精品解析：浙江省天域全国名校协作体2026届高三下学期考前学科练习数学试题

绝密★考试结束前 浙江省天域全国名校协作体2026届高三下学期考前学科练习数学试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， 则（ ） A. B. C. D. 2. 复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，独立，则 C. 若，互斥，则 D. 若，独立，则 5. 若函数是奇函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 6. 古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中 是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 7. 已知 中，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 8. 设，从所有函数中随机选取一个，则满足为定值的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知正四棱台中，，则下述正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. C. 该四棱台的表面积为 D. 该四棱台外接球的表面积为 10. 设 为坐标原点，抛物线的焦点为 ，过 的直线交于 两点，在第一象限，过 作直线 的垂线，垂足分别为，则（） A. B. 若，则 C. 若，则直线 的斜率为 D. 的面积最小值为 11. 在 中，角，，所对的边分别为 ， ， ，下列说法正确的有（ ） A. 若 为锐角三角形，则 B. 若 为钝角三角形，则 C. 存在 ，满足且 D. 若，则 ， ， 成等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天体育锻炼时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天体育锻炼时间均值为2.5小时，方差为1，女生每天体育锻炼时间均值为1小时，方差为2.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________. 14. 已知正四面体的棱长为1，在 的内切圆上有一动点 ，的内切圆上有一动点，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，. （1）求和. （2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关， 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 未建立 合计 参考公式及数据：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 在 中，角，，的对边分别为 ， ， ，已知. （1）求角的取值范围； （2）若，求的值. 17. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式，并求使的最大正整数； （2）设，为数列的前项和. （i）求； （ii）若对任意正整数，恒成立，求实数 的最小值. 18. 已知函数（为自然对数的底数，） （1）求在 处的切线方程； （2）求的最小值； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数 的取值范围.（表示不超过实数 的最大整数） 19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为 ，左右顶点分别为，，且，点在第二象限. （1）求椭圆 的方程； （2）当 在 上时，直线与圆交于点，（点在第一象限），求与的面积之比的取值范围； （3）当时，过点 的直线交 于点， （点在第二象限，点 的纵坐标小于0），直线与 交于点，求直线与直线斜率之差的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★考试结束前 浙江省天域全国名校协作体2026届高三下学期考前学科练习数学试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集运算求解即可； 【详解】因为，所以． 故选：C. 2. 复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，所以，，故D正确. 3. 已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，，是两个单位向量， 所以， 所以， 又，所以 4. 已知 ，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若 ，独立，则 C. 若 ，互斥，则 D. 若 ，独立，则 【答案】D 【解析】 【详解】A选项：若，则，因此，A正确. B选项：若 ，为独立事件，根据独立事件的乘法公式，交事件的概率 ，B正确. C选项：若 ，互斥，说明，根据概率的加法公式，，C正确. D选项：若 ，独立，根据概率的加法公式，.因为，D错误. 5. 若函数是奇函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数中得出，再代入结合特殊角三角函数值求解. 【详解】由，即，得， 所以，则． 故选：D. 6. 古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间 （单位：年）的变化规律满足，其中 是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，，得， 两边同时取对数得，，解得，则， 令，得，两边同时取对数得，， 所以. 7. 已知 中，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形内角和转化，设元后用万能公式统一表示，通过代数化简消去参数，快速得到比值2. 【详解】设， ； 因为，所以， 又，所以, 则， 所以 8. 设，从所有函数中随机选取一个，则满足为定值的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分层建模，把复杂的迭代关系转化为“直接层-中间层-外层”的嵌套映射，再用组合数和幂次计算每层映射数，最后化简求结果. 【详解】计算总函数个数：； ①若为常函数，若，则， 同时，矛盾，故必须； 此时对所有成立，显然为定值， 有6种选择，故为常函数时，有6个函数符合题意； ②若不为常函数，设( 为定值，)，先固定 计算满足条件的组合数， 对固定 ，设，令(，因为，所以)， :，只有 映射到 ，其余元素映射到空集，不存在这样的映射； :，，，其余4个元素映射到，组合数为， 有6种选择，共个； :，其余3个元素映射到，组合数为， 有6种选择，共个； :，其余2个元素映射到，组合数为， 有6种选择，共个； :，其余1个元素映射到，组合数为， 有6种选择，共个； :，所有元素映射到 ，即，与为常函数重复，不计数； 则概率. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知正四棱台中，，则下述正确的是（ ） A. 该四棱台的高为 B. C. 该四棱台的表面积为 D. 该四棱台外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出图形，连接交于点 ，连接交于点，连接，结合图形分析得出为四棱台的高，然后过点作交 于 ，通过已知条件结合勾股定理计算即可得出选项A，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断B，结合题意计算四棱台上下底面面积和侧面积即可得出选项C，设出球的方程，代入坐标解方程可得球的半径，再利用球的表面积公式判断D即可. 【详解】对于A，如图，连接交于点 ，连接交于点，连接， 则在正四棱台中有， 可得平面 ，故为四棱台的高， 由平面 ，所以， 过点作交 于 ，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 在正四棱台中，由， 所以，则， 则， 在直角三角形中，， 得到四棱台的高为，故A正确； 对于B，如图，以 为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 而，得到不成立，故B错误， 对于C，由题意得该四棱台的表面积拆分如下， ①正四棱台的上下两个正方形的面积： 设上下两个面的面积分别为，则， ②正四棱台的侧面积，在等腰梯形中，如图所示： 过分别作垂直于 交 于点， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 则， 所以等腰梯形的面积如下， 为， 所以正四棱台的侧面积为， 得到四棱台的表面积为，故C正确， 对于D，设外接球的方程， 将代入方程，得到， 将代入方程，得到， 两式相减得，解得， 此时变为， 将代入方程，得到， 两式相减可得，解得， 此时变为， 将代入方程，得到， 两式相减得，解得，则， 由球的表面积公式得表面积为，故D正确. 故选：ACD 10. 设 为坐标原点，抛物线的焦点为 ，过 的直线交于 两点， 在第一象限，过 作直线 的垂线，垂足分别为，则（） A. B. 若，则 C. 若，则直线 的斜率为 D. 的面积最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理、抛物线定义及代数运算，逐一验证各选项的正确性，即可得出结果. 【详解】设直线 的方程为，与抛物线联立：， ，设，， 由韦达定理得，. 因为是到准线 的垂足，所以. 向量，. 对于选项A，因为，且， 所以，所以，故A正确. 对于选项B：是 到准线 的垂足，所以，，. 若，则有 所以， 又因为，代入上式可得：，解得：，则. 因此点坐标为，所以，B正确. 对于选项C： 由得：，即：， 联立：，消 可得：则， 所以，即，代入化简可得：即 解得（均舍去），即. 直线 过焦点，所以，因此C错误. 对于选项D：，， 所以 由得，又，， 所以，则，所以 将和代入面积公式： 令，则，代入得： 令，解得（舍去），即. 此时，，所以 因此，的面积最小值为，D正确. 故选：ABD 11. 在 中，角 ，，所对的边分别为 ， ， ，下列说法正确的有（ ） A. 若 为锐角三角形，则 B. 若 为钝角三角形，则 C. 存在 ，满足且 D. 若，则 ， ， 成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，锐角三角形中，利用可直接推得； B选项，钝角三角形中钝角余弦值为负，结合恒等式，可知整体大于小于2； C选项，由得则，平方后，再由得矛盾； D选项，用和差化积与可推导出，由正弦定理得，即成等差数列. 【详解】A选项：因为 为锐角三角形，所以，即. 由于 ，均为锐角，正弦函数在上单调递增，所以. 同理可得，. 将两不等式相加，得到，故A选项正确. B选项：运用降幂公式和和差化积公式化简： 因为 为钝角三角形，所以三个角中必定有且只有一个钝角，另外两个为锐角.因此 从而推导出，即，故 选项正确. C选项：假设存在，则，熟知，则，，则，矛盾，C错误； D选项：由，得，故. 代入已知条件： 又，代入得： 因，故，则：， 两边同乘，得， 由正弦定理可得，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】36 【解析】 【详解】由于，则，， ，， 13. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天体育锻炼时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天体育锻炼时间均值为2.5小时，方差为1，女生每天体育锻炼时间均值为1小时，方差为2.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________. 【答案】2.14 【解析】 【详解】由题意，总体的均值为， 根据分层抽样的性质，则总体的方差为 . 14. 已知正四面体的棱长为1，在 的内切圆上有一动点，的内切圆上有一动点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】 如图将正四面体补成长方体，，在正方体的内切球上，此时距离最大值为球的直径，当为的中点，当为中点时取到，即 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且，，. （1）求和. （2）若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关， 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 未建立 合计 参考公式及数据：，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）， （2）列联表： 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 20 4 24 未建立 4 8 12 合计 24 12 36 有关； 【解析】 【分析】（1）根据条件概率计算出结果；（2）利用独立性检验步骤进行计算得出结果； 【小问1详解】 因为，， 所以，， 由于，解得，所以. ，解得. 【小问2详解】 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 建立 20 4 24 未建立 4 8 12 合计 24 12 36 零假设为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关. 根据列联表中的数据，经计算得到. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关， 此推断犯错误的概率不大于0.005. 16. 在 中，角 ，，的对边分别为 ， ， ，已知. （1）求角的取值范围； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理化角为边，再结合余弦定理+基本不等式，由 及题设确定角取值范围 （2）利用和差化积将转化为，再进行换元，结合已知条件进行三角恒等变换与二倍角公式求解 【小问1详解】 由正弦定理可知 则 ，又因为为三角形内角，所以， 故 ，综上 ，所以； 【小问2详解】 由题可得 ， 则， 由 可得， 令，则， 所以，所以 因为，所以 ， 所以 17. 已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式，并求使的最大正整数； （2）设，为数列的前项和. （i）求； （ii）若对任意正整数，恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）， （2）（i）；（ii）27 【解析】 【17题详解】 由得：当时，； 当时，. 验证也满足，故通项公式为，. 解不等式，即，得， 所以满足条件的正整数，2，3，4，其中最大的 【18题详解】 （i）由得：，，，，，则 . （ii）由知递增， 当 时，，有. 求和：. 再加上前4项的和，可得当时，有， 因此对所有 ，有，且， 条件对任意正整数 恒成立，等价于， 故满足条件的最小值为27 18. 已知函数（为自然对数的底数，） （1）求在 处的切线方程； （2）求的最小值； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.（表示不超过实数 的最大整数） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导求切点坐标，进而得到函数在该点的切线； （2）求导分析函数单调性，得到函数最小值； （3）针对取整函数分段讨论，利用各区间内的最小值，将恒成立问题转化为求的上界. 【小问1详解】 ， ， 在 处的切线方程是. 【小问2详解】 由（1）知， ， 则在上，，单减；在上，，单增； . 【小问3详解】 当，，而，此时恒成立； 当， 时，而，，此时不成立； 当，时，，此时恒成立 ； 时，，此时恒成立. 下证：时，恒成立. 令， ， 所以在上单调递增， ， 因为 所以，即， 综上. 19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为 ，左右顶点分别为 ，，且，点在第二象限. （1）求椭圆 的方程； （2）当在 上时，直线与圆交于点，（点在第一象限），求与的面积之比的取值范围； （3）当时，过点的直线交 于点， （点在第二象限，点 的纵坐标小于0），直线与交于点，求直线与直线斜率之差的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆性质求出即可得椭圆方程； （2）先证明三点共线，将面积比转化为线段比，再利用椭圆上点到焦点的距离范围，求出比值范围； （3）通过联立直线与椭圆，利用韦达定理证明三点共线，再由椭圆第三定义得，最后用均值不等式求最小值. 【小问1详解】 由题意，得，即, 椭圆的方程为; 【小问2详解】 由已知可知，直线. 设直线与直线的交点为， 由得， 将代入得，， 因为， 则， 即在上，又、均在第一象限，所以、、 三点共线， 设面积比，因为、、 三点共线， 所以， 因为，所以. 【小问3详解】 延长与椭圆交于点， 设，，， 由椭圆中心对称性可知，直线与椭圆另一交点，则， 联立直线与，解得, ， 即，所以在直线上，即， 所以 ， ，三点共线， 由椭圆第三定义知， 从而， 当且仅当取等号， 所以直线与直线斜率之差的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $