精品解析：2026年广西壮族自治区崇左市江州区 中考第三次学情自测数学试题

2026年初中学业水平模拟卷(二) 数 学 全卷满分120分 考试时间150分钟 注意事项： 1． 答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2． 考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3． 不能使用计算器． 4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一 、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分， 共36分． 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：若向北运动米记作米，则向南运动米可记作米， 故选：． 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 4. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D错误． 6. 在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖(如图)．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，“对顶角相等”．先由“两直线平行，内错角相等”，得到，结合已知条件，以及“对顶角相等”，求得的度数． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 如图，一辆小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】直接用勾股定理求出水平距离为，再根据坡度等于竖直距离：水平距离求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，水平距离， 斜坡的坡度． 8. 如图，中，，，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可得垂直平分，平分，由此即可判断AB选项正确；求出，，由此即可判断C选项正确，D选项错误． 【详解】解：由作图可得：垂直平分，平分， ∴，，故AB选项正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴不平分，故D选项错误，符合题意． 9. 若关于x 的方程 的解为，则 m 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将已知解代入原分式方程，即可求解得到的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得，即， 解得． 10. 如图，是四边形ABCD的外接圆，点E在CD的延长线上，若，则的度数是（　　） A. 60° B. 80° C. 90° D. 100° 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出，根据圆内接四边形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键． 11. 已知关于x 的一元二次方程的两实数根之积等于，则 m的值为（ ） A. 0 B. C. 10 D. 0 或10 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积，结合题意列方程求解，再根据方程有两个实数根，利用判别式检验，舍去不符合题意的解． 【详解】解：∵ 一元二次方程两根之积为， 由题意得， 整理得， 解得， ∵ 方程有两个实数根， ∴， 当时，，此时方程无实数根，舍去， 当时，，符合题意， ∴的值为． 12. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 1 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， 则． 二 、填空题 ( 本题共4小题，每小题3分，共12分．) 13. 写出不等式的一个整数解：___________． 【答案】 4 （答案不唯一） 【解析】 【详解】解： 移项得 所以不等式的整数解为所有大于的整数，任写一个即可，例如． 14. 已知，则 ________ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式变形得到的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 15. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 16. 如图，四边形是平行四边形，边在x轴上，点B在反比例函数上，点C在反比例函数（k为常数，且）上．若轴，则k的值是____ 【答案】 4 【解析】 【分析】由题意可设，然后根据平行四边形的性质得到，那么，即可得到，而，以及表示出，即可建立方程求解． 【详解】解：由题意可设， ∵平行四边形， ∴， ∴， 将代入，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， 解得． 三 、解答题 (本大题共7小题，共72分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17. 计算与解方程： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ， 经检验，当时，， 则原分式方程的解是． 18. 如图， 平行四边形中，． （1）利用尺规作图，在边上确定点，使点到边，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求的长． 【答案】（1）解：点如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线，与的交点即为所求的点； （2）由平行四边形的性质可得，，，，结合角平分线容易证明，因此． 【小问1详解】 由角平分线的性质可得，点到边，的距离相等； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知． （1）如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长； （2）现将压柄从图2的位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号） （参考数据：；） 【答案】（1）cm （2）cm 【解析】 【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案； （2）过点作，垂足为，在中，根据三角函数解直角三角形求出的值，根据求出的长度，然后根据勾股定理可得的长度． 【小问1详解】 解：在中，， 答：此时的长约为5cm； 【小问2详解】 过点作，垂足为， 在中，， ， ∴， 在中，， 答：此时液压伸缩连接杆的长约为cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键． 20. 如图，在中，，是外接圆，点D是圆外一点．连接，与交于点E，，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据题意，证明即可求解； （2）由题可得垂直平分，进而得到是的中位线，再证，得到，根据计算即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是半径， ∴是切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴垂直平分． 又∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即∴， ∴， ∴． 21. 定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“反点”．例如，求函数图象的“反点”．可以看成是函数图象与函数图像的交点坐标，联立方程组即可求解． （1）若一次函数的图像上“反点”坐标为，则b的值为______． （2）设反比例函数的图象上的“反点”分别为A，B，线段的长度，求k的值． （3）若二次函数的图象上有且只有一个“反点”． ①求c的值． ②若，是二次函数的图象上的两点，求的最小值． 【答案】（1） （2）； （3）①；②的最小值是 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数中即可求出b的值． （2）由反比例函数的中心对称性质可知，由“反点”的定义设，，则，求出点A的坐标进而可求出k值． （3）①根据题意联立方程组得出关于x的一元二次方程，然后根据根的判别式为0即可求出c的值． ②表示出和，，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，∵一次函数的图象上“反点”坐标为， ∴， ； 【小问2详解】 解：由反比例函数的中心对称性质可知， ∵反比例函数的图象上的“反点”分别为A，B， ∴设，， 则， ∴（正值舍去）， ∴A的坐标是， ∴． 【小问3详解】 解：①∵函数的图象存在唯一的一个“反点”， ∴联立，可得：， 方程整理，得， 两个相等的实数根，则， ∴，解得． ②由①可知该二次函数的表达式为． ，， ∴， ∴当时，的最小值是． 22. 【综合与实践】某生态农场为推广智慧农业，在A、B两个智能温室进行了草莓种植试验．从每个温室随机选取10株草莓，记录其单株产量（单位：千克）和口感评分（满分10分，评分越高口感越好）．有关生产和销售的信息整理如下： 信息一：单株产量（单位：千克） A温室 1.2 1.5 1.6 1.8 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 B温室 1.0 1.5 1.5 1.6 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 信息二：口感评分频数分布 农场对口感评分结果进行了分组整理，绘制了如下频数分布直方图（其中，B温室的草莓口感评分在“8－9分区间”的四个数据为：8.2，8.3，8.5，8.7）； 农场对上述数据进行了初步分析，结果如下表： 温室 单株产量 口感评分 平均数 众数 平均数 方差 中位数 A 1.77 8.7 0.49 8.9 B 1.72 2.0 8.4 0.74 信息三：产品销售 农场将收获的部分草莓进行了包装销售．其中，每盒“精品礼盒”的售价为120元，每盒“家庭装”的售价为80元．已知这两种包装的草莓平均每天共售出60盒． 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）若该农场采用A温室的种植方案推广种植了2000株草莓，其中单株产量不低于1.8千克的草莓约有________株； （3）作为技术开发部人员，你会向农场推荐采用哪个温室的种植方案？请说明理由； （4）已知每盒“精品礼盒”的成本是售价的，每盒“家庭装”的成本是售价的，同时每天售出的“家庭装”的数量不少于“精品礼盒”的一半．作为市场销售部人员，请你分析分别售出“精品礼盒”和“家庭装”多少盒时，才能使售完60盒草莓的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）2.0，8.4 （2）1400 （3）推荐采用A温室的种植方案，理由见解析 （4）每天售出“家庭装”20盒，“精品礼盒”40盒，获得最大利润2400元 【解析】 【分析】（1）由单株产量表和口感评分频数分布直方图即可求解； （2）由不低于1.8千克的占比即可求解； （3）比较单株产量或口感评分的平均数、方差或中位数即可； （4）设售出“精品礼盒”盒，则“家庭装”售出盒，总利润为元，根据题意列出不等式与一次函数表达式即可求解． 【小问1详解】 解：由单株产量表可得A温室的单株产量的众数；由口感评分频数分布直方图可得B温室的草莓口感评分从小到大排列第5个和第6个数据分别为8.3和8.5，则中位数． 【小问2详解】 解：（株）， ∴A温室单株产量不低于1.8千克的草莓约有1400株． 【小问3详解】 解：推荐采用A温室的种植方案，理由如下： A温室的单株产量平均数更高，平均产量更高； A温室的口感评分的平均数更高、方差更小，说明A温室的平均口感更好，口感评分更稳定，品质更均匀．（选择一条回答即可） 【小问4详解】 解：设售出“精品礼盒”盒，则“家庭装”售出盒，总利润为元， 由题意得，， 解得， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的最大值为（元），此时（盒）， ∴每天售出“家庭装”20盒，“精品礼盒”40盒，获最大利润2400元． 23. 【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 （1）如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 （2）如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 【答案】（1）4，3 （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知：，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解； （2）过点作，垂足为H．由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分当点B在线段上时，当点B在线段外时，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 即到的距离为3； 【小问2详解】 解：，证明如下： 过点作，垂足为H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：①当点B在线段上时， 在中，， ∴， 在中，． ②当点B在线段外时，过点作，垂足为H． ∵，，B共线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∴在中，； 综上所述，长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟卷(二) 数 学 全卷满分120分 考试时间150分钟 注意事项： 1． 答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2． 考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3． 不能使用计算器． 4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一 、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分， 共36分． 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖(如图)．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一辆小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 30° 8. 如图，中，，，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 9. 若关于x 的方程 的解为，则 m 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 10. 如图，是四边形ABCD的外接圆，点E在CD的延长线上，若，则的度数是（　　） A. 60° B. 80° C. 90° D. 100° 11. 已知关于x 的一元二次方程的两实数根之积等于，则 m的值为（ ） A. 0 B. C. 10 D. 0 或10 12. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 1 C. 2 D. 2.5 二 、填空题 ( 本题共4小题，每小题3分，共12分．) 13. 写出不等式的一个整数解：___________． 14. 已知，则 ________ 15. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 16. 如图，四边形是平行四边形，边在x轴上，点B在反比例函数上，点C在反比例函数（k为常数，且）上．若轴，则k的值是____ 三 、解答题 (本大题共7小题，共72分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17. 计算与解方程： （1）计算： （2）解方程： 18. 如图， 平行四边形中，． （1）利用尺规作图，在边上确定点，使点到边，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求的长． 19. 如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知． （1）如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长； （2）现将压柄从图2的位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号） （参考数据：；） 20. 如图，在中，，是外接圆，点D是圆外一点．连接，与交于点E，，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 21. 定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“反点”．例如，求函数图象的“反点”．可以看成是函数图象与函数图像的交点坐标，联立方程组即可求解． （1）若一次函数的图像上“反点”坐标为，则b的值为______． （2）设反比例函数的图象上的“反点”分别为A，B，线段的长度，求k的值． （3）若二次函数的图象上有且只有一个“反点”． ①求c的值． ②若，是二次函数的图象上的两点，求的最小值． 22. 【综合与实践】某生态农场为推广智慧农业，在A、B两个智能温室进行了草莓种植试验．从每个温室随机选取10株草莓，记录其单株产量（单位：千克）和口感评分（满分10分，评分越高口感越好）．有关生产和销售的信息整理如下： 信息一：单株产量（单位：千克） A温室 1.2 1.5 1.6 1.8 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 B温室 1.0 1.5 1.5 1.6 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0 信息二：口感评分频数分布 农场对口感评分结果进行了分组整理，绘制了如下频数分布直方图（其中，B温室的草莓口感评分在“8－9分区间”的四个数据为：8.2，8.3，8.5，8.7）； 农场对上述数据进行了初步分析，结果如下表： 温室 单株产量 口感评分 平均数 众数 平均数 方差 中位数 A 1.77 8.7 0.49 8.9 B 1.72 2.0 8.4 0.74 信息三：产品销售 农场将收获的部分草莓进行了包装销售．其中，每盒“精品礼盒”的售价为120元，每盒“家庭装”的售价为80元．已知这两种包装的草莓平均每天共售出60盒． 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）若该农场采用A温室的种植方案推广种植了2000株草莓，其中单株产量不低于1.8千克的草莓约有________株； （3）作为技术开发部人员，你会向农场推荐采用哪个温室的种植方案？请说明理由； （4）已知每盒“精品礼盒”的成本是售价的，每盒“家庭装”的成本是售价的，同时每天售出的“家庭装”的数量不少于“精品礼盒”的一半．作为市场销售部人员，请你分析分别售出“精品礼盒”和“家庭装”多少盒时，才能使售完60盒草莓的总利润最大？最大利润是多少元？ 23. 【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 （1）如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 （2）如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $