精品解析：浙江杭州市余杭、临平区2025-2026学年八年级下学期5月阶段自测数学试卷

八年级数学 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．以下剪纸中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为，宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 老师记录了全班40名学生跳绳的次数，绘制了箱线图如图，则跳绳次数的上四分位数是（ ） A. 162 B. 144 C. 136 D. 132 7. 如图，在中，，是上一点，的周长是周长的一半，且，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 10. 三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为，，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（ ） A. B. 小长方形的周长为 C. 与的周长和恰好等于长方形的周长 D. 只需知道和的值，即可求出与的周长和 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是_______． 12. 一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的离差平方和是_____． 13. 已知，则_____． 14. 如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______． 15. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，设交于点，连接，当旋转角α的度数为 ____________ 时，是等腰三角形． 16. 如图，在矩形中，点，，，分别在边，，，上，点在矩形内．若，，，，四边形的面积为5 cm²，则四边形的面积为__________ cm²． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算 （1）计算：． （2）解方程：． 18. 启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛活动（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 7.5 【数据应用】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由． （3）小西认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 19. 如图，在中，对角线、相交于点，点、在线段上，且，连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于，求的面积． 20. 某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片．2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，乙种芯片每颗的售价为1800元．随着技术的迭代更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，乙种芯片每颗的售价为1300元． （1）求2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率； （2）2025年底，某芯片使用企业计划用不超过14.28亿元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片共100万颗，问最多购进多少万颗甲种芯片? 21. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 22. 几何证明: （1）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交．求证：FG＝（AB+BC+AC）． （2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变（如图1），线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 23. 如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF． （1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明； （2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由； （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．. 24. 在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． （1）若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． （2）若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．以下剪纸中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、可以找到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故是中心对称图形，符合题意； D、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，A错误． 与不是同类二次根式，不能合并，B错误． ，，计算正确，C正确． 与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 3. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为，宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解此题的关键． 设彩纸的宽度为，根据在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，列出一元二次方程即可，理解题意． 【详解】解：设彩纸的宽度为， 原画面的面积为， ， 即， 故选：A． 4. 用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：∵ 结论是， ∴ 反证法第一步应假设结论不成立，即， 故选：D． 5. 如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形（如等腰梯形），故选项D符合题意； 故选：D． 6. 老师记录了全班40名学生跳绳的次数，绘制了箱线图如图，则跳绳次数的上四分位数是（ ） A. 162 B. 144 C. 136 D. 132 【答案】B 【解析】 【详解】解：由箱线图可知，跳绳次数的上四分位数是144． 7. 如图，在中，，是上一点，的周长是周长的一半，且，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为四边形是平行四边形，所以，由的周长是周长的一半，可得，所以是线段的垂直平分线，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长是周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 8. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 9. 如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线定理是解题的关键．根据D是的中点，，可以得到，进而求出，再由三角形中位线定理，即可求出． 【详解】解： D是的中点，，， 是的垂直平分线， , ，， ， D，E分别是，的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 10. 三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为，，各长方形中长与宽的数据如图所示．则以下结论中正确的是（ ） A. B. 小长方形的周长为 C. 与的周长和恰好等于长方形的周长 D. 只需知道和的值，即可求出与的周长和 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意和图形，正确列出代数式是解决本题的关键． 根据图形中各边之间的关系，即可一一判定． 【详解】解：由图可知：，，故A不正确； 小长方形的周长为：，故B不正确； 与的周长和为： ， 长方形的周长为：， 故与的周长和不等于长方形的周长，故C不正确， 故只需知道和的值，即可求出与的周长和，故D正确， 故选：D． 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，关键是采用恰当的方法解方程；用因式分解法解方程，利用零乘积性质将方程转化为两个一元一次方程． 【详解】解： ， 或， 故答案为：． 12. 一组数据为1，1，2，2，4，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查离差平方和的计算，先求出这组数据的平均数，再根据定义计算离差平方和． 【详解】解：这组数据的平均数为， 则这组数据的离差平方和为： ． 13. 已知，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而确定的值，再代入方程求出的值，最后计算． 本题考查了二次根式的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：因为和 在实数范围内有意义， 所以且， 即且， 解得， 将代入原方程，得， 所以，即； 因此， 故答案为：6． 14. 如图，在四边形中，，，，E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为______． 【答案】2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定方法、进行分类讨论是解题的关键． 由，则时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论：①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可；②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：，解方程即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； ②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t， 则，， ∴，， ∵， ∴，解得； 综上，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2秒或秒． 15. 如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，设交于点，连接，当旋转角α的度数为 ____________ 时，是等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得到，再求出，进而求出，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：由旋转得：， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当， ∴， ∴， 此方程无解，故不存在； 当， ∴， ∴， ∴， 当， ∴， ∴， ∴， ∴当旋转角α的度数为或时，是等腰三角形． 16. 如图，在矩形中，点，，，分别在边，，，上，点在矩形内．若，，，，四边形的面积为5 cm²，则四边形的面积为__________ cm²． 【答案】8 【解析】 【分析】由于四边形和四边形均为不规则图形，因此把它们先分割成规则图形，故连接，，而分割后的三角形的高也未知，因此分别设出和的高，进而四边形中的两个三角形的高也可以表示出来，最后借助四边形的面积求出四边形的面积即可． 【详解】解：如图，连接，，设在上的高，在边上的高，则在边上的高，在边上的高为． ，， ． ， ， 即． ， 　　　　　 　 　 　． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算 （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 18. 启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛活动（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 7.5 【数据应用】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：_____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由． （3）小西认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 【答案】（1）8；9； （2）乙， 理由如下：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为8分，乙组的中位数为分，由于小明的描述可知小刚的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生． （3）虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小西的观点比较片面． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数等知识点，理解中位数、众数的意义成为解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义即可解答； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）从两组成绩的众数角度进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：甲组学生成绩从低到高排列，处于第4、5位的分别是8、8，则甲组的中位数； 乙组学生成绩9分学生数最多，故乙组的众数． 故答案为：8，9． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，对角线、相交于点，点、在线段上，且，连接、、、． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于，求的面积． 【答案】（1）证明：的对角线，相交于点， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）12． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）由题意可知，根据等高三角形面积比等于底之比作答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 的面积． 20. 某国产芯片公司生产甲、乙两种芯片．2023年底，甲种芯片每颗的售价为2000元，乙种芯片每颗的售价为1800元．随着技术的迭代更新，生产规模扩大，售价逐年降低，到2025年底，甲种芯片每颗的售价为1620元，乙种芯片每颗的售价为1300元． （1）求2023年底至2025年底这两年间，每颗甲种芯片售价每年的平均下降率； （2）2025年底，某芯片使用企业计划用不超过14.28亿元资金从芯片公司购进甲、乙两种芯片共100万颗，问最多购进多少万颗甲种芯片? 【答案】（1） （2）40万颗 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，准确理解题意，列出方程和不等式是解题的关键． （1）根据题意，设每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为，列出方程并求解即可； （2）根据题意，设购进万颗甲种芯片，则乙种芯片购进万颗，列出不等式，求解即可求出最多购进甲种芯片的数量． 【小问1详解】 解：设每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为， 根据题意，可得方程， 解得或（舍去）， 故每颗甲种芯片售价每年的平均下降率为． 【小问2详解】 解：假设购进万颗甲种芯片，则乙种芯片购进万颗， 得不等式， 解得， 故最多购进万颗甲种芯片． 21. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 22. 几何证明: （1）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交．求证：FG＝（AB+BC+AC）． （2）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其余条件不变（如图1），线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明． 【答案】（1）见解析；（2）线段FG与△ABC三边的数量关系是FG＝（AB+AC﹣BC），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理ASA证得△ABF≌△MBF，然后由全等三角形的对应边相等进一步推出MB＝AB，AF＝MF，同理CN＝AC，AG＝NG，由此可以证明FG为△AMN的中位线，然后利用中位线定理求得FG＝（AB+BC+AC）；（2）延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，与（1）类似可以证出答案． 【详解】（1）如图1，∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF， ∴∠BAF＝∠BMF， 在△ABF和△MBF中， ∵， ∴△ABF≌△MBF（ASA） ∴MB＝AB ∴AF＝MF， 同理：CN＝AC，AG＝NG， ∴FG是△AMN的中位线 ∴FG＝MN， ＝（MB+BC+CN）， ＝（AB+BC+AC）． （2）图2中，FG＝（AB+AC﹣BC） 理由如下：如图2， 延长AG、AF，与直线BC相交于M、N， ∵由（1）中证明过程类似证△ABF≌△NBF， ∴NB＝AB，AF＝NF， 同理CM＝AC，AG＝MG ∴FG＝MN， ∴MN＝2FG， ∴BC＝BN+CM﹣MN＝AB+AC﹣2FG， ∴FG＝（AB+AC﹣BC）， 答：线段FG与△ABC三边的数量关系是FG＝（AB+AC﹣BC）． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是作辅助线转化成三角形的中位线． 23. 如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF． （1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明； （2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由； （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．. 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形；（3） 【解析】 【分析】（1）从图上及已知条件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边； （2）由（1）的结论容易证明AB∥DF，BD∥AF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （3）EF∥AB，EF≠AB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可． 【详解】解：（1）△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF． （选证一）△BDE≌△FEC． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=60°． ∵CD=CE， ∴△EDC是等边三角形， ∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°， ∴∠BDE=∠FEC=120°． 又∵EF=AE， ∴BD=FE， ∴△BDE≌△FEC． （选证二）△BCE≌△FDC． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=60°． 又∵CD=CE， ∴△EDC是等边三角形， ∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE． ∵EF=AE， ∴EF+DE=AE+CE， ∴FD=AC=BC， ∴△BCE≌△FDC． （选证三）△ABE≌△ACF． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°． ∵CD=CE， ∴△EDC是等边三角形， ∴∠AEF=∠CED=60°． ∵EF=AE，△AEF是等边三角形， ∴AE=AF，∠EAF=60°， ∴△ABE≌△ACF． （2）由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形， ∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°， ∴AB∥DF，BD∥AF， ∴四边形ABDF是平行四边形． （3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形， ∴EF∥AB，EF≠AB， ∴四边形ABEF是梯形． 过E作EG⊥AB于G，则EG=， ∴ ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，及梯形面积的求解，用到的知识点比较多，较复杂． 24. 在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． （1）若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． （2）若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 【答案】（1）①，2； ②证明：如图2， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 又， ， 是的中点； （2），． 【解析】 【分析】（1）①以A为圆心，为半径画弧，交于点E；由折叠的性质可知，则作的平分线交与点P即可；根据勾股定理求出，即可求出的值； ②由折叠的性质可知，，根据平行线的判定和性质得到，可知，根据等角对等边得到，进而可知，即P是的中点； （2）根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ①解：作图略； 由折叠的性质可知， ∵矩形 ∴，， ， ； ②略； 【小问2详解】 解：图略， 当时，可知此时点在的延长线上． 在中，，， ， ， 设，则， ， ， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $