广东省广州市海珠区2025-2026学年七年级数学期末模拟卷

**基本信息** 广东省广州市海珠区2025-2026学年七年级数学期末模拟卷，以无人机配送、机器人大赛为情境，融入《孙子算经》文化素材，覆盖实数、方程、几何、统计等核心知识，分层考查运算能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|无理数判断、方程应用、统计图表|结合《孙子算经》古文情境，考查数学抽象| |填空题|6题|相反数、算术平方根、坐标几何|动态点坐标问题，体现空间观念| |解答题|9题|实数运算、不等式组、几何证明、统计分析、方案决策|含机器臂角度计算、无人机配送方案设计，综合考查推理能力与应用意识|

广东省广州市海珠区2025-2026学年七年级数学期末模拟卷 一、选择题： 1.下列各数：，，，，，，，其中无理数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.下列计算正确的是(    ) A. 的平方根是 B. 是的立方根 C. 的平方根是 D. 的算术平方根是 3.如图，是延长线上一点，下列条件中能判定的是(    ) A. B. C. D. 4.下列命题是假命题的是(    ) A. 同位角相等 B. 同角的补角相等 C. 对顶角相等 D. 如果，，那么 5.在平面直角坐标系中，点，，，轴，则当线段的长度取最小值时，点的坐标为    ． A. B. C. D. 6.孙子算经是中国南北朝数学著作，是算经十书之一，书中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余尺，问木头长多少尺．如果设绳子长尺，木头长尺，那么所列方程组正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图所示，反映的是九班学生外出乘车、步行、骑车的人数直方图的一部分和圆形分布图，下列说法：九班外出步行有人；在圆形统计图中，步行人数所占的圆心角度数为；九班外出的学生共有人；若该校九年级外出的学生共有人，那么估计全年级外出骑车的人约有人，其中正确的结论是(    ) A. B. C. D. 8.已知关于，的方程组，下列说法中正确的有    个．当时，；当时，的最小值为；取任意实数，的值始终不变；不存在实数，使成立． A. B. C. D. 9.机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图的数学模型，，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.如果关于的方程有正整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的的和为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.的相反数是          ． 12.的算术平方根是______． 13.若关于和的方程组的解互为相反数，则           ． 14.如图，在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示标志点，，则“宝藏”所在地点的坐标为        ． 15.如图，在四边形中，，，是上一点，连接，是延长线上一点，连接，且，若，则的度数为          ． 16.如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点从点出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点的坐标为          ． 三、解答题： 17. 计算： ； ； 18.解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 19.如图：已知 求证： ； 若图中 ，求证： 20.世界读书日来临之际，某校为了解七年级学生最喜爱的图书类别，随机抽取名学生开展问卷调查要求每名学生仅选择一类最喜爱的图书，调查将图书分为文学类、科普类、漫画类、艺术类、传记类五类，统计后得到两幅不完整的统计图，请结合以上信息解答下列问题： 填空：           ，           ； 请补全条形统计图； 扇形统计图中，“艺术类”所对应的扇形圆心角度数是          ； 若该校七年级共有名学生，请估计该校七年级最喜爱“科普类”和“传记类”图书的学生人数之和． 21.如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形． 画出平移后的三角形，写出的坐标； 连接，为上的动点，求出的最小值． 22. 近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能．年某外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务．某商店在无促销活动时，若买件商品，件商品，共需要元；若买件商品，件商品，共需元． 求该商店在无促销活动时，商品的销售单价分别是多少元？ 为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案． 方案一：若消费者用元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售； 方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 某科技公司计划在促销期间购买，两款商品共件，其中商品购买件 求当在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？ 23. 设为实数，我们用表示不小于的最小整数，如：，在此规定下，任一实数都能写成的形式． 若，则______； 直接写出、与这三者的大小关系：______； 满足的的取值范围是______；满足的的取值是______． 24.平面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式：． 求、、三点的坐标； 如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积． 在的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 25.如图，直线，点在直线上，点、、在直线上，，于点，与的角平分线相交于点． 求的度数； 如图，若，，求的度数； 在的条件下，将绕着点以秒的速度逆时针旋转，当边与射线重合时停止，求在旋转过程中的其中一边与的某一边平行时旋转时间的值． 广东省广州市海珠区2025-2026学年七年级数学期末模拟卷 参考答案 一、选择题： 1.下列各数：，，，，，，，其中无理数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】解：，是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 无理数有：，，共个． 故选：． 根据无理数的定义求解即可． 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式． 2.下列计算正确的是(    ) A. 的平方根是 B. 是的立方根 C. 的平方根是 D. 的算术平方根是 【答案】D  【解析】【详解】解：、的平方根是，故本选项不符合题意； 、是的立方根，故本选项不符合题意； 、负数没有平方根，故本选项不符合题意； 、的算术平方根是，故本选项符合题意； 3.如图，是延长线上一点，下列条件中能判定的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、两个角不是同位角，也不是内错角，不能判定，故A不符合题意； B、由同位角相等，两直线平行判定，不能判定，故B不符合题意； C、由同旁内角互补，两直线平行判定，故C符合题意； D、两个角是邻补角，，不能判定，故D不符合题意． 故选：． 由平行线的判定方法，即可判断． 本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 4.下列命题是假命题的是(    ) A. 同位角相等 B. 同角的补角相等 C. 对顶角相等 D. 如果，，那么 【答案】A  【解析】解：、只有两直线平行时，同位角才相等，原命题错误，是假命题，符合题意； B、同角的补角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意； D、如果，，那么，正确，是真命题，不符合题意． 故选：． 5.在平面直角坐标系中，点，，，轴，则当线段的长度取最小值时，点的坐标为    ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：轴， ． 如图， 当时，的长度取最小值， ，即． 6.孙子算经是中国南北朝数学著作，是算经十书之一，书中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余尺，问木头长多少尺．如果设绳子长尺，木头长尺，那么所列方程组正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题中的等量关系是解题的关键． 根据题意，设绳子长尺，木头长尺．第一个条件“余绳尺”表示绳子比木头长尺，即；第二个条件“对折后量木头，木头剩余尺”说明木头比对折后的绳子长尺，即，据此即可解答． 【详解】解：设绳子长为尺，木头长为尺． 由题意可得． 故选D． 7.如图所示，反映的是九班学生外出乘车、步行、骑车的人数直方图的一部分和圆形分布图，下列说法：九班外出步行有人；在圆形统计图中，步行人数所占的圆心角度数为；九班外出的学生共有人；若该校九年级外出的学生共有人，那么估计全年级外出骑车的人约有人，其中正确的结论是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】求出九班的总人数，再求出步行的人数，进而求出步行人数所占的圆心角度数，最后即可逐一作出判断． 【详解】解：由扇形图知乘车的人数是人，占总人数的，则九班外出的学生有人，正确； 步行人数为人，正确； 步行人数所占的圆心角度数为，错误； 如果该中学九年级外出的学生共有人，那么估计全年级外出骑车的学生约有人，正确； 故正确的是． 8.已知关于，的方程组，下列说法中正确的有    个．当时，；当时，的最小值为；取任意实数，的值始终不变；不存在实数，使成立． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：当时，原方程组为 解得：，故该项正确； 由，得：． ，即， ， 解得：，即的最大值为，故该项错误； 由，得：， 取任意实数，的值始终不变，故该项正确； 原方程组可改为： ， 整理，得：． ，即， ， 解得：， ， ，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有个． 故选B． 9.机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图的数学模型，，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】过作，过作，根据平行线的性质分别求出，，即可得解． 【详解】解：过作，过作， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ． 10.如果关于的方程有正整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的的和为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】先解关于的方程，根据是正整数得到的范围和性质，再解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，最后找出符合条件的整数求和即可． 【详解】解：先解关于的方程 去分母得： 整理得： 为正整数 ，且为偶数，即，且为奇数，为整数， 再解不等式组 解第一个不等式得： 解第二个不等式得： 不等式组的解集为，根据同大取大原则，得 解得 综上可得，满足条件的满足，且为奇数，因此符合条件的整数为， 所有符合条件的的和为：． 二、填空题： 11.的相反数是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相反数的意义，掌握相反数的求法是解决问题的关键，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】 解：， 的相反数是． 12.的算术平方根是______． 【答案】  【解析】解：． 的算术平方根是． 故答案为：． 先求得的值，然后再求得的算术平方根即可． 本题主要考查的是算术平方根的定义，求得的值是解题的关键． 13.若关于和的方程组的解互为相反数，则           ． 【答案】  【解析】根据相反数的定义，可得，即，先将代入第一个方程求出与的值，再代入第二个方程求解即可． 【详解】解：方程组的解，互为相反数， ，即， 将代入方程得，， 解得， ， 把，代入方程，得， 化简得，， 解得． 14.如图，在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所示标志点，，则“宝藏”所在地点的坐标为        ． 【答案】  【解析】解：由题意可得，坐标系如下： 则“宝藏”点对应的坐标是， 故答案为：． 根据题意先画出相应的平面直角坐标系，然后写出“宝藏”点对应的坐标即可． 本题考查坐标确定位置，解题关键是作出相应的平面直角坐标系． 15.如图，在四边形中，，，是上一点，连接，是延长线上一点，连接，且，若，则的度数为          ． 【答案】  【解析】首先根据同旁内角互补判定，利用平行线的性质求出的度数，再根据利用平行线的性质得出与的关系以及与的关系，最后通过角的和差计算得出结果． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 16.如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点从点出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点的坐标为          ． 【答案】或  【解析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：三角形中，， ，， 动点从点出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， 当点在上运动时，，， ， ，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ， ，即点为的中点， 此时点的坐标为，即； 综上所述，点的坐标为或． 三、解答题： 17. 计算： ； ； 【答案】    【解析】解：原式 ； 原式； 本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键． 18.解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 【答案】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 所以原不等式组的解集为， 在数轴上表示如图，      【解析】本题考查解一元一次不等式组，并在数轴上表示它的解集．掌握解一元一次不等式组的步骤是解题关键．分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定其解集，最后在数轴表示即可． 19.如图：已知 求证： ； 若图中 ，求证： 【答案】(1)证明： ，  ，  ；   (2)证明： 由（1）得 ，  ，  ，  ，  ，  ，   【解析】  本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 由题意，得到 ，证得 ；  由的结论，得到 ，结合已知条件，求出 的度数，证得结论． 20.世界读书日来临之际，某校为了解七年级学生最喜爱的图书类别，随机抽取名学生开展问卷调查要求每名学生仅选择一类最喜爱的图书，调查将图书分为文学类、科普类、漫画类、艺术类、传记类五类，统计后得到两幅不完整的统计图，请结合以上信息解答下列问题： 填空：           ，           ； 请补全条形统计图； 扇形统计图中，“艺术类”所对应的扇形圆心角度数是          ； 若该校七年级共有名学生，请估计该校七年级最喜爱“科普类”和“传记类”图书的学生人数之和． 【答案】(1)60;30  (2)解：，补全统计图如下： ；   (3)36  (4)解：， 所以该校七年级最喜爱“科普类”和“传记类”图书的学生人数和为600人．   【解析】  先求出除喜爱“传记”类图书外其他四类的人数，及其所占的百分比可得抽查总人数，再用喜爱“科普”图书的人数除以抽查人数可得百分比； 解：， ，， 所以；  先求出喜爱“传记”类图书的学生人数，再补全统计图即可；  用乘以“喜爱艺术类”图书所占的百分比可得答案； 解：， 所以“艺术类”所对应的圆心角度数是；  用总人数乘以喜爱这两类图书所占的百分比即可． 21.如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形． 画出平移后的三角形，写出的坐标； 连接，为上的动点，求出的最小值． 【答案】(1)解：由题意得，三角形ABC向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到三角形， 如图，三角形即为所求． 由图可得，的坐标为   (2)解：过点C作的垂线，交于点D，此时取得最小值， 的最小值为．   【解析】 本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 根据平移的性质作图，即可得出答案．  过点作的垂线，交于点，此时取得最小值，即可得出答案． 22. 近年来，中国低空经济发展迅速，成为经济增长的新动能．年某外卖公司在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供应急救援等商品货物配送服务．某商店在无促销活动时，若买件商品，件商品，共需要元；若买件商品，件商品，共需元． 求该商店在无促销活动时，商品的销售单价分别是多少元？ 为鼓励游客使用无人机配送服务，该商店现开展促销活动，有两种方案． 方案一：若消费者用元购买无人机配送服务卡，凡购买店内任何商品，一律按标价的七五折出售； 方案二：若消费者不使用无人机配送服务，凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售． 某科技公司计划在促销期间购买，两款商品共件，其中商品购买件 求当在什么范围内时，选用无人机配送服务更合算？ 【答案】(1)解：设该商店在无促销活动时A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元， 根据题意得： ， 解得： ． 答：该商店在无促销活动时A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元.   (2)解：根据题意得： ， 解得： ， 又∵ ， ∴ ． 答：当 时，选用无人机配送服务更合算．   【解析】 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 设该商店在无促销活动时商品的销售单价是元，商品的销售单价是元，根据“某商店在无促销活动时，买件商品，件商品，共需要元；买件商品，件商品，共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．  根据选用无人机配送服务更合算，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合 ，即可确定结论． 23. 设为实数，我们用表示不小于的最小整数，如：，在此规定下，任一实数都能写成的形式． 若，则______； 直接写出、与这三者的大小关系：______； 满足的的取值范围是______；满足的的取值是______． 【答案】解：， ， 解得． ． 理由：，其中， ， ， ． 依题意有， 解得：． 依据题意，有且为整数， 解得：， ， 整数为，， 解得：或．  【解析】利用表示不小于的最小整数，可得方程，解方程即可求解； 利用，其中得出，进而得出答案； 利用中所求得出，进而得出即可； 利用中所求得出，进而得出即可． 此题主要考查了一元一次不等式组的应用，利用已知得出不等式组是解题关键． 24.平面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式：． 求、、三点的坐标； 如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积． 在的条件下，是否存在点，使四边形的面积与三角形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解：，，，，，，，点的坐标是，点的坐标为，点的坐标为；  (2)由（1）知，，，又在第二象限，，；  (3)存在，，，轴，，由题意得，，解得，点的坐标为．  【解析】 【分析】根据非负数的性质求出、、的值，即可得出、、三点的坐标；  根据四边形的面积等于的面积加上的面积计算即可；  根据四边形的面积与三角形的面积相等即可求出点的坐标． 【点评】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，非负数的性质，四边形的面积，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． 25.如图，直线，点在直线上，点、、在直线上，，于点，与的角平分线相交于点． 求的度数； 如图，若，，求的度数； 在的条件下，将绕着点以秒的速度逆时针旋转，当边与射线重合时停止，求在旋转过程中的其中一边与的某一边平行时旋转时间的值． 【答案】(1)解：∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；   (2)∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴；   (3)∵， ∴，， ∴， ∴ 设旋转时间为t秒，旋转角度为． ∵边，，，有共同顶点C， ∴这四条边不能互相平行， ①时，如图： ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图： ∴， ∴， 解得：； ③当时，如图： ∴， ∴， 解得：； ④当时，如图： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； ⑤当时，如图： ∴， ∴， 解得：； 综上所述，或10或12或18或30．   【解析】  本题主要考查了角的计算和平行线的性质，正确的计算旋转角是本题解题的关键． 根据角平分线的定义，用和表示出和，再根据三角形内角和求解即可；   用表示出，再根据平行线的性质得出，最后根据三角形内角和求解即可；   根据平行两边不同分类讨论，根据平行线的性质求出旋转角，从而求得时间． 第24页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $