高三上·宁夏银川·阶段检测）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值________________ 【答案】 【解析】设为重心，则由欧拉线定理可知在上， 连接交于点， 所以为的中线，所以， 点在直线上，设， 所以， 所以，所以， 所以，当时取最大值. 【题型6 奔驰定理的应用】 1．（多选）（25-26高三下·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【解析】根据奔驰定理：的系数之比等于对应三角形的面积之比，即. 若是的重心，则，与，所以不是的重心. 当为的外心时，， 所以，即. 当为的内心时，，其中为内切圆半径，所以，因此，所以为直角三角形. 2.已知点O为△ABC内一点，且，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于 . 【答案】3:2:1 【解析】由奔驰定理得，则 3.已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______． 【答案】5:4:3 【解析】因为， 所以，所以． 4．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为________ 【答案】1:3 【解析】如图，D为BC边的中点， 则 因为－－＝ 所以， 所以 所以. 5.已知，点M是△ABC内一点且，则△MBC的面积为_____ 【答案】 【解析】 取的中点，因为，所以，故，所以，因为，因此, 6.已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为______ 【答案】4:9 【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以. 设可得则是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为. 1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为的重心， 所以， 又因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以， 因为在线段上，所以与同向且， 于是，同理， 结合得. 目标函数为， 记，， 求导，得：， 所以在上单调递增， 故选：C 2．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）设的外心为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的内角所对的边分别为， 对于的外心，有性质，. ∵ ， ∴ ， 同理可得，. 将上述结果代入， 得 ， 化简得 . ∵ ，由正弦定理，得 ，即. 将代入，得 ，即，故. 由余弦定理，，代入，， 得 . 3．（2025高三·全国·专题练习）已知为的垂心，且，，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先由已知向量和垂心得，，，，再由已知的向量和对应边的向量垂直得三边的关系，进而算出余弦及正弦. 【解析】设的三角对应的三边分别为， ， 整理得，， 因为，不共线，因此， 又因为，， 解得，，，． 因为为的垂心，所以 ， ， ， ， ， ， 则， 所以. 故选：B． 4．（多选）（25-26高一下·重庆万州·阶段检测）在中，的角平分线BD交AC于点D，，O为的外心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】 对于A选项，若，则O为的重心， 那么的外心与重心重合，则为正三角形与题设不符合，故A错误； 对于B选项，根据角平分线的性质可知，,所以，，故B正确； 对于C选项，由B选项可知，, 化简可得，，故C正确； 对于D选项，由可得 , 由于 即 所以，D正确. 5．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（     ） A． B．若点是的重心，则的面积为 C．的最小值为 D．若点是的外心，且，，则 【答案】ABD 【解析】A选项，因为，则， 可得， 因为，则，，可得， 所以，故A正确； B选项，设为外接圆的半径，由正弦定理可得：， 所以，则，解得， 因为点是的重心， 所以，故B正确； C选项，因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C错误； D选项，因为，，则，即，，， 因为点是的外心，所以， 因为，则， 即，解得，故D正确. 6．（多选）（25-26高一下·安徽淮南·期中）已知中，角所对的边分别为点I、O、G、H分别为该三角形的内心、外心、重心和垂心，则下列结论正确的是（ ） A． B．若且，则 C．，使得 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，如图，延长交于点； 是的内心，由角平分线定理得； ； 由 ，故A正确. 对于B，是的外心，且， ，则， 整理得，解得，故B错误. 对于C，如图，延长交于点； 是的重心，是的中点，，即与共线； 由正弦定理(为外接圆半径)，得，； ，即与共线； 与共线，即，使，故C正确. 对于D，如图，延长，，分别交，，于点，，； 是的垂心， ，，； ，，得； ，，三点共线，，，得； ，，得； ，，三点共线，，，得； ，，为锐角； ，解得，故D正确. 7.(多选)（25-26高一下·辽宁大连·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B．平面向量和 满足， 在上的投影向量为，则在上的投影向量为 C．若 是的外心，且，，则 D．平面向量，， 满足，且，则为等腰三角形 【答案】CD 【解析】对于A，已知，，且与的夹角为锐角， 可得，且与不共线，， 即有，且， 解得且，则实数的取值范围是，故A不正确； 对于B，，所以，， 因为在上的投影向量为， 所以，则在上的投影向量为，故B不正确； 对于C，因为是的外心，所以(为的外接圆半径)， 又因为，所以，即， 同理可得， 两式相减得，即有，故C正确； 对于D，由于，即，， 得，即为的垂线， 又由于，表示与同向的单位向量， 表示与同向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，其对角线平分内角， 所以在的角平分线上， 所以为等腰三角形，故D正确. 8.（25-26高一下·云南红河·阶段检测）已知的内心为，且，则______． 【答案】 【解析】先证明奔驰定理：. 证明：延长与交于点， 则 ， 根据，有， 由共线定理有， 根据代入 ) ， 移项合并有， 所以， 在中，设、、的对边分别为、、， 因为，由奔驰定理得， 所以，故． 故． 9．（25-26高一下·上海·期中）已知为的重心，过的直线分别与边交于点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 如图，延长交于点，因为为的重心，所以点是的中点， 则， 因为三点共线，所以可设， 设，则， 所以，即， 又因为为的重心，所以， 所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 10．（25-26高一下·湖北荆州·期中）如图，已知为等边三角形，点是内一点．过点的直线与线段交于点，与线段交于点．设，，且，． (1)若，求； (2)若点是的重心，设的周长为，的周长为． （i）求的值； （ii）设，记，求的值域． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解析】（1） 如图所示，连接并延长，交于点，设，则， 又三点共线，所以，即， 则，， 又，所以，所以. （2）（i） 如图所示，连接并延长，交于点，因为为重心，所以为中点， 所以，所以， 又三点共线，所以，则． （ii）设的边长为，则，，（） 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 因为，，所以，，又，则有， 因为，所以， 因为，，所以的最小值为，最大值为，所以，单调递增， 则， 所以，即的值域为． 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设不共线的的夹角为，定义运算．其中正确命题的个数为（   ） ①；②；③若，则；④若平面向量，，平面内动点满足，则动点的轨迹过的内心． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①③④，由定义和向量相关概念可得①错误，③④正确；对于②，举出反例； 【解析】对于①，，， 因为不共线，故与肯定不相等， 所以不成立，①错误； 对于②，不妨设，，， ， ， 故， ，， 而， ，， ， 故， ，②错误； 对于③，， 若，则， 又，故， 由于不共线，不共线，要想上式成立，非零向量需共线， 设，，由于恒成立，故，③正确； 对于④，，， 故 ， ， 而表示的平分线所在向量， 故点的轨迹所在直线过的内心，④正确. 2．（2025·河北张家口·一模）在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于关于原点对称，故在轴上， ，则中点为，易知, 因此直线的垂直平分线方程为， 令，则，故, 边上的高所在的直线方程为，故， 故， ， 故，且， 由可得， 由于，因此，解得， 故，解得， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据直线的方程，结合外心和垂心的性质求解故,. 3．(多选)（25-26高三下·福建福州·期中）在Rt中，在以为圆心，1为半径的圆周上运动，为的重心，为的外心，下列说法正确的是（   ） A． B．存在点，使得的面积为 C．当为直角三角形时， D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立坐标系， ，设，则, , 因为，所以， 即，A正确； 由重心的性质可得，到的距离是到的距离的， 因为，，所以到的距离为，所以到的距离的范围是， 所以到的距离的范围是; 因为，所以的面积的范围是， 因为，所以不存在点，使得的面积为，B不正确； ，. 当为直角时，，由可得，显然此时无解； 当为直角时，，由可得，显然此时无解； 当为直角时，，由可得 ， 由得，所以， 所以，即，C正确； 由外心的性质可设，因为， 所以. ，所以的最大值为，D正确. 4．（多选）（25-26高三下·山东·阶段检测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，进而求出余弦值. 【解析】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点在内，且是的垂心，若，则____． 【答案】 【解析】依题意，取的中点，取的中点，连接， 则， 因为，所以，所以. 所以三点共线，且，连接，则，且， 所以， 如图，延长分别交于点， 在线段上取，使得.连接， 取的中点，取的中点，连接，    则， 因为，所以， 所以三点共线，且， 因为为的中点，所以，且，所以， 所以， 综上可得， 设， 因为， 整理得，可得，因为， 所以．又，所以，所以． 故答案为：. 6．（25-26高三上·湖北武汉·期中）定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”. (1)若函数为向量的“伴生函数”，求： (2)已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围； (3)已知为函数的“源向量”，若在中，角，，所对的边分别为，，，，，点为该的外心，则是否存在最小值，如果有，求出最小值，并求此时的大小；如果没有，请说明理由. 【答案】(1)2 (2) (3)存在，最小值为， 【解析】（1）由， 因为为向量的“伴生函数”，所以， 则，. （2）因为向量为函数的“源向量”，所以， 则方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 所以在上有且仅有四个不相等的实数根， 令，， ①当时，， ②当时，， 所以， 其图象为： 结合，，， 故当在上有且仅有四个不相等的实数根时， k的取值范围为． （3）因为为函数的“源向量”， 所以， 则，即， 因为，所以，则，即， 设的外接圆半径为，根据正弦定理，得，故， 所以， 则 ， 由余弦定理，， 则，即，当且仅当时等号成立， 则， 所以存在最小值，此时， 在中，，， 则， 因为， 所以，则，即. 7.（25-26高三下·江苏南通·期中）某数学兴趣小组探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角中，，其外接圆O的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点H. (1)求； (2)若点T为劣弧上一动点，求的最小值； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）在锐角中，∵，其外接圆O的半径为， ∴由正弦定理可得：，解得. . 由题可知，. （2）设点M为的边所对的外接圆的劣弧，点D为边的中点. 由题意及对称性可知. 故要使取得最小值，只需最小. 在圆上，由三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时取等号，此时. ∴， 即的最小值为. （3）由（1）可知：，. ，. 又， ∴由圆的性质可知. 又， ∴，解得. ∴在锐角中，，， ，. ∴由正弦定理可得：， ∴，. 在中，由点H是的垂心可得，，. 在中，由正弦定理可得，. 同理可得， ， ∴. 【点睛】本题的解题关键是利用点H是的垂心找到角与内角的关系，用诱导公式和正弦定理即可求解. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $