第一章 第4课时 基本不等式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据高考考试要求梳理了基本不等式的推导过程和最值问题两大核心考点，对接高考评价体系分析了直接法、配凑法、常数代换法等四大考向的权重分布，归纳了教材改编题、多选辨析题等典型题型，构建了系统的备考知识网络。 课件的亮点在于“考向深研+真题实战+素养提升”的复习模式，如通过典例3“配凑法求最值”和典例4“常数代换法求最值”，培养学生的数学思维和运算能力，设置“易错提醒”专栏强调“一正二定三相等”条件。教师可借助随堂检测和课时作业精准把握学情，帮助学生熟练掌握解题技巧，高效备战高考。

第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 第4课时　基本不等式 [考试要求]　1．了解基本不等式的推导过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题． 第4课时　基本不等式 理法先行·题练固本 知识点1　基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当______ 时取等号． (3)其中______叫做正数a，b的算术平均数，______叫做正数a，b的几何平均数． a＝b 第4课时　基本不等式 3 知识点2　利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值_______． (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值________． 2 S2 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 [常用结论] 几个重要的不等式 当且仅当a＝b时等号成立． 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 1．(人教A版必修第一册P45探究改编)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> √ C　[∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>>∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a．故b>>>a．故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 2．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T5改编)若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为________． 9　[由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得ab－2－3≥0，解得≥3(≤－1舍去)， 即ab≥9．当且仅当a＝b＝3时取等号．] 9　 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 3．(苏教版必修第一册P58例2)设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，则y的最小值为________． 6　[因为x>－2，所以x＋2>0． 由基本不等式，得 x＋＝(x＋2)＋－2≥2－2＝6， 当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立． 因此，y的最小值为6．] 6 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 4．(多选)(北师大版必修第一册P30习题1－3A组T5改编)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A． B．≥2 C．≥2 D．a2＋b2≥8 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 AD　[对于A，C，因为a＞0，b＞0，所以a＋b＝4≥2，即≤2，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故0＜ab≤4，则，故A正确，C错误；对于B，代入a＝b＝2，＝＋1＝＜2，故B错误；对于D，a2＋b2≥＝8，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故D正确．] 考点深研·题型突破 考点一　基本不等式的理解及常见变形 [典例1]　(多选)下列说法不正确的是(　　) A．x＋的最小值是4 B．不等式ab≤与成立的条件是相同的 C．的最小值为2 D．存在a，使得a＋<2成立 √ √ √ 第4课时　基本不等式 11 ABC　[对于A，当x>0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)， 当x<0时，x＋＝－≤－2·＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故A错误； 对于B，ab≤恒成立，而成立的条件为a>0，b>0，故B错误； 对于C，y＝≥2，等号成立的条件是＝，即x2＋2＝1，显然不能取到，故C错误； 对于D，存在a＝－1，使得a＋<2成立，故D正确．] 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 易错提醒：使用基本不等式及其变形求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 【教用·通性通法】 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： (1)基本不等式成立的条件是a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，的等号成立，即＝⇒a＝b． 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 考点二　利用基本不等式求最值 考向1　直接法求最值 [典例2]　(2025·贺州期末)3|a|＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C． D．2 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 D　[由题意可得，|a|＞0， 则3|a|＋≥2＝2， 当且仅当3|a|＝，即|a|＝时取等号． 故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 考向2　配凑法求最值 [典例3]　(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x＞－3，则＋x的最小值是(　　) A．－1 B．1 C．4 D．7 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 A　[由x＞－3， 则＋x＝＋(x＋3)－3≥2－3＝－1， 当且仅当＝x＋3，即x＝－2时取等号． 故选A．] [母题探究] (变条件)本例中，若把“x＞－3”改为“x<－3”，求＋x的最大值． 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 [解]　由x<－3，知<0，－＞0， 则－＋[－(x＋3)]≥2＝2， 所以＋(x＋3)≤－2，当且仅当＝x＋3，即x＝－4时取等号． 故＋x＝＋(x＋3)－3≤－2－3＝－5， 所以＋x的最大值为－5． 考向3　常数代换法求最值 [典例4]　已知正数a，b满足＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 √ C　[8a＋b＝(8a＋b)＝＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 考向4　换元、消元法求最值 [典例5]　(1)(2025·南安市月考)已知x＞0，y＞0且xy＋2x＋y＝2，则2x＋y的最小值为(　　) A．2－4 B．4－4 C．2 D．4 (2)已知y＝(x＞1)，求y的最小值． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 (1)B　[因为x＞0，y＞0，且xy＋2x＋y＝2，所以y＝，其中0＜x＜1， 则2x＋y＝2x＋＝2(x＋1)＋－2＝2(x＋1)＋－4≥4－4， 当且仅当2(x＋1)＝，即x＝－1时取等号， 所以2x＋y的最小值为4－4． 故选B．] (2)[解]　设x－1＝t(t＞0)，∴x＝t＋1． ∴y＝＝＝t＋＋4≥2＋4＝2＋4． 当且仅当t＝，即t＝，x＝＋1时，y取得最小值2＋4． 易错提醒：(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误． (2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值． 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 【教用·通性通法】 (1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式． (2)常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值． (3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值． 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 微点突破2　基本不等式链 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 [典例6]　(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．有最大值 B．有最小值3 C．a2＋b2有最小值 D．有最大值 √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 ACD　[对于A，由基本不等式可得＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，A正确；对于B，由＝＝，得，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时等号成立，B错误；对于C，由＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，C正确；对于D，由＝，得，当且仅当a＝b＝时等号成立，D正确．故选ACD．] 1．(链接考点二)(2026·郴州模拟)已知正实数a，b满足ab＝100，则的最小值为(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 B　[因为正实数a，b满足ab＝100， 则≥2＝＝，当且仅当＝，即a＝5，b＝20时，等号成立． 故选B．] 2．(链接考点二)(2025·杭州月考)已知x＞0，则＋x的最小值是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 C　[因为x＞0， 所以＋x＝＋x＋1－1≥2－1＝3， 当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立， 故＋x的最小值是3．故选C．] 3．(链接考点一)给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数， ∴≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy<0， ∴＝－≤－2＝－2． 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 其中正确的推导为(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 B　[①∵a，b为正实数，∴为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴＋a≥2＝4是错误的． ③由xy<0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．] 4．(链接考点二)已知实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0，则2x＋y的最小值是(　　) A． B． C．2 D．3 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 B　[因为实数x，y满足3xy＋y2＝1，y>0， 所以x＝， 则2x＋y＝＋y＝≥2＝， 当且仅当＝，即y＝时，等号成立， 所以2x＋y的最小值是] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题 1．(人教B版必修第一册P82习题2－2CT5改编)设m，n∈(0，＋∞)，且m＋2n＝1，则的最小值为(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 课时作业(四)　基本不等式 第4课时　基本不等式 39 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 B　[因为m，n∈(0，＋∞)，且m＋2n＝1，所以＝(m＋2n)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，所以的最小值为9．故选B．] 40 √ 2．下列几个不等式中，不能取到等号的是(　　) A．≥2(x>0) B．|x|＋≥2(x≠0) C．－≥1(x<0) D．≥2(x∈R) 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 41 D　[对A，当且仅当＝，即x＝1时等号成立； 对B，当且仅当|x|＝，即x＝±时等号成立； 对C，当且仅当－＝－，即x＝－8时等号成立； 对D，当且仅当＝， 即x2＝－2，无解，等号不成立．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 42 √ 3．(2025·上海虹口区三模)若x∈R，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为2的是(　　) A．x＋ B．2x＋2-x C．x2＋ D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 43 B　[对于选项A，当x＜0时，选项A显然错误； 对于选项B，因为2x＋2－x＝2x＋≥2＝2， 当且仅当2x＝，即x＝0时取等号，B正确； 对于选项C，易知x2＞0，则x2＋≥2＝4， 当且仅当x2＝，即x＝±时取等号，C错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 44 对于选项D，易知，又≥ 2＝2， 当且仅当＝时取等号，显然等号不成立， 所以＞2，D错误． 故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 45 √ 4．已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 B　[∵a>0，b>0，a2－2ab＋4＝0， 则b＝，∴b－＝＝≥2＝， 当且仅当＝，即a＝2时，等号成立，此时b＝] 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 46 √ 5．(2025·北海期末)已知正数x，y满足xy＝1，则的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 47 C　[因为正数x，y满足xy＝1， 由＝＝(x＋y)＋≥2＝4， 当且仅当x＝y＝1时取等号，此时取得最小值4． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 48 √ 6．(2026·太原模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为(　　) A．2＋2 B．4＋2 C．4 D．7 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 49 D　[因为正实数a，b满足a＋b＝1， 所以＝ ＝＋1 ＝＋1 ＝3＋≥3＋2＝7，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 50 √ 二、多项选择题　 7．已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D．ab≤ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 51 BD　[A选项，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知恒成立，当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A选项错误； B选项，当a＋b＞0时，＞0，则－＝＝≤0恒成立，即 恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 52 C选项，当a＋b＞0时，2ab－＝≤0，即2ab≤恒成立，当a＋b＜0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，故C选项错误； D选项，当a，b∈R时，ab≤恒成立，故D选项正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 53 √ 8．(人教A版必修第一册P45例2改编)设正实数x，y满足x＋2y＝3，则下列说法正确的是(　　) A．的最小值为4 B．xy的最大值为 C．的最小值为2 D．x2＋4y2的最小值为 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 54 ABD　[对于A，＝＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故A正确；对于B，xy＝·x·2y≤＝＝，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故B正确；对于C，()2＝x＋2y＋2≤3＋2＝3＋3＝6，则，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故C错误；对于D，x2＋4y2＝(x＋2y)2－4xy≥9－4×＝，当且仅当x＝，y＝时取等号，故D正确．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 55 √ 9．(2025·孝感期末)若x>0，y>0，且2x＋y＝xy，则(　　) A．>1 B．x＋2y＋xy≥9＋6 C．xy≤8 D．≥2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 56 ABD　[已知x>0，y>0，∵2x＋y＝xy， ∴＝1． ∴>＝1，故A正确； x＋2y＋xy＝3x＋3y＝(3x＋3y)＝9＋≥9＋2＝9＋6， 当且仅当x＝y，即x＝＋1，y＝2＋时等号成立，故B正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 57 2x＋y＝xy≥2，解得xy≥8， 当且仅当y＝2x，即x＝2，y＝4时等号成立，故C错误； 由2x＋y＝xy，得(x－1)(y－2)＝2， 由题意知，x－1>0，y－2>0， 则≥2＝2， 当且仅当＝，即x＝2，y＝4时等号成立，故D正确．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 58 三、填空题 10．(人教B版必修第一册P80练习BT1改编)已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为________． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　[y＝x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立．] 　 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 59 11．(2025·上海卷)设a，b＞0，a＋＝1，则b＋的最小值为___． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 4　[由已知，b＋＝＝2＋ab＋≥2＋2＝4，当且仅当ab＝，即a＝，b＝2时取等号， 所以b＋的最小值为4．] 4　 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 60 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________． 　[法一：∵5x2y2＋y4＝1， ∴y≠0且x2＝＞0，∴0＜y2＜1， ∴x2＋y2＝＋y2＝≥2＝， 当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号， ∴x2＋y2的最小值为 　 理法先行 考点深研 课时作业 第4课时　基本不等式 61 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 法二：由5x2y2＋y4＝1， 可得y2(5x2＋y2)＝1， 即4y2(5x2＋y2)＝4， 又4＝4y2(5x2＋y2)≤＝(x2＋y2)2， ∴(x2＋y2)2≥，即x2＋y2≥， 当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，∴x2＋y2的最小值是] 62 谢谢！ $