河北昌黎第一中学2025-2026学年高三下学期考前模拟数学试卷

**基本信息** 立足高三数学模拟，融合科技前沿（如三进制编码与量子计算）与现实应用（如镜面反射测高），通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数学建模等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、集合、抛物线、数列、曲线交点|第6题镜面反射测高（数学眼光观察现实），第11题三进制编码（科技情境）| |填空题|3题15分|椭圆周长、分层抽样方差、正四棱锥内切球|第14题球序列相切（空间观念与创新意识）| |解答题|5题77分|三角函数、独立性检验、圆台证明、函数极值、双曲线折叠|16题工艺质量关联（数据分析），19题双曲线折叠（空间想象与综合应用）|

河北昌黎第一中学2025-2026学年高三年级第四次模拟考试 数学答案 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟。 2.阅卷老师应严格按照此答案进行阅卷，必要时可增加答案要点，但应该提前与阅卷组组长沟通并通知阅卷组。 3.请各位考生按照答案中评分标准认真核对。 4.阅卷结束后，阅卷老师请与阅卷公司核对阅卷结果是否已经上传，无误之后即可结束阅卷。 1.C 2.D 3.C 4.C 5.A 6.A 7.B 8.D 9.BCD 10.AD 11.AD 12.20 13.1.45 14.36π（1/9）n 15. 【解】（1） 第一步：由 求出 ，得到 的表达式 因为 ，，所以 ， 由于 ，则 ，即 。 … 2分 第二步：由 在 上有最大值，且无最小值得到 的范围 又因为 在 上有最大值，且无最小值， 结合 可知 ，则 ， 根据正弦函数的图象可知 （易错：注意等号的位置）， … 5分 第三步：求出 的取值范围 解得 ，故 的取值范围为 。 … 6分 （2） 第一步：由条件结合 （1） 得 的值，进而得到 的解析式 由 结合 （1） 可知 ，则 ， … 7分 第二步：化简得到 的解析式 所以 。 … 11分 第三步：求 图象的对称中心 令 ，，解得 ，， 则函数 图象的对称中心为 ，。 … 13分 16. 【解】（1） 第一步：提出零假设，根据公式求 χ² 零假设 H₀：该产品的质量与采用的工艺无关， χ² = [150×（60×30-40×20）²] / [100×50×80×70] ≈ 5.357 > 3.841。 ……… 5分 第二步：得出结论 根据小概率值 α=0.05 的独立性检验，我们推断 H₀ 不成立，即认为该产品的质量与采用的工艺有关。 ……… 6分 （2） 第一步：设出相关事件 记事件 A="这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的"，事件 B="这3件样本产品中恰有1件是采用工艺乙生产的"。 ……… 8分 解法一（古典概型）：第二步：求 P（BA） 所以 n（AB）=C₂₀²C₃₀¹，n（A）=C₅₀³-C₃₀³，………… 13分 所以 P（BA） = n（AB）/n（A） = [C₂₀²C₃₀¹] / [C₅₀³-C₃₀³] = 95/259。 所以所求概率为 95/259。 ……… 15分 解法二（条件概率公式）：第二步：计算 P（A） 事件 A 的对立事件为"抽取的3件样本产品全是采用工艺乙生产的"，则 P（A）=1-[C₃₀³/C₅₀³]=1-29/140=111/140。 …… 10分 第三步：计算 P（AB） "这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的，并且恰有1件是采用工艺乙生产的"等价于"这3件样本产品中有2件是采用工艺甲生产的，1件是采用工艺乙生产的"，所以 P（AB）=[C₂₀²C₃₀¹]/C₅₀³=57/196。 ……… 13分 第四步：计算 P（BA） 所以 P（BA） = P（AB）/P（A） = [57/196] / [111/140] = 95/259。 所以所求概率为 95/259。 ……… 15分 17. （1）【证明】解法一：第一步：根据圆台的结构特征得平面 平面 连接 ，如图①所示，由题可知，平面 平面 ， ……………………………………………………………………………… 2分 第二步：根据面面平行的性质定理得线线平行 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 。 ………………………………………………………… 4分 解法二：利用向量共线证线线平行 由题知，，， 所以 ， 所以 。 ……………………………………………… 2分 又直线 无公共点，所以 。 ……………………… 4分 （2）【解】第一步：证明直线 两两垂直 连接 ，由 （1） 解法一同理得 ，由 ，得 ，则 ， 因此 ，易知 ，则直线 两两垂直。 …………………………………………………………………………………… 5分 第二步：建立空间直角坐标系，写出相关点坐标 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，图略。 设 ， 则 。 ………………………………………… 7分 第三步：求平面 与平面 的法向量 ， 设平面 与平面 的法向量分别为 。 由 ，取 ，得 ， 由 ，取 ，得 。 …… 11分 第四步：根据二面角 的余弦值为 求出圆台的高 由二面角 的余弦值为 ， 得 ， 解得 （负值舍去），所以圆台的高 。 … 13分 第五步：求三棱锥 的外接球的半径 解法一：设三棱锥 的外接球球心为 ，可知 在直线 上， 设 ，又 ，所以 ， 由 ，得 ，解得 ， 所以三棱锥 的外接球的半径 。…………… 15分 18. （1）【解】第一步：求导函数 函数 的定义域为 ， 。 …………………………………………………… 1分 第二步：判断导函数的正负，从而得到 的单调性 因为方程 的判别式 ，且二次函数 的图象开口向上，所以 恒成立， ………………………………………………………………………………………… 3分 所以 在 上单调递增。 ……………………………………………… 4分 （2）（i）【证明】第一步：求 ，令 ，求 ，（提示：观察发现导函数的符号不易判断，故需再次求导）， 令 ，则 。 …………………………………………………………………………………………… 6分 第二步：判断 的符号，确定 的单调性 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 在 上单调递增。 ……………………………………………… 7分 第三步：由零点存在定理得出结论 又 ，， 所以 在 上存在唯一的变号零点， 所以 在 上有唯一的极值点。 …………………………… 9分 （ii）【解】第一步：分析 的单调性，得到 的大小关系 由 （i） 可知， 在 上有唯一的极值点 ，则 ， 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增。 又 ，所以 ，而 ， 所以 在 上没有零点，在 上存在唯一零点 ，所以 。 …………………………………………………………………………………… 12分 第二步：由零点和极值点得到 因为 ，，， 所以 。 …………………………… 13分 第三步：构造函数 ，求导分析 的单调性，得 令 ，， 则 ， 所以 在 上单调递增，则 ，所以 。 ………………………………………………………………………………………… 15分 第四步：根据 在 上的单调性得出结论 又 ，，且当 时， 单调递增， 所以 。 …………………………………………………………………………………… 17分 19. 【解】（1） 第一步：由双曲线离心率为 ，结合 ，得 因为双曲线 的离心率为 ， 所以 ，所以 ，又因为 ，所以 。………… 2分 第二步：由焦点 到渐近线的距离为 1，得 ，进而求出 因为右焦点 到渐近线的距离为 1，渐近线的方程为 ， 所以 ，所以 。 ………………………… 4分 第三步：写出双曲线 的标准方程 所以双曲线 的标准方程为 。 …………………………… 5分 （2）（i） 第一步：折叠前，联立直线 与双曲线 的方程得 两点的坐标，求 折叠前（如图①），可知左焦点 ，又 ，所以直线 的方程为 ，将其与双曲线方程 联立，消去 整理可得 。 设 ， 则 ， 分别代入 ，可得 ， 所以 ， 所以 等于弦 的长度，则 。 …………………………………………………………… 7分 第二步：折叠后，建立空间直角坐标系，确定 两点的坐标 折叠后，因为 ，所以平面 平面 ，易得 轴正半轴垂直于平面 ，进而可得 轴正半轴垂直于 轴负半轴。 以射线 的方向为 轴正方向，原 轴负方向为 轴正方向，原 轴正方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图②所示，则 （提示：注意折叠前和折叠后点 坐标的区别）， ………………………………………………………………………………………… 8分 第三步：求出 ，进而求出折叠后 的值 则 。 所以当 时，。 ………………………………………………………………………………………… 10分 （ii） 第一步：折叠前，设出直线 的方程并与双曲线 的标准方程联立，得到根与系数的关系 折叠前，设直线 的方程为 ， 联立 ，消去 整理得 ， 因为直线 与双曲线 的左支交于 两点（其中点 在 轴上方）， 所以 ， 由根与系数的关系可知 ，所以 。 …………………………………………………………………………………… 13分 第二步：折叠后，建立空间直角坐标系，确定 两点的坐标，表示出 折叠后（如图③），以射线 的方向为 轴正方向，原 轴负方向为 轴正方向，过原点 作垂直于平面 的直线，取向上的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系。 因为 ，所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 。 …………………………………………………………………………… 15分 第三步：利用换元法求得线段 的长度的取值范围 设 ，则 ，且 ， 因为二次函数 图象的对称轴 ， 所以 在区间 上单调递减， 所以 ， 无最大值。 所以当 时，线段 的长度的取值范围是 。…………………………… 17分 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北昌黎第一中学2025-2026学年高三年级第四次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然.如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试上无效。 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2.设全集 ，集合 ，则 中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 3.抛物线 的焦点 到直线 的距离为（ ） A. B. C. D. 4.设 ，，，则 （ ） A. B. C. D. 5.已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.某课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度。步骤下： ①将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作。如图所示，前后两次人与镜子的距离分别 （），两次观测时镜子间的距离为 ，人的“眼高”为 ，则建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 7.已知曲线 与曲线 （）只有一个公共点，则 （ ） A. B. C. D. 8.质点 和 在以坐标原点 为圆心，半径为 的圆周上同时出发逆时针做匀速圆周运动， 的起点坐标为 ，角速度为 ， 的起点坐标为 ，角速度为 ，则质点 与 相遇点对应的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 10.已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A. B. 存在点 使 C. 构成的三角形面积最大值为 D. 若 恒成立，则 的取值范围为 11.在新一代量子计算与三值逻辑芯片研究中，三进制编码因信息密度更高、能耗更低成为前沿方向。任意自然数 可表示为三进制表达式 （），则 ，其中当 时，， 或 （），记 （）， 为整数 的三进制表达式中 的个数，则（ ） A. B. C. 对任意 ， D. 对任意 ， 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为 。 13.为调查某校学生每天学习的时间，现采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取高一学生 人，其每天学习时间的均值为 ，方差为 ，抽取高二学生 人，其每天学习时间的均值为 ，方差为 ，抽取高三学生 人，其每天学习时间的均值为 ，方差为 ，则估计该校学生每天学习时间的方差为 。 14.已知正四棱锥 的高为 ，侧面与底面所成的角为 ，球 与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球 ，使得球 （）与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球 与 外切，则球 的表面积为 。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分） 已知函数 ，若 ， 在 上有最大值，且无最小值。 （1）求 的值及 的取值范围； （2）若 ，求函数 图象的对称中心。 16.（15 分） 某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究该产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，随机抽查 件产品，得到的结果如下表所示。 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 （1）依据小概率值 的独立性检验，分析该产品的质量是否与采用的工艺有关； （2）在不合格的 件样本产品中任选 件，求在这 件样本产品中至少有 件是采用工艺甲生产的条件下，恰有 件是采用工艺乙生产的概率。 附：，。 17.（15 分） 如图，已知 均为圆台 的母线，四边形 为圆台的轴截面，且 ，。 （1）证明：； （2）已知二面角 的余弦值为 ，求三棱锥 的外接球的半径。 18.（17 分） 已知函数 。 （1）判断 的单调性。 （2）设 ，其中 。 （i）证明： 在 上有唯一的极值点； （ii）若 为 在 上的零点， 为 在 上的极值点，比较 与 的大小，并说明理由。 19.（17 分） 已知双曲线 （）的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，焦点 到渐近线的距离为 。经过点 且倾斜角为 的直线 与双曲线 的左支交于 两点（其中点 在 轴上方）。 （1）求双曲线 的标准方程。 （2）将平面 沿 轴折叠，记 轴正半轴和 轴所确定的半平面（半平面 ）与 轴负半轴和 轴所确定的半平面（半平面 ）所成的二面角为 。 （i）如图①，当 时，求折叠后 的值； （ii）如图②，当 时，求折叠后的线段 长度的取值范围。 2 学科网（北京）股份有限公司 $