暑假作业03 重难专题01：向量问题的四大秒杀技：爪子定理、等和线、极化恒等式、矩形大法（巩固培优,4知识5题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 聚焦向量四大核心技巧，构建“原理-性质-题型”三维方法体系，实现从概念理解到解题应用的逻辑闭环，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |爪子定理|4题|三点共线向量表示及参数确定，含几何图形与坐标化两种路径|从共线向量基本定理推导“爪”字型图性质，衔接数量积运算应用| |等和线|5题|基底表示下参数和的几何意义，结合图形平移与距离关系求范围|基于平面向量基本定理，通过等和线平行性质建立参数与位置关系| |极化恒等式|8题|数量积与中线、半底长平方差转化，分平行四边形与三角形中点模型|从向量数量积定义推导出恒等式，聚焦中点模型简化计算与范围问题| |矩形大法|14题|矩形（平行四边形）中向量模长关系，衍生对角线平方和恒等式|以矩形性质为基础，拓展至对角线互相平分四边形的模长转化应用|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 重难专题01:向量问题的四大秒杀技：爪子定理、等和线、极化恒等式、矩形大法 【知识点1 形如条件的应用（“爪子定理”）】 1．“爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上. （2）已知在线段上，且，则 2．中确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解 【知识点2 等和线】 1. 基本原理与公式（熟记） 定义：设 、 为平面内一组不共线基底，若动点 满足 （），则所有满足 称为“等和线”. 核心性质： ①当 时，等和线为直线 （基底所在直线）； ②等和线与直线 平行， 的绝对值与等和线到原点 的距离成正比； ③若两等和线关于原点对称，则对应的 互为相反数； ④若 在直线 与原点之间，；若原点在直线 与等和线之间， 或 . 【知识点3 极化恒等式】 1. 基本原理与公式 向量通用形式：对任意平面向量，有 ①平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 ，即： ②三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则： = =. 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算. ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点 、，若 为线段 中点，则对平面内任意点 ，有： . 【知识点4 矩形大法】 1. 基本原理与公式 ①矩形恒等式（核心）：若四边形 为矩形， 为平面内任意一点，则： 拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”. ②衍生结论：在矩形中，对角线相等且互相平分，即 ，且 ，可快速转化向量模长关系. 【题型1 爪子定理的应用】 1.（2026·山东济南·模拟）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2026·云南昆明·模拟）在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【题型2 利用等和线求值或范围】 1．（2026·山东烟台·模拟）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 2．如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为(　　) A.B.C.2 D.2 3．(2026·安徽六安模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　) A.1 B. C. D. 4．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是　　　　. 5．正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设，，则的取值范围是 【题型3 利用极化恒等式求数量积】 1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 2．（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）   A． B． C． D． 3．（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 4.（24-25高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【题型4 利用极化恒等式求数量积的取值范围】 1．（2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江西）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 3.（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·全国·模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 . 【题型5 矩形大法的应用】 1．在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则 A. 2 B.4 C.5 D.10 2．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 3．在四边形中，，，则的最小值为 . 4．已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________. 1．在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 4．已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 6．如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，，，则的最小值为，最大值为 .   7．在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 8．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________． 9．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    10．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为_______ 11．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 12．在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 13.设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______ 14．若点是所在平面内一点，且满足：． （1）求与的面积之比． （2）若为中点，与交于点，设，求，的值． 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（） A．B．C．D． 3．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 重难专题01:向量问题的四大秒杀技：爪子定理、等和线、极化恒等式、矩形大法 【知识点1 形如条件的应用（“爪子定理”）】 1．“爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上. （2）已知在线段上，且，则 2．中确定方法 （1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解 【知识点2 等和线】 1. 基本原理与公式（熟记） 定义：设 、 为平面内一组不共线基底，若动点 满足 （），则所有满足 （ 为常数）的点构成的直线称为“等和线”. 核心性质： ①当 时，等和线为直线 （基底所在直线）； ②等和线与直线 平行， 的绝对值与等和线到原点 的距离成正比； ③若两等和线关于原点对称，则对应的 互为相反数； ④若 在直线 与原点之间，；若原点在直线 与等和线之间， 或 . 【知识点3 极化恒等式】 1. 基本原理与公式 向量通用形式：对任意平面向量，有 ①平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 ，即： ②三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则： ==. 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算. ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点 、，若 为线段 中点，则对平面内任意点 ，有： . 【知识点4 矩形大法】 1. 基本原理与公式 ①矩形恒等式（核心）：若四边形 为矩形， 为平面内任意一点，则： 拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”. ②衍生结论：在矩形中，对角线相等且互相平分，即 ，且 ，可快速转化向量模长关系. 【题型1 爪子定理的应用】 1.（2026·山东济南·模拟）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为边的中点，， 所以由爪子定理得. 2.（2026·云南昆明·模拟）在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 由爪子定理可得 易知，故选：C 3.（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为，所以， 则由爪子定理得， 故，. 故选：B. 4．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得 ，且，由可得， 所以，由已知可得：，所以 答案：C 【题型2 利用等和线求值或范围】 1．（2026·山东烟台·模拟）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴ 故选：A. 2．如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为(　　) A.B.C.2 D.2 【答案】C 【解析】设圆O与AB，AC边分别相切于点E、点N，由题知，＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y，如图，作出定值k为1的等和线DE，DE与BO相交于点P，AC是过圆上的点最远的等和线，当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，设2x＋y＝k，则k＝＝2，所以2x＋y的最大值为2.故选C. 3．(2026·安徽六安模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝(　　) A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】(1)法一(常规法)：因为E为线段AO的中点，所以＝＋)＝＝＋＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.故选B. 法二(等和线法)：如图，AD是定值为1的等和线，延长BE交AD于点F，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝.由图易知，＝.故选B. 4．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是　　　　. 【答案】2 【解析】法一：以O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图①所示，则A(1，0)，B，设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α).由＝x＋y＝，得所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2. 法二：令x＋y＝k，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图②，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝＝2. 5．正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设，，则的取值范围是 【答案】 【分析】如图所示，连接交于点，由正六边形的性质可得点为的中点．分类讨论：利用向量的加法和共线定理可得：①时，．②及点位于线段上时，．③除了①、②的情况满足，．综上可得：． 【解析】如图所示，    连接交于点，由正六边形的性质可得点为的中点． ①，，，，化为， 与向量，为实数）比较可得：． ②，又，． ，又， ，即，此时． ③当点位于线段上时，记作，则，此时． ④当点不在线段上时，． ． 综上可得：．即 【题型3 利用极化恒等式求数量积】 1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解析】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 2．（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，，， 所以，则, 因为，又，由极化恒等式可得， . 故选：B. 3．（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解析】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得 ． 故选：A． 4.（24-25高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】设的中点为D，则． 因为， 所以． 因为等边的边长为2， 则，所以． 所以由极化恒等式得． 故选：B. 【题型4 利用极化恒等式求数量积的取值范围】 1．（2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，    因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且，所以. 故选：A. 2．（25-26高三下·江西）如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接、，    则 ， 又， 所以，， 即， 所以，． 故的取值范围为． 故选：C 3.（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由，所以. 故选：B. 4.（2026·全国·模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由线段EF的中点为点B，得出. .当点P位于点A或点C时，取最大值8. 当点P位于的中点时，取最小值，即， ∴的取值范围为，∴的取值范围为. 【题型5 矩形大法的应用】 1．在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则 A. 2 B.4 C.5 D.10 【答案】D 【解析】把直角三角形ABC补成矩形 易知，所以 故 故选D 2．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 【答案】 【解析】设矩形的对角线交点为,则 = ， 由两边平方得： , ∵，，， ∴， ∴ . ∴， 3．在四边形中，，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示，构造正方形，边长为， 以为圆心，为半径在正方形内部作作圆， 显然在圆弧上，根据矩形恒等式可知，， 故当，，三点共线时，取得最小值， 由于，， 故最小值为. 故答案为： 4．已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】如图所示，令，，，易知， 则作矩形，根据矩形大法可知， 即， 根据，， 即， 1．在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，因则,即（*）， 又,,代入（*）得，, 即，因三点共线，故，解得，. 故选：B. 2．（25-26高一下·安徽合肥·期中）如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 在矩形中，， 由题意：为靠近的三等分点，故； 为靠近的四等分点，故， 因为在上，设， 又因为在上，根据爪子定理，存在参数使得： ， 代入得： ， 两个表达式对应系数相等： ， 联立得，解得，代入得. 因此. 4．（25-26高一下·吉林·期中）已知为所在平面内一点，并且满足，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】如图，连结接并延长交于点， 由可知，点是的重心，则点是的中点， ， 因为点三点共线，所以，即， 则， 当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 4．已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，设，，，点在圆上， 点在圆上，则，，由可得：， 作矩形, 则. 下证： . 设交于点，连接,因则 ， 同理可得：，两式左右分别相加得： ， . 即，故. 又，因， 即，故有． 故选:C． 5.（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【解析】由，则.四边形内接于圆，则四边形为等腰梯形. 设等腰梯形高为，又面积为，则等腰梯形高为， 则. 法一：取中点，直线相交于，在中，， ，则，所以. ，又三点共线， 则，则. 法二：， 所以 所以， 所以. 故选：A. 6．如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，，，则的最小值为，最大值为.  【答案】99；148 【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接,，如图所示： 则,，，，即， ， 当时，取得最小值，此时，所以. 当与重合时，，，则， 当与重合时，，，则， 所以， 故答案为：99；148. 7．在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【答案】 【解析】由题意，在中，是BC的中点， ， ∴ ∵，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)， ∴，， ∴解得∴． 故答案为：. 8．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________． 【答案】2 【解析】作平行于AB的直线l，当且仅当l与圆相切时，的取最大值2． 令，则由 得． 由三点共线可得 9．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    【答案】[1，] 【解析】如图，（λ＋μ）min＝1，（λ＋μ）max＝.    10．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为_______ 【答案】3 【解析】如图 ， 由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时 11．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 【答案】 【解析】如下图所示： 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径， ， 当为正方形的某边的中点时，， 当与正方形的顶点重合时，，即， 因此，. 故答案为：. 12．在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【答案】 【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，， 依题意，， 因的最小值为3，则的最小值为2，因此， 在中，，，在中，，， 所以. 故答案为： 13.设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______ 解：如图所示,取的中点为点到的距离, 由极化恒等式,, , 则 14．若点是所在平面内一点，且满足：． （1）求与的面积之比． （2）若为中点，与交于点，设，求，的值． 【解析】解（1）由， 根据三点共线的性质，，且与不共线， 可知、、三点共线． 如图令， ，即面积之比为． （2）由， ， 由、、三点共线及、、三点共线 1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正六边形内切圆圆心为， 由题意可知内切圆半径为，， 又因为，所以的取值范围为． 故选：C． 2.已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】因为动点满足， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示： 设为的中点， 则； 所以当取最小值时，取得最小值； ， 所以.故选：C 3.已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 4．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以，. 所以，. 故答案为：. 5．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，则， 令与交于点，设，则， 由三点共线，得，则， 当在弧、弧上（不含端点）时，；当在弧上（不含端点）时， ；当与之一重合时，；当与重合时，， 因此最大，当且仅当在弧上（不含端点）且， 则，所以的最大值为. 6．设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【答案】C为顶角的等腰三角形 【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示： ，同理，， ，设O为AB的中点， 即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $