第六章平面向量及其应用章末总结课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 章末总结 1 体系构建 题型整合 2 体系构建 3 相等 相同 相同或相反 平行四边形法则 高 中 同 步 课 堂 学 案 4 高 中 同 步 课 堂 学 案 5 高 中 同 步 课 堂 学 案 6 高 中 同 步 课 堂 学 案 7 题型整合 8 题型一 向量的线性运算 例1（1）已知六边形为正六边形，设， ，则下 列结论错误的是( ) A A. B. C. D. [解析] 如下图所示： 由正六边的几何性质可得 ， 所以 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 9 又 ， 所以， ， 对于A选项， ，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项， ，C对； 对于D选项， ，D对. 高 中 同 步 课 堂 学 案 10 （2）（2024全国甲卷（理），9，5分）设向量 , ,则( ) C A. 是 的必要条件 B. 是 的必要条件 C. 是 的充分条件 D. 是 的充分条件 高 中 同 步 课 堂 学 案 11 [解析] 或 . 对于A，是或 的充分条件， 不正确， 对于C，是或 的充分条件， 正确. 或 . 对于B，是或的充分条件， 不正确， 对于D，是或 的既不充分也不必要 条件， 不正确.故选C. 高 中 同 步 课 堂 学 案 12 迁移应用1 多选题 在平行四边形中，若， ， 则( ) ACD A. B. C. D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 13 [解析] 如图，在平行四边形中， ， ，即，分别为， 的中点，故 ，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确.故选 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 14 题型二 向量的数量积 例2（1）（2024新课标Ⅰ卷，3，5分）已知向量, ,若 ,则 ( ) D A. B. C. 1 D. 2 [解析] 因为，所以 ，则 ，即 ，解得 ，故选D. 高 中 同 步 课 堂 学 案 15 （2）（2024新课标Ⅱ卷，3，5分）已知向量,满足 ， ,且，则 ( ) B A. B. C. D. 1 [解析] ， ， 即 .① ， ， ，即 . 代入①得 ， 又， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 16 迁移应用2 （2025湖南长沙长郡中学期中）如图，已知 是边长 为2的等边三角形，是的中点，是边上靠近点 的三等分点， 连接并延长至点，连接交于点 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 17 （1）若，求 的值； [解析] 因为 ， 所以 ， 所以 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 18 （2）若，求 的值. [解析] 过点作交于点 ， 设 ， 则 ， 所以 高 中 同 步 课 堂 学 案 19 ， 解得 ， 所以， . 因为，所以，所以 ， 又， ， 所以 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 解得 ， 则 ， 所以 ， 所以 ， 故 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 题型三 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例3 多选题 在中，角，，所对的边分别是，， ，且 ，则下列说法中正确的有( ) BC A. B. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若，则面积的最大值为 高 中 同 步 课 堂 学 案 22 [解析] 对于A，因为 ， 所以由正弦定理可得 ， 因为，所以，故，解得 ，故A错误； 对于B，因为，且为锐角三角形，所以 解得 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 23 由正弦定理可得 ， 因为，所以，则 ， 所以 ，故B正确； 对于C，因为 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 结合余弦定理 ，得 ， 又，所以 ， 由正弦定理可得 ， 因为 为锐角三角形， 高 中 同 步 课 堂 学 案 所以则 ， 又 ， 所以 ， 因为正弦函数在上单调递增，所以 ，则 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 所以解得 ，故C正确； 对于D，若 ，由余弦定理可得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立， 所以，故面积的最大值为 ，D 错误.故选 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 例4 （2023新课标Ⅱ卷，17，10分）记的内角，， 的对边分 别为，，，已知面积为，为的中点，且 . （1）若，求 ; [解析] 由已知得 ，又 为 的中点， ， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 28 在 中，由余弦定理，得 ， . 由正弦定理，得，即， . 在中，， ， ， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 29 （2）若，求， . [解析] 解法一：由题知 ， . 为的中点， . ， ， ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 30 又， . 由①②得 . 又， ， ，联立，解得 . 解法二：由题知 ， . 在， 中， 高 中 同 步 课 堂 学 案 有 ， ， ， ， ， 又， ， ， 解得 （负值舍去）， 高 中 同 步 课 堂 学 案 . 在 中，由余弦定理得 ， . 得 ， 又， ， ，联立，解得 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 解题感悟 1.解三角形中的最值或范围问题时，一般的解决思路： （1）利用余弦定理和基本不等式构造不等关系求出答案. （2）利用正弦定理化边为角，利用三角函数的范围求出最值或范围， 如果三角形为锐角三角形或已知中有其他限制条件，那么通常采用这 种方法. （3）巧妙利用三角换元，实现化边为角，进而转化为正弦或余弦函数 求出最值. 高 中 同 步 课 堂 学 案 34 2.在由多个三角形组成的几何图形或可以分成多个三角形的几何图形中, 可以根据题目条件在不同的三角形中使用正弦、余弦定理,要注意公共角 或公共边的重复使用以及互为补角的两个角的正弦、余弦之间的关系. 高 中 同 步 课 堂 学 案 35 迁移应用3 （2024新课标Ⅰ卷，15,13分）记的内角，， 的对 边分别为,，.已知， . （1）求 ; [解析] 易知 ， 又，所以 ， 又因为 ， 所以，所以 ， 又因为，所以 ， 又因为，所以 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 36 （2）若的面积为，求 . [解析] 在中， ，所以结合（1）可得 . 解法一：由正弦定理得， ， 所以 的面积 ，解得 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 37 解法二：由正弦定理可得 ， 设，，其中 ， 则的面积 ，解 得（舍负），故 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 38 迁移应用4 （2025山西山大附中期中）在面积为的 中，内角 ，，所对的边分别为，，，且 . （1）若，试判断 的形状，并说明理由； [解析] 是直角三角形，理由如下： 因为 ， 所以 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 39 因为，所以 ， 所以 ， 由余弦定理的推论可得 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ， 又，即 ， 所以， ， 所以 为直角三角形. 高 中 同 步 课 堂 学 案 40 （2）若，则的面积为，求， 的值； [解析] 因为， ， 所以，解得 ， 由余弦定理可得 ， 即，可得 ， 所以 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 41 （3）若为锐角三角形，求 的取值范围. [解析] . 因为 ，且三角形是锐角三角形， 高 中 同 步 课 堂 学 案 42 所以解得 ， 则 ， 可得 ， 则 ， 所以的取值范围为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 43 题型四 正弦定理、余弦定理的实际应用 例5（1）位于灯塔的正西方向相距的 处的甲船需要海 上加油，位于灯塔的北偏东 方向有一与灯塔相距 的乙 船（在处），则乙船前往处支援甲船需要航行___ ，方向为 ___________. 2 南偏西 高 中 同 步 课 堂 学 案 44 [解析] 根据题意，画出示意图， 由余弦定理得 所以，由正弦定理得 ，所 以 ， 所以 ， 故乙船需要航行，方向为南偏西 . ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 45 （2）如图，，，， 都在同一个与水平面 垂直的平面内，， 为两岛上的两座灯塔的塔 顶.测量船于水面处测得点和 点的仰角分别 为 ， ，于水面处测得点和 点的仰角 均为 ，，则， 间的距离为 _ ______ . 高 中 同 步 课 堂 学 案 46 [解析] 在中， ， ，则 ， ， ， 在中， ， ，则 ， 而 ， 由正弦定理得 ， 在中， ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 47 由余弦定理得 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 迁移应用5 如图所示，经过村庄有两条夹角为的公路, ，根据 规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 ，分别在两条公路边上建两 个仓库,异于村庄，要求 （单位：千米）， 设 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 49 （1）用 表示 的长； [解析] 在中，，且 ，所以 ，， ， 由正弦定理可得 ， 所以 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 50 （2） 为何值时，工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄 的距离最远）? [解析] 在中， ， 由余弦定理得 高 中 同 步 课 堂 学 案 51 ，又 ， 所以 ， 所以当且仅当，即时，取得最大值12，即 的 最大值为 ， 故 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小. 高 中 同 步 课 堂 学 案 52 $