精品解析：广西南宁市广西大学附属中学2026届高三下学期五月仿真模拟考试数学试题

2026年高考·五月全真模拟考 数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 设为等比数列的前n项和，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 15 5. 小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水.若小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为，底部边长为，高为，厚度忽略不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年江苏省城市足球联赛火爆出圈，赛场热度赶超职业赛事，城市玩梗引爆网络话题.其中南通队在常规赛中取得10胜2平的战绩，其12场每场进球数分别为则关于样本中进球数的数字特征说法正确的是（ ） A. 平均数是3 B. 中位数是2.5 C. 众数是2 D. 方差是1 10. 如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，，，E为的中点，M为的中点，则（ ） A. 平面 B. 圆柱的侧面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 圆柱的外接球的表面积为 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 时，函数在上单调递增 B. 对任意的实数a，b，既没有最大值，也没有最小值 C. 的图象为中心对称图形，且对称中心为 D. 若有两个不同的极值点，则a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知非零向量，满足，，则与的夹角为______． 13. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． 14. 设为实数，为不超过实数的最大整数，记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，．当时，对任意的自然数都有，则实数的值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且. （1）求角； （2）已知，求的取值范围. 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 17. 已知椭圆C：（）离心率等于且椭圆C经过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探究：的面积是否为定值，并说明理由． 18. 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， （1）若，求； （2）求的概率分布列和数学期望； （3）证明：当且仅当时，. 19. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数k的最大值； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考·五月全真模拟考 数学试题 （考试时间120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集的运算即可求解. 【详解】由题意得. 2. 复数z满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 所以. 3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式可求投影向量. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为， 故选：A. 4. 设为等比数列的前n项和，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，此时，不符合题意； 当时，由题意得，则， 所以，解得， 所以，， 所以. 5. 小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水.若小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为，底部边长为，高为，厚度忽略不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱台的体积求出水杯的体积，即可得解. 【详解】因为正四棱台的上口边长为，底部边长为，高为， 所以水杯的体积为， 因为，所以小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是7. 故选：C 6. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知向左移动3次，向右移动2次，结合独立充分性实验的概率公式运算求解. 【详解】若移动5次质点位于的位置，则向左移动3次，向右移动2次， 所以质点位于的位置的概率为. 故选：B. 7. 若函数为奇函数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数性质建立关于方程求解. 【详解】由可得， ， 若为奇函数，则有， 即，整理得， 则，解得， 当时，，令，解得或， 此时定义域为关于原点对称， 符合为奇函数，故符合题意． 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线定义可得  三点共线，结合面积关系判定为等边三角形，再利用余弦定理求解离心率. 【详解】如图，，根据双曲线的定义，得，因为 ，所以，故 三点共线. 因为，所以，所以， 又，所以是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理得， 整理得，故离心率 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年江苏省城市足球联赛火爆出圈，赛场热度赶超职业赛事，城市玩梗引爆网络话题.其中南通队在常规赛中取得10胜2平的战绩，其12场每场进球数分别为则关于样本中进球数的数字特征说法正确的是（ ） A. 平均数是3 B. 中位数是2.5 C. 众数是2 D. 方差是1 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平均数、中位数、众数、方差的计算公式求解即可. 【详解】将12场每场进球数进行排序：， 所以平均数为：，故A正确； 中位数为：，故B不正确； 众数为：，故C正确； 方差为，故D正确. 故选：ACD 10. 如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，，，E为的中点，M为的中点，则（ ） A. 平面 B. 圆柱的侧面积为 C. 三棱锥的体积为 D. 圆柱的外接球的表面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，根据线面平行的判定定理在平面中找到一条直线与平行即可判断线面平行；B选项，求侧面积利用侧面积公式计算即可；C选项，利用换底的方式转化为已知底与已知高计算体积即可；D选项，圆柱外接球的球心必然在圆柱上下圆心连线的中点上，通过构造直角三角形计算球半径即可计算表面积． 【详解】 A选项，取的中点，连接， 因为M为的中点，则，且； 又因为且； 则且，故为平行四边形， 故，因为平面，平面， 故平面，故A正确； B选项，因为，， 故，故B错误； C选项，由，因为， 故，故C错误； 圆柱外接球的球心为的中点，则球半径为, 在直角三角形中，，， 则， 故球的表面积为，故D正确． 11. 已知函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 时，函数在上单调递增 B. 对任意的实数a，b，既没有最大值，也没有最小值 C. 的图象为中心对称图形，且对称中心为 D. 若有两个不同的极值点，则a的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数分析的单调性，判断A；当时，根据的单调性，判断最值，当时，根据及的取值情况分析的值域可判断B；求出的对称中心，判断C；由导数易知，当时，函数无极值点，当时，由有两个不同的极值点，得有两个不同实根，分离参数，并构造函数， 根据函数的奇偶性，并由解析式直接判断的单调性，可得其值域，从而求得的取值范围. 【详解】函数的定义域为，. 选项A：当时，，，所以， 所以函数在上单调递增，所以A正确； 选项B：当时，恒成立，函数在上单调递增， 所以既没有最大值，也没有最小值； 当时，，， 所以，所以既没有最大值，也没有最小值. 所以B正确； 选项C：因为 ， 所以关于对称，所以C错误； 选项D：因， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值点； 当时，若有两个不同的极值点，则有两个不同的实根； 令，得. 当时，方程不成立，所以不是方程的根； 所以当时，有两个不等实根. 令， 则，且， 所以是偶函数. 当时，，且函数单调递增；单调递增，由复合函数的性质可得单调递增， 则，且单调递增，则，且单调递增； 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以，解得,所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知非零向量，满足，，则与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【详解】设向量与的夹角为，其中， 则， 所以. 13. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________． 【答案】4 【解析】 【详解】 已知抛物线的准线为，则的方程为：， 已知点在上，则， 以为圆心的圆与相切，设圆的半径为，则， 又圆与相切且截轴所得的弦长为， ，解得，即， ，解得． 14. 设为实数，为不超过实数的最大整数，记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，．当时，对任意的自然数都有，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，且对任意的自然数都有，，，，整理得：，又因为的取值范围为，. 考点：1、数列的递推公式；2、对新概念的理解与运用． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且. （1）求角； （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理角化边，再利用余弦定理公式可得答案； （2）利用正弦定理将转化为，然后利用三角恒等变换的公式将表示成三角函数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围. 【小问1详解】 因为，所以， 即，即， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，又， 由正弦定理， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以的取值范围是. 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：取AD中点M，连PM，CM，，，ABCM为平行四边形， 所以，因为，所以，又，所以， 又，平面PCM， 所以平面PCM，又平面PCM， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件线面垂直的判定定理可得平面PCM，进而即得； （2）取MC中点建系，用空间向量法求两法向量，通过法向量夹角计算公式算二面角余弦值，进而计算正弦值 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取MC中点O，连PO，取AB中点N，连ON，因为，M为AD中点，所以，由(1)可知，所以， 又因为，所以，，， 因为平面PCM，所以，又因为平面，所以平面. 以O为坐标原点，建系如图， 则，，，， ，，， 设平面PAC的一个法向量为， 则， 令，则，，， 设平面PCD的一个法向量为， 则，令，则，， ， 设二面角的大小为，则 ， ， 所以二面角的正弦值为． 17. 已知椭圆C：（）离心率等于且椭圆C经过点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探究：的面积是否为定值，并说明理由． 【答案】（1） （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）联立直线与椭圆的方程，根据斜率之积得出，再利用化简即可. 【小问1详解】 由题意得，， 得， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 联立，得， 设，则， ， 则 ， 得， 则的面积 ， 即的面积为定值. 18. 某次考试的多项选择题，每题4个选项中正确选项有2个或3个，得分规则如下：若正确选项有2个，只选1个且为正确选项得3分，2个且都为正确选项得6分，否则得0分；若正确选项有3个，只选1个且为正确选项得2分，选2个且都为正确选项得4分，选3个且都为正确选项得6分，否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全不会，该题恰有2个正确选项的概率为（），记为甲随机选择1个选项的得分，为甲随机选择2个选项的得分， （1）若，求； （2）求的概率分布列和数学期望； （3）证明：当且仅当时，. 【答案】（1） （2） （3） 由题知，可能的取值为， ， ， 故， ， 故当且仅当时， 【解析】 【分析】（1）得2分以上可能是随机选一个选项时，当为三个正确选项时选对1个，或者两个正确选项时选对1个，由互斥事件的加法公式得解； （2）可能的取值为，得0分为三个正确选项或两个正确选项的均选到错误选项，得2分只可能是三个正确选项的选对1个，得3分为两个正确选项的选对一个，分别由互斥事件的加法公式求解； （3）可能的取值为，类似（2）的分析得出的期望，结合（2）中的作差比较，得出证明. 【小问1详解】 恰有2个正确选项的概率为，则恰有3个正确选项的概率为， 正确选项是2个时，随机选一个正确可得3分，概率为； 正确选项是3个时，随机选一个正确可得2分，概率为， 因此 【小问2详解】 由题知，可能的取值为， ， ， ， 分布列为： 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数k的最大值； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）（ⅰ）3；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，确定单调区间，进而求出极值. （2）（ⅰ）利用（1）中单调区间，按分类，借助单调性求出最小值，再构造函数，结合零点存在性定理求解；（ⅱ）由（ⅰ）的信息，结合赋值法、裂项相消法求和即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得，而， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，当时，函数在上单调递增，，因此； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，令函数，求导得， 函数在上单调递减，而， 则存在，，即， 因此当时，， 所以正整数k的最大值为3. （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，恒成立， 即对恒成立，取， 则， 因此 ， 即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $